Konvergenz

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piloan Auf diesen Beitrag antworten »
Konvergenz
Hi
also den ersten Beweis hab ich noch nicht ganz fertig ...aber schreibe ich dann morgen hier mal rein
man sollte zeigen, dass aus

folgt.

X_n und X sind wieder ZV auf einem WKR und p>1.
Bin dabei das mit der tschebyscheff ungleichung zu beweisen.
nun noch folgendes probl.
Zeigen Sie durch ein Gegenbeispiel, dass

nicht

Kann mir jemand hier weiter helfen?
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von piloan
Zeigen Sie durch ein Gegenbeispiel, dass

nicht

Sofern , dann gilt diese Implikation, wenn ich mich recht entsinne...

Also solltest du das Gegenbeispiel im Bereich suchen, anders hat es keinen Zweck.


EDIT: Nein, vergiss es, ich habe mich geirrt: Notwendig und hinreichend für bei vorhandener fast sicherer Konvergenz ist



(Satz von Riesz) - da kannst du ansetzen.
piloan Auf diesen Beitrag antworten »

jap
hab ein gegenbsp konstruiert ...funktioniert wunderbar...smile

nun nochmal ne frage...

ist äquivalent zu

Richtung 1:

wenn gilt dann ist

heisst das nicht, dass die Wk fuer n gegen unendlich ,dass x in A_n liegt gleich 0 ist.
Somit muesste doch die Wk das A_n ueberhaupt angenommen wird wieder 0 sein?!....noch nicht so ganz formal richtig ...
beim rueckweg schau ich noch
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Im Fall ist



nur eine komplizierte Schreibweise von . Augenzwinkern

Und für gilt sowieso .
piloan Auf diesen Beitrag antworten »

Seh ich das richtig ,dass dies der Rueckweg ist ?
War der Hinweg denn soweit richtig ?
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Im Grunde genommen ist es beides, Hin- und Rückweg. Für den Hinweg reicht allerdings die Betrachtung eines , z.B. .
 
 
piloan Auf diesen Beitrag antworten »

Ok zum Hinweg :
Vor:
gilt .
D.h:



Daraus folgt ,dass folgende Menge die leere Menge sein muss.

Für Espilion größer gleich eins ist es sowieso klar und fuer Espilion zwischen 0 und 1 ist die Menge nur ungleich der leeren Menge falls Das ist aber nach Vor. nur mit Wk 0 der Fall.
Kann ich nun hieraus folgern ,dass
?
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von piloan
Daraus folgt ,dass folgende Menge die leere Menge sein muss.

Nein, das folgt nicht - wieso? Die Wahrscheinlichkeiten der Mengen müssen gegen Null konvergieren, das ist eine viel schwächere Forderung!

Zitat:
Original von piloan
und fuer Espilion zwischen 0 und 1 ist die Menge nur ungleich der leeren Menge falls Das ist aber nach Vor. nur mit Wk 0 der Fall.

Ich kann dir hier nicht folgen - was ist bei dir das , nach dem du offensichtlich eine Fallunterscheidung durchführst? Ich sehe nur ... Außerdem sprichst du immer von Wahrscheinlichkeit Null, statt von Grenzwert der Wkten gleich Null. Das ist ein fataler Argumentationsfehler.
piloan Auf diesen Beitrag antworten »

Ok ...das ist wirklich falsch was ich da gesagt habe.

Aber die Menge ,die du gepostet hast :



kann doch nur 's besitzen, die in der Menge A_n liegen und nur fuer Epsilion zwischen 0 und 1.

Das sagt doch die Bedingung

und irgendwie muss ich doch damit auf kommen ...
was heisst denn die Grenzbetrachtung genau ?..das die Menge A_n im unendlichen mit Wk 0 leer ist ?

jetzt bin ich auch verwirrt
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Ich war wohl oben nicht deutlich genug: Es ist



für sämtliche , das ist doch nun wirklich einfach nachzuweisen, wenn man an die Definition der Indikatorfunktion denkt. Und der Rest fällt dann von alleine ab.
piloan Auf diesen Beitrag antworten »

Hi

Dies gilt ,da die Indikatorfunktion nur den Wert eins annimmt, wenn .

