Klausurvorbereitung Multiple Choice |
| 26.06.2007, 17:06 | SilverBullet | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Klausurvorbereitung Multiple Choice http://xs316.xs.to/xs316/07262/laaufgabe4bosch.JPGHallo haben ein paar Aufgaben zur Klausurvorbereitung bekommen. Hab hier mal eine und würde gerne wissen ob ich das richtig gemacht hab und ob ihr da vielleicht noch ein paar weitere begründungen liefern könnt oder sowas. Also zur Aufgabe : A ist nicht diagonalisierbar da A nur 3 verschiedene Eigenwerte (0,1,-1) hat. Es heißt eine n x n - Matrix ist diagonalisierbar wenn die Matrix n versch. EW hat. => Haken in Feld 2 Das Minimalpolynom teilt das Char. Polynom und hat die selben NST. Hier gibt es also 3 Möglichkeiten für das MIPO : 1. 2. 3. Das Mipo kann also ungeraden als auch geraden Grad haben. => Kein Haken bei 3 => Kein Haken bei 4 denn das Mipo hat einen Grad >= 3 Die Jordanform hat mind. 2 (1 x 1)Kästchen nämlich zu dem EW 0 und -1 => Haken ganz unten Also insgesammt : Haken setzen bei 2 und 4 Bei der Vorletzten Behauptung brauch ich hilfe. Kann es mir jemand erklären? Ein nicht trivialer Kern ist doch ein Kern in dem nicht nur die 0 liegt oder ? Wenn dem so ist dann wäre hat, da das Char. Polynom den Grad 5, die Matrix den vollen Rang und damit nur den trivialen Kern right ? |
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| 26.06.2007, 17:14 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Klausurvorbereitung Multiple Choice
Da bin ich anderer Meinung. Der von dir angespochene Satz besagt: Daraus folgt aber nicht |
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| 26.06.2007, 17:51 | SilverBullet | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Oja da ist natürlich was dran... Hab nochmal nachgeschaut und nen Satz gefunden der besagt: Eine nxn Matrix ist diagonalisierbar <=> Ihr Char. Polynom vollständig in Linearfaktoren zerfällt. Also ist die Matrix oben doch diagonalisierbar. Gibt es sonst noch nen Satz den ich hätte anwenden können ? Was ist mit den anderen Antworten ? Insbesondere die Kernsache |
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| 26.06.2007, 18:22 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das ist doch schon wieder falsch. Wenn das char Poly in Linearfaktoren zerfällt, dann ist die Matrix trigonalisierbar. Für Diagonalisierbar muss noch gelten: geo. Vielfachheit = alg. Vielfachheit Wenn die Linearfaktoren paarweise verschieden sind, ist geo V = alg. V sicher. Für die anderen Punkte habe ich gerade keine Zeit. Vielleicht nach dem Essen. |
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| 26.06.2007, 18:41 | SilverBullet | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Leider hatten wir diese Begriffe nie bei unserem Prof. Ich weiß zumindest schoneinmal was die algebraische Vielfachheit ist. Aber woher soll ich die geometrische Vielfachheit hier ablesen ? Ist sie nicht die anzahl an linear unabhängigen Eigenvektoren ? Hab da noch Probleme bei wäre super wenn du deine Antwort ein wenig ausführen könntest |
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| 26.06.2007, 18:45 | Gnu | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Zur 5: Nichttrivialer Kern bedeutet ja: für ein x welches nicht der Nullvektor ist. Welche Bedingung muss man an die Eigenwerte einer Matrix stellen damit das erfüllt ist? Zu geometrischer Vielfachheit: Ablesen wird hier in der Tat schwer, also muss man sich überlegen inwiefern man dann eine Aussage treffen kann... |
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| 26.06.2007, 19:08 | SilverBullet | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wenn ich das richtig verstehe dann müssen die Eigenwerte alle ungleich 0 sein. Aber ich habe hier doch einen EW der gleich 0 ist wenn man sowas überhaupt dann Eigenwert nennen darf ?! |
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| 26.06.2007, 19:38 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hier sollte ein Blick in die deine Unterlagen Klarheit schaffen. Eigenwert=0 erlaubt, Eigenvektor gleich Nullvektor nicht erlaubt. --------------------------------------------------- geometrische Vielfachheit Dimension des zum EW gehörigen Eigenraums. Bestimmbar über die Dimension des Spans der zug. Eigenvektoren. algebraische Vielfachheit Anzahl der Linearfaktoren zum EW im char. Polynom. ------------------------------------------------- Somit kann man weder (1) noch (2) ankreuzen. |
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| 26.06.2007, 19:52 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Zu (3), (4): Jeder lin-Faktor des Char-Poly taucht auch im Min-Poly auf. In welcher Potenz kann man so nicht sagen. Es liegen hier 3 verschieden Linearfaktoren vor, also hat es mindestens den Grad 3. |
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| 26.06.2007, 19:57 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Jordan-Normal-Form und was man daraus ablesen kann: Potenzen der Faktoren des Minimalpolynoms geben die Größe des größten Jordanblocks zum entsprechenden EW an. Diagonaleinträge spiegeln die algebraische Vielfachheit der Eigenwerte wieder. Anzahl der Jordanblöcke eines EWs spiegeln seine geometrische Vielfachheit wieder. |
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| 26.06.2007, 20:02 | SilverBullet | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Super !!! Vielen lieben dank das war sehr ausführlich und auch super verständlich. Werd mir das alles nochmal zusammenfassend aufschreiben. Du hast nicht zufällig sowas wie : Zusammenfassung LA II, oder Zusammenfassend über Matrizen Finde unser "Skript" nicht grade dolle und sehr unübersichtlich. Darum such ich grade nach was passenden im Inet. |
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| 26.06.2007, 20:08 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hab ich schon. Aber auf 2 Zeichenblöcken. Und die scanne ich nicht ein.Ich kann dir als Literatur/Nachschlagewerk z.B. den Fischer empfehlen. |
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