Reihe auf Konvergent prüfen

24.06.2007, 18:56

Reihe auf Konvergent prüfen

hi leute,

ich brauch mal einen Tipp, damit ich die Reihe $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty}~\frac{1}{n+\sqrt{n}} \end{eqnarray*}$

abschätzen kann, ob diese konvergent ist.

Danke

Ai

24.06.2007, 19:01

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Versuche es einmal mit Partialbruchzerlegung:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{n + \sqrt{n}} = \frac{1}{\sqrt{n} \cdot (\sqrt{n} + 1)} = \frac{A}{B} - \frac{C}{D} \end{eqnarray*}$

EDIT
Zu schnell geschossen! Es ist vielleicht doch besser, im Nenner $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ auszuklammern und abzuschätzen.

24.06.2007, 19:09

Marcyman

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{n+\sqrt{n}} \geq \frac{1}{n+n} \end{eqnarray*}$

24.06.2007, 19:49

Auf diesen Beitrag antworten »

Lösung...
Also ich habe es nun folgendermaßen gemacht:

Minorantenkriterium:

$\begin{eqnarray*} 0 \leq a_n \leq b_n \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0 \leq \frac{1}{n+n} \leq \frac{1}{n+\sqrt{n}} \end{eqnarray*}$

Wenn ich also zeige, dass $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^\infty~\frac{1}{n+n} \end{eqnarray*}$ divergiert, dann weiß ich nach dem Minorantenkriterum, dass auch $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^\infty~\frac{1}{n+\sqrt{n}} \end{eqnarray*}$ divergiert.

Da ich weiß, dass $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^\infty~\frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ divergiert und $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n+n} \end{eqnarray*}$ Teilfolge von $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ ist, divergiert $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^\infty~\frac{1}{n+n} \end{eqnarray*}$ auch.

Somit divergiert $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^\infty~\frac{1}{n+\sqrt{n}} \end{eqnarray*}$ .

Kann man so argumentieren ???

24.06.2007, 19:53

WebFritzi

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Lösung...

Zitat:

Original von Ai
Da ich weiß, dass $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^\infty~\frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ divergiert und $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n+n} \end{eqnarray*}$ Teilfolge von $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ ist, divergiert $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^\infty~\frac{1}{n+n} \end{eqnarray*}$ auch.

Nein, so kannst du nicht schließen. 1/n^2 ist auch eine Teilfolge von 1/n. Die dazugehörige Reihe konvergiert aber. Vielleicht machst du dir mal klar, dass 1 + 1 = 2 ist, und dass man konstante Faktoren (also nicht von n abhängige Zahlen) aus der Reihe rausziehen kann.

24.06.2007, 20:07

Auf diesen Beitrag antworten »

oh man...

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^\infty~\frac{1}{n+n} = \sum_{k=1}^\infty~\frac{1}{2n} = \frac{1}{2}\sum_{k=1}^\infty~\frac{1}{n} \end{eqnarray*}$

und $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^\infty~\frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ divergiert.

Das sollte aber stimmen hoffe ich doch.

24.06.2007, 20:11

therisen

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, die Überlegung ist richtig.

Neue Frage »

Antworten »

Reihe auf Konvergent prüfen

Verwandte Themen