Dann folgt durch einsetzen:




Im Fall Epsilion größer eins ist ja nichts zu zeigen.

Aber der Rueckweg geht doch nun nicht so einfach?
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Rückwärts ist es aufgrund der Identität auch nicht viel schwerer: Aus folgt sofort für alle , es ist ja derselbe Grenzwert. Und für gilt sowieso für alle , also auch im Grenzwert. Somit gilt .
piloan Auf diesen Beitrag antworten »

Achso...
naja ich hoffe ich habs nu einigermaßen.
Wenn ich nun folgende Aequivalenz beweisen will:
Die A_n sind hier unabhaengig.


Die linke Seite besagt:



Fuer die rechte Seite gilt nach Borel-Cantelli:
hieraus folgt wobei

( Sorry aber habe kA wie ich den Text hier einfuege smile )


Die linke Seite besagt ja,dass mit Wahrscheinlichkeit 1 und n gegen unendlich die 's nicht in A_n liegen. Das wiederum ist ja aequivalent zu . Kann ich nun auch zurueck zur Summe schließen oder geht das nicht?

Ist das sowieso korrekt?
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von piloan
Die linke Seite besagt ja,dass mit Wahrscheinlichkeit 1 und n gegen unendlich die 's nicht in A_n liegen.

Ich kann mit diesen schwammigen Formulierungen nichts anfangen, tut mir leid. unglücklich

Betrachte es doch mal "pfadweise":

Sei die Menge aller , für die die reelle Konvergenz (also ohne jeden Zufall)

für

zutrifft. Dann besagt die linke Seite, dass ist.

Was bedeutet nun aber diese Konvergenz gegen Null? Da die Folge nur Nullen und Einsen enthält, heißt das, dass ab einem gewissen Index nur noch Nullen drin sind. Oder anders formuliert: Es gibt nur endlich viele Einsen in der reellen Zahlenfolge . Und das gilt für alle . Und das lässt sich natürlich hervorragend mit Borel-Cantelli rechts verbinden.

EDIT: Hab's mal umbenannt in , damit es nicht zu Verwechslungen mit deinem, anderen kommt.
piloan Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Arthur Dent
[quote]Original von piloan


Sei die Menge aller , für die die reelle Konvergenz (also ohne jeden Zufall)

für

zutrifft. Dann besagt die linke Seite, dass ist.


Das verstehe ich nicht. Ist B nun eine Teilmenge von A_n und was heisst reelle Konvergenz?
Gruß
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von piloan
Das verstehe ich nicht. Ist B nun eine Teilmenge von A_n

Nein: ist das, was ich definiert habe, und umfasst alle die , die nur in endlich vielen enthalten sind - den Zusammenhang habe ich doch gerade eben erläutert.

Zitat:
Original von piloan
und was heisst reelle Konvergenz?

Die stinknormale Konvergenz von Folgen reeller Zahlen - solltest du kennen. Also ohne das ganzen Zufallszeug. Augenzwinkern


Ich will dich doch nur mal zum Nachdenken bringen: Zum wiederholten Mal verwendest du so Argumentationen a la "die Wahrscheinlichkeit, dass das und das erfüllt". Was soll das bedeuten? Wahrscheinlichkeiten werden über definierte Ereignisse betrachtet, nicht über ominöse , die bei dir frei in der Luft schweben. Wenn du dir meine Argumentationen genau anschaust, dann verwende ich das Symbol stets nur als Platzhalter, um Ereignisse zu beschreiben, also z.B.



aber NIE in der Form - das ist ganz einfach Käse.
piloan Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Arthur Dent


Was bedeutet nun aber diese Konvergenz gegen Null? Da die Folge nur Nullen und Einsen enthält, heißt das, dass ab einem gewissen Index nur noch Nullen drin sind. Oder anders formuliert: Es gibt nur endlich viele Einsen in der reellen Zahlenfolge . Und das gilt für alle . Und das lässt sich natürlich hervorragend mit Borel-Cantelli rechts verbinden.



