Konfidenzintervall bei unbekannter Varianz der Grundgesamtheit

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24.01.2005, 21:47	nilsflens	Auf diesen Beitrag antworten »
Konfidenzintervall bei unbekannter Varianz der Grundgesamtheit Ich weiß nicht, ob das, was ich tue, der richtige Weg ist, daher wäre es toll, wenn mir jemnad da draussen mein Ergebnis bestätigen kann. Die Aufgabe ist die folgende: Aus einer normalverteilten, sehr großen Grundgesamtheit wird eine Stichprobe mit dem Umfang n=10 entnommen. Die Stichprobenvarianz ist 0,069641, der Mittelwert der Stichprobe 8,177. Es soll ein zweiseitiges 98%-Konfidenzintervall abgeschätzt werden. Mein Ergebnis: $\begin{eqnarray} [7,929;8,425] \end{eqnarray}$ . Wenn das richtig ist, super. Wenn nicht, hier mein Gedankengang: $\begin{eqnarray} \mu_X \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \sigma_X \end{eqnarray}$ sind unbekannt, also gehe ich aus von einer $\begin{eqnarray} t(n-1) \end{eqnarray}$ -verteilten Stichprobe. $\begin{eqnarray} F(t_9)=1-\frac{\alpha}{2}=0,99 \Rightarrow t_9=2,8214 \end{eqnarray}$ . Die Intervallgrenzen ergeben sich zu $\begin{eqnarray} \mu_{1,2}=\bar{X} \pm t\frac{s}{\sqrt{n-1}} \end{eqnarray}$ und somit zu oben angegebenen Werten.
24.01.2005, 22:52	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konfidenzintervall bei unbekannter Varianz der Grundgesamtheit Wenn du unter der Stichprobenvarianz $\begin{eqnarray} s^2 =\frac{1}{n}\sum\limits_{k=1}^n(x_k-\bar{x})^2 \end{eqnarray}$ verstehst, dann ist das richtig. Üblicherweise ist die Stichprobenvarianz aber eher durch $\begin{eqnarray} s^2 =\frac{1}{n-1}\sum\limits_{k=1}^n(x_k-\bar{x})^2 \end{eqnarray}$ definiert - in diesem Fall muss man oben $\begin{eqnarray} \mu_{1,2}=\bar{X} \pm t\frac{s}{\sqrt{n}} \end{eqnarray}$ rechnen. Ansonsten ist alles vollkommen richtig (t-Verteilung, Freiheitsgrad, usw.).
24.01.2005, 23:09	nilsflens	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konfidenzintervall bei unbekannter Varianz der Grundgesamtheit Danke für die Bestätigung! Was auch immer "üblich" sein mag, meine Dozentin versteht darunter $\begin{eqnarray} s²=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n~(x_k-\bar{x})² \end{eqnarray}$ , und dann tu ich das auch - denn sie muß mich die Klausur bestehen lassen...
24.01.2005, 23:17	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konfidenzintervall bei unbekannter Varianz der Grundgesamtheit Aus genau diesem Grund war ich ja so ausführlich. Also war alles OK. Ein Seitenhieb noch für deine Dozentin: Wenn einen die Eigenschaft $\begin{eqnarray} \mathbb{E}s^2=\frac{n-1}{n}\cdot\mbox{var}~X \end{eqnarray}$ , also die fehlende Erwartungstreue nicht stört, kann man die SP-Varianz natürlich so definieren...
25.01.2005, 18:20	nilsflens	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konfidenzintervall bei unbekannter Varianz der Grundgesamtheit Ich kenne Var (X) aber nicht - und versteh das mit der Erwartungsterue sowieso nicht so richtig. Wenn ich die Varianz folgendermaßen schätze: $\begin{eqnarray} \hat{\sigma}²=\frac{n}{n-1}S² \end{eqnarray}$ , dann bekomme ich als Erwartungswert der Stichprobenvarianz die Stichprobenvarianz: $\begin{eqnarray} \mathbb E (S²)=\frac{n-1}{n}\hat{\sigma}²=\frac{n-1}{n}\frac{n}{n-1}S²=S² \end{eqnarray}$ . Das ist zwar gar nicht so schlecht, aber da hab ich aber vermutlich die Bedeutung von "erwartungstreu" noch nicht begriffen...
25.01.2005, 19:01	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konfidenzintervall bei unbekannter Varianz der Grundgesamtheit $\begin{eqnarray} S² \end{eqnarray}$ als Stichprobenfunktion ist eine Zufallsgröße! Also streich mal deine letzte Formelzeile (zumindest gedanklich), denn da steht in Worten: "Der Erwartungswert einer Zufallsgröße ist eine Zufallsgröße." ??? Der Erwartungswert einer reellwertigen Zufallsgröße ist eine reelle Zahl!!! Schon von daher kann diese Zeile nicht stimmen. Na Ok, ich will jetzt keine Vorträge halten - aber diese Zeile hat mein Statistikerauge schon stark beleiddigt...
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26.01.2005, 20:53	nilsflens	Auf diesen Beitrag antworten »
Uuuuuuuups, entschuldige!!! Mit etwas Nachdenken ist schon klar, dass der Erwartungswert eine reelle Zahl ist. Um $\begin{eqnarray} \mathbb E (S^2)=\frac{n-1}{n} \end{eqnarray}$ zu zeigen, muß ich natürlich die Stichprobenvarianz soweit umbauen, dass das Ergebnis rauskommt. Als Tipp hab ich die Addition der "nahrhaften Null" erhalten umd komme ein Stück vorwärts $\begin{eqnarray} \mathbb E(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(X_i-\bar{X}-\mu+\mu)^2=\frac{1}{n}\mathbb E(\sum_{i=1}^n((X_i-\mu)^2-2(X_i-\mu)(\bar{X}-\mu)+(\bar{X}-\mu)^2)) \end{eqnarray}$ Das sieht aus, als ob man damit weiterkommen könnte, aber aufgrund mangelnden Verständnisses und zu wenig Zeit gebe ich das wohl jetzt auf. Nils
26.01.2005, 21:01	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Du meinst natürlich $\begin{eqnarray} \mathbb E (S^2)=\frac{n-1}{n}\cdot\mathrm{var}~X \end{eqnarray}$ . Der Beweis ist zwar nicht schwer, aber mühselig (man muss auch noch das $\begin{eqnarray} \bar{X} \end{eqnarray}$ in seine Bestandteile aufdröseln), vor allem muss man den Überblick über die Summen und Doppelsummen behalten. Steht aber in vielen besseren Statistikbüchern drin - musst mal suchen, falls dich der Beweis tatsächlich interessieren sollte.
26.01.2005, 21:09	nilsflens	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konfidenzintervall bei unbekannter Varianz der Grundgesamtheit Natürlich meinte ich das. Wir haben leider in viel zu kurzer Zeit viel zu viel gemacht, daher mussten alle Herleitungen und Beweise unter den Tisch fallen, und entsprechend unsicher bin ich bei allem, was ich tue, weil ich eben gar nicht wirklich weiß, was ich tue. Das ist ziemlich schade, aber mein Studienplan ist einfach zu eng Vielleicht guck ich mir das nach der Klausur - übermorgen, hilfe - nochmal mit etwas Ruhe an...

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