Laurent-Entwicklung

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vektorraum Auf diesen Beitrag antworten »
Laurent-Entwicklung
Hi!

Zunächst mal der Sachverhalt: es sind die Hauptteile der Laurententwicklungen um den Nullpunkt der Funktionen mit den Funktionswerten

a)

b)

c)

zu bestimmen.

Nun ja, mit Laurentreihen habe ich es so richtig noch nicht, und richtige Beispiele haben wir nicht gerechnet. Ich weiß, dass es hier zwei Möglichkeiten gebe, um die Laurententwicklung zu erhalten.

a) Aufspalten in der Form



Und nun kann ich doch den einen Teil in die geometrische Reihe umwandeln, und den hinteren Teil in die Reihe für die Sinusfunktion. Nun gut, aber was ist mit dem Faktor und dem im Exponenten???

b) Auch hier einsetzen in die bekannten Reihen für die Sinus- und Kosinusfunktion. Dann erhalte ich ein Produkt - evtl. dann Cauchy-Produkt ausrechnen???

c) Binomische Reihe???

Nun, ist das soweit erstmal möglich? Wie erreiche ich es dann, dass meine Reihe - für den Hauptteil ja Bedinung, dass die Summe bei 1 los geht???

Andere Möglichkeit ist ja auch die Formel



für die Koeffizienten der Laurentreihe zu benutzen. Dazu brauche ich doch nur die Singularitäten zu bestimmen und dann für einsetzen. Problem: wie bestimmt man dann dieses Integral außer mit CAS und was setzt man dann für ein??

Wäre wirklich sehr lieb, wenn da jemand Licht ins Dunkle bringen würde Wink
Tomtomtomtom Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Laurent-Entwicklung
b) Hier kannst du ausnutzen, daß



gilt.

Bei den anderen beiden Reihen bin ich mit meiner Darstellung auch nicht zufrieden. Vermutlich gibts überall nen kleinen Rechentrick, der einem das nervige ausrechnen sämtlicher Integrale erspart.

Bei c) komme ich auf



Daran sieht man schon, daß der Nebenteil der Reihe nur aus dem Absolutglied besteht, aber leider ist ja der Hauptteil gefragt. Ich hab keine Ahnung, wie ich die Koeffizienten, die da beim ausmultiplizieren entstehen, allgemein aufschreiben soll. Das ist ja im Prinzip ne Produktreihe, nur eben aus k Faktoren, und das wird irgendwie sehr häßlich.

Auch bei a) fällt mir nach dem einsetzen der bekannten Reihen nix mehr ein.

Zitat:
Original von vektorraum
Andere Möglichkeit ist ja auch die Formel



für die Koeffizienten der Laurentreihe zu benutzen. Dazu brauche ich doch nur die Singularitäten zu bestimmen und dann für einsetzen. Problem: wie bestimmt man dann dieses Integral außer mit CAS und was setzt man dann für ein??


Für n setzt du halt alle ganzen Zahlen, was rauskommt, ist ja dann der n-te Koeffizient der Reihe. Du mußt also im Prinzip unendlich viele Integrale berechnen. Wobei in dieser Aufgabe eignetlich n<0 aureicht, denn es geht ja nur um den Hauptteil der Reihe.

Und für das z_0 setzt du auch nicht Singularitäten ein, sondern einfach den Punkt, um den du entwickeln sollst, in dem Fall z_0=0. Die Laurentreihenentwicklung funktioniert ja auch, wenn z_0 keine Singularität ist, dann kommt halt einfach dieTaylorreihe raus.

Edit: Davon abgesehen fehlt in deiner Formel ein f(z).
vektorraum Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Laurent-Entwicklung
Oh je, danke für den Hinweis. Werde das oben noch ergänze, habe ich vergessen dazu zu schreiben. Danke Wink

Nun gut, der Tipp mit dem sincos Ding ist ganz gut, aber weiter bringt mich das doch auch nicht???

Ich hatte ja erst die stille Hoffnung gehabt, dass alle Koeffizienten des Hauptteils wegfallen, und eine Falle eingebaut wäre - aber die ÜBerprüfung der Singularitäten hat auch nichts gebracht...

Hat nicht noch jemand einen Tipp für mich???

Dankeschön Wink
Tomtomtomtom Auf diesen Beitrag antworten »

Also obwohl es eh zu spät ist, nochmal zusammenfassend was ich rausbekommen hab:

a) Nach wie vor keine Ahnung. Die Funktion hat einen Pol der Ordnung n-1 an der Stelle 0, wobei ich noch nicht mal so richtig weiß wie ich das sauber zeige. Jedenfalls hat damit der Nebenteil n-1 Glieder. Mehr weiß ich nciht.

b) Als zusätzlichen Tipp zu dem oben:


c)


Die Reihe hat also keinen Hauptteil. Eigentlich hätte man da auch ohne Rechnung drauf kommen können, wenn man sich überlegt, daß die Funktion in 0 eine hebbare Singularität haben muß. Wenn man mit z gegen 0 geht, geht ja gegen 0, weil der Nenner gegen unendlich geht
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