Totalvariation

26.06.2007, 12:40

Ambrosius

Totalvariation

Ich habe einen Messraum $\begin{eqnarray*} (X, \mathcal{A}) \end{eqnarray*}$ und sei $\begin{eqnarray*} E \in \mathcal{A} \end{eqnarray*}$

Dann heißt $\begin{eqnarray*} (E_n) \end{eqnarray*}$ eine Zerlegung von E, wenn $\begin{eqnarray*} \bigcup E_n = E \end{eqnarray*}$

Die Totalvariation eines Maßes $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ ist definiert durch:

$\begin{eqnarray*} |\mu| (E) := \sup \sum |\mu (E_j)| \end{eqnarray*}$ wobei das Supremum über alle Zerlegungen von E genommen wird!

1. Frage: Ist eine Zerlegung immer disjunkt? Gut, ich kann natürlich eine Zerlegung immer disjunkt machen, aber macht es überhaupt sinn für nicht disjunkte?

2. Frage: Die Totalvariation kann nur für komplexe bzw. signierte Maße erklärt werden?

26.06.2007, 14:20

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Zitat:

Original von Ambrosius
1. Frage: Ist eine Zerlegung immer disjunkt?

Ja, das beinhaltet der Begriff "Zerlegung" - im Gegensatz zu einfacher "Vereinigung". Wenn man Überschneidungen zulässt, ist das Supremum gleich Unendlich (außer beim Nullmaß) !!!

Zitat:

Original von Ambrosius
2. Frage: Die Totalvariation kann nur für komplexe bzw. signierte Maße erklärt werden?

Wie meinst du das "nur"? Welche Maße willst du denn sonst noch betrachten? Für "normale " (also nichtnegative) Maße ist jedenfalls die Totalvariation gleich dem Gesamtmaß, also $\begin{eqnarray*} |\mu|(E)=\mu(E) \end{eqnarray*}$ .

29.06.2007, 10:28

Ambrosius

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Zitat:

Original von Arthur Dent

Wie meinst du das "nur"? Welche Maße willst du denn sonst noch betrachten?

Was ist mit Maßen $\begin{eqnarray*} \mu : X \to [-\infty, \infty] \end{eqnarray*}$ ?

29.06.2007, 10:43

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Das fällt bei mir noch unter "signierte Maße".

29.06.2007, 10:52

Ambrosius

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achso. also ist der einzige Unterschied zwischen einem Maß und einem signirten Maß der, das letzteres auch negative Werte annehmen darf?

29.06.2007, 10:58

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Naja, es ist schon etwas komplizierter. Ich hab grad nochmal nachgeschaut:

Die meisten (so auch die Wikipedia) lassen bei signierten Maßen nur Wertebereich $\begin{eqnarray*} (-\infty,\infty] \end{eqnarray*}$ oder alternativ $\begin{eqnarray*} [-\infty,\infty) \end{eqnarray*}$ zu. Das erspart "Ärger" mit $\begin{eqnarray*} \infty+(-\infty) \end{eqnarray*}$ u.ä. undefinierten Ausdrücken.

Ein Beispiel: Nehmen wir etwa

$\begin{eqnarray*} \mu(A) := \lambda(A\cap [0,\infty)) - \lambda(A\cap (-\infty,0)) \end{eqnarray*}$ mit Lebesgue-Maß $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ .

Sieht auf den ersten Blick vernünftig aus, auf den zweiten allerdings nicht mehr, denn da bekommt man den oben beschriebenen Ärger. Augenzwinkern

29.06.2007, 12:06

Ambrosius

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das ist mein Problem. Ich finde überall unterschiedliche Definitionen. Mal mit Wertebereich $\begin{eqnarray*} [-\infty, \infty] \end{eqnarray*}$ mal mit $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ und mal mit $\begin{eqnarray*} [-\infty, \infty) \end{eqnarray*}$ bzw $\begin{eqnarray*} (-\infty, \infty] \end{eqnarray*}$

29.06.2007, 13:21

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Aber was ist jetzt genau dein Problem?

Gut, angenommen du hast eine Mengenfunktion, wo du für zwei disjunkte Mengen $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ einerseits $\begin{eqnarray*} \mu(A)=\infty \end{eqnarray*}$ und andererseits $\begin{eqnarray*} \mu(B)=-\infty \end{eqnarray*}$ vorliegen hast. Dann hast du ganz einfach ein Problem, das ganze mit der üblicherweise geforderten Maß-Eigenschaft

$\begin{eqnarray*} \mu(A\cup B) \stackrel{?}{=} \mu(A) + \mu(B) \end{eqnarray*}$

in Einklang zu bringen! D.h. also, um das nicht zu gefährden, zieht man sich bei (signierten) Maßen auf Wertebereich $\begin{eqnarray*} (-\infty,\infty] \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} [-\infty,\infty) \end{eqnarray*}$ zurück. Die Frage ist jetzt wirklich, zu welchem Zweck du so auf den "vollen" Bereich $\begin{eqnarray*} [-\infty,\infty] \end{eqnarray*}$ pochst? verwirrt

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