Ok ich versuchs nochmal.
Waehle
Die Linke Seite besagt dann folgt wobei .
Da ja fuer B gilt :Es gibt nur endlich viele Einsen in der reellen Zahlenfolge.
Definiere

Nun folgt dann gerade fuer die Summe mit B-C:


Hoffe das ist nun fuer den ersten Weg richtig .....ich kann mir das alles vorstellen aber das Geruest faellt immer beim Aufschreiben zusammen Augenzwinkern
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Doch, das ist es. Freude
piloan Auf diesen Beitrag antworten »

Und andere richtung ist doch genau analog oder ?

Also ich weiss ,dass die Summe endlich ist ,dann mit B-C folgt dann wieder, dass der limsup =0 ist etc etc..?

Wofuer brauche ich dann die bedingung, dass die A_n unabhaengig sind und noch eine Frage ...ich wende ja B-C in beide Richtungen an, ist das erlaubt ?
Gruß smile
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von piloan
Wofuer brauche ich dann die bedingung, dass die A_n unabhaengig sind

Wenn ich das richtig betrachte ... gar nicht. Augenzwinkern
Vielleicht gab es ja noch eine zweite Teilaufgabe mit ...
piloan Auf diesen Beitrag antworten »

smile ...dann nehme ich das einfach mal so hin ... smile und beide seite vom B-C lemma gelten ...ok .. smile
piloan Auf diesen Beitrag antworten »

Also ...da ich noch eine Frage zum gleichen Thema hab, schreib ich es nochmal hier hin.
Ich habe 2 messbare Funktionen f,g in einem WKR.

nun definiere ich :

und



ZZ:

Also hier komm ich naemlich ueberhaupt nicht weiter.

heisst wieder





Wie kann ich denn hier die Aequivalenz zwischen den dreien beweisen ?!...
irgendwie muss ich doch auf |f_n-f| ->0 kommen, damit die Integrale wegfallen.
Kannst nochmal drueberschauen ?..
Mfg der piloan Augenzwinkern
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zerlege den Integrationsbereich in die beiden Teile und . Dann kannst du den Integranden getrennt nach oben abschätzen: Im ersten Fall durch 1 und im zweiten Fall durch ...
piloan Auf diesen Beitrag antworten »

Jap hab ich gemacht



Dieser Teil konvergiert doch gegen 0, wenn ich den hinweg beweise....
aber das zweite integral sollte das ja auch tun...
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von piloan
Jap hab ich gemacht



Dieser Teil konvergiert doch gegen 0, wenn ich den hinweg beweise....
aber das zweite integral sollte das ja auch tun...

Nein - nicht für festes .

Die Argumentation läuft eher so: Für festes kannst du ein mit

für alle <--- (EDIT: Relationszeichen links in P(...) korrigiert.)

finden, folgt aus der stochastischen Konvergenz. Die obige Abschätzung ergibt dann

für alle

also auch im Grenzwert . Und diese Betrachtung kann man für jedes durchführen - und wenn eine nichtnegative Zahl kleiner als jede positive Zahl ist, dann ist sie gleich ...


P.S.: Du musst dir sorgfältig überlegen, in welcher Reihenfolge hier die Grenzbetrachtungen durchgeführt werden, wie hier bzgl. sowie . Schlampigkeit in diesen Fragen führen sehr schnell zu falschen Beweisen.
piloan Auf diesen Beitrag antworten »

hi
ja dann ist sie gleich 0.
aber ich verstehe noch nicht alles in dem beweis.

für alle wie kommst du darauf ?

ist das aequivalent zu ?

und wie komm ich damit dann auf die abschaetzung...ich dachte ja eben noch ich hab die abschaetzung verstanden...aber nun bin ich doch wieder ratlos...
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von piloan
für alle wie kommst du darauf ?

ist das aequivalent zu ?

Schon wieder den Grenzwert vergessen... unglücklich


Zurück zu den Grenzwerten von reellen Zahlenfolgen, speziell Nullfolgen:

heißt was? Na, dass es für jedes ein gibt mit

für alle

Nichts anderes verwende ich hier, natürlich auf angewandt. <--- (EDIT: Relationszeichen im P(...) korrigiert.)
piloan Auf diesen Beitrag antworten »

ja ...das hab ich eigentlich auch gedacht..
ich frag mich nur, wo die stochastische Konvergenz in dem Beweis einfließt,
da du immer betrachtest.
und nicht worueber wir nach Vor. doch nur eine Aussage machen koennen.
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von piloan
und nicht worueber wir nach Vor. doch nur eine Aussage machen koennen.

Und wieder den Grenzwert vergessen. Ist das nur Faulheit, oder Methode? böse

Aber du hast recht, ich hab mich an einigen Stellen verschrieben - da muss statt stehen, verflixt nochmal! Ich korrigiere gleich mal...
piloan Auf diesen Beitrag antworten »

Nein war keine Faulheit ,sondern eher in der Eile vergessen (was natuerlich bei der Wichtigkeit nicht zu entschuldigen istsmile )

Wenn ich nun von dort die "Hin"-Richtung zum dritten beweisen moechte, muss ich dann erstmal eine Fallunterscheidung machen?
Also einmal ist eins und einmal |f_n-f| Minimum?
Hier kann ich das Integral auf den ersten Blick nicht so abschaetzen, wie im ersten Teil. smile
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Wie sieht überhaupt deine Beweistaktik für diese Doppeläquivalenz aus? Für







sollst du doch nachweisen. Das kannst du ja z.B. so machen



hast du schon, oder? Der Teil ist trivial, denn für alle gilt , der Nachweis dafür ist ziemlich kurz, nahezu ein Einzeiler.

Bleibt dann nur noch ...
piloan Auf diesen Beitrag antworten »

Ok ...
dann nehme ich die Kette




Wofuer waren denn die Beitraege davor?...war das nicht (A) => (B) ?

(A)=>(C) hab ich uebrigens noch nicht ...das war die letzte gepostete Frage Augenzwinkern
AD Auf diesen Beitrag antworten »

So wie ich das sehe, sind die Unterschiede zwischen und geradezu lächerlich gering:

In der maßgeblichen Zeile

Zitat:
Original von Arthur Dent
für alle

ändert sich gar nichts, wenn du links die Metrik austauschst - die Argumentation klappt trotzdem. Augenzwinkern
piloan Auf diesen Beitrag antworten »

Also brauch ich einfach nur das Integral von (C) einsetzen und verwende die gleiche Abschaetzung?
für alle
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Überprüfe doch Punkt für Punkt, was dafür verwendet wurde - dann siehst du auch, dass es auch mit der anderen Metrik klappt.


Richtung läuft nun ähnlich, eigentlich noch einfacher:

Vorausgesetzt wird hier ja und wir wollen Aussagen über für zunächst festes . Dann können wir aufgrund der Nichtnegativität des Integranden ja einfach abschätzen:




Nun ist im Intervall streng monoton wachsend, das Minimum wird also bei angenommen. Also kann man weiter abschätzen



oder umgestellt

.

Bei dieser Betrachtung ist ja konstant. Also kannst du hier ohne weiteres den Grenzübergang vollziehen...
piloan Auf diesen Beitrag antworten »

ok dann seh ich ,dass der rechte Teil fuer n gegen unendlich gegen 0 geht und damit bin ich dann fertig.
aber nochmal zu (A) =>(C) , da ich ohne die Richtung ja garnicht weiter machen kann (Wenn ich deine Kette betrachte)

Du sagst ja ich soll das analog zu dem vorherigen machen.
Also wieder das Integral zerlegen.
dann muss ich ja wieder |f_n-f|> epsilon betrachten, dann ist 1 das minimum und dann noch die andere seite betrachten....
aber warum gilt dann die ungleichung von da unten nicht ....unglücklich
also diese aufgabe mag ich mal garnicht mehr
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von piloan
aber warum gilt dann die ungleichung von da unten nicht ....unglücklich

Versteh ich nicht, was "nicht gelten" soll... unglücklich

Es ist doch

,

wo ist jetzt das Problem?

Zitat:
Original von piloan
dann muss ich ja wieder |f_n-f|> epsilon betrachten, dann ist 1 das minimum

Das stimmt unkommentiert sicher so nur für . Oben wird nur benutzt, dass der Integrand kleiner oder gleich 1 ist, was übrigens immer gilt, nicht nur in diesem Fall - aber benutzt wird diese einfache Abschätzung eben nur in diesem Fall! Im anderen Fall ist die "bessere" Abschätzung kleiner oder gleich möglich. Die ist natürlich nur für besser, aber darauf kommt es ja an.
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