dichte des ml schätzers bei pareto verteilung

24.01.2005, 23:33

ran2

dichte des ml schätzers bei pareto verteilung

hallo zusammen,

mein erster beitrag hier, ich hoffe ich bekomme das mit dem latex code hin smile

also hier das problem, bei dem ich grad ziemlich auf dem schlauch stehe..

gegeben ist folgende dichte einer pareto verteilung

f(x)=alpha*beta^alpha*x^(-alpha-1) im intervall beta bis unendlich

alpha und beta sollen grösser 0 sein.
nun ist der maximum likelihood schätzer für alpha und beta gesucht...
das bekomme ich auch noch hin, so etwa:

die loglikelihood funktion sieht dann so aus:
lnL(alpha,beta;x1...xn) = n*ln(alpha)+alpha*n*ln(beta) - (alpha+1)*summenzeichen(ln(xi)

durch ableiten und umformen erhält man dann den ML schätzer für alpha

alpha = n / summenzeichen ln(xi/x1)

den schätzer für beta erhält man durch die überlegung beta so groß wie möglich zu wählen, allerdings kleiner als xi also ist der ml schätzer für beta das minimum der realisationen:

beta = x1

<b>soweit so gut, hier kommt nun das eigentlich problem bei dem ich auf dem schlauch stehe: </b>

gefragt ist nun nach der dichte des ML-Schätzers für beta ?

wie komme ich darauf ??? in diesem aufgabenteil ist mir noch gegeben, dass alpha=beta=1 ist und n = 5

<b>wie bekomme ich nun die dichte des ML schätzers für beta, ich komm einfach nicht drauf</b>

ergebnis laut müsste sein: f(x)= 5/x^6*Indikatorfunktion[1,unendlich]

vielen vielen dank schonmal an alle die bis hierher gelesen haben und sorry wegen den ganzen latex fehlern

-ran2

25.01.2005, 10:36

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RE: dichte des ml schätzers bei pareto verteilung
$\begin{eqnarray*} \ln f(x) = \left[\ln\alpha+\alpha\dot\ln\beta-(\alpha+1)\ln x\right]\cdot 1\{x>\beta\} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \ln L(\alpha,\beta) = \left[n\left(\ln\alpha+\alpha\cdot\ln\beta\right)-(\alpha+1)\sum\limits_{k=1}^n \ln x_k\right]\cdot 1\{\min\limits_k x_k>\beta\} \end{eqnarray*}$

Richtig, $\begin{eqnarray*} \beta \end{eqnarray*}$ muss möglichst maximal gewählt werden, so dass die Indikatorfunktion rechts immer noch 1 liefert, also $\begin{eqnarray*} \hat\beta=\min\limits_k x_k \end{eqnarray*}$ . Bei $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ suchen wir nach einem lokalen Maximum:

$\begin{eqnarray*} 0\stackrel{!}{=}\frac{\partial\ln L}{\partial\alpha} = n\left(\frac{1}{\alpha}+\ln\beta\right)-\sum\limits_{k=1}^n \ln x_k \end{eqnarray*}$

also

$\begin{eqnarray*} \hat\alpha=\frac{1}{\left(\displaystyle\frac{1}{n}\sum\limits_{k=1}^n \ln x_k\right)-\ln\hat\beta} \end{eqnarray*}$

Also bis auf den "kleinen" Fehler bei $\begin{eqnarray*} \hat\alpha \end{eqnarray*}$ hast du alles richtig gemacht.

Zur Dichte von $\begin{eqnarray*} \hat\beta=\min\limits_k x_k \end{eqnarray*}$ : Bei deiner Pareto-Verteilung ist die Verteilungsfunktion

$\begin{eqnarray*} F(x) = \left[1-\left(\frac{x}{\beta}\right)^{-\alpha}\right]\cdot 1\{x>\beta\} \end{eqnarray*}$

also ist

$\begin{eqnarray*} P(X_k>x) = 1- F(x) = \left(\frac{x}{\beta}\right)^{-\alpha}\quad \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} \quad x>\beta \end{eqnarray*}$

Daraus folgt

$\begin{eqnarray*} P(\min\limits_{k=1,\ldots,n} X_k>x) = P(X_1>x,\,X_2>x,\,\ldots,\,X_n>x) = \prod\limits_{k=1}^n P(X_k>x) = \prod\limits_{k=1}^n \left(\frac{x}{\beta}\right)^{-\alpha} = \left(\frac{x}{\beta}\right)^{-\alpha n} \end{eqnarray*}$

Also ist

$\begin{eqnarray*} F_{\hat\beta}(x)=1-\left(\frac{x}{\beta}\right)^{-\alpha n} \end{eqnarray*}$

und somit

$\begin{eqnarray*} f_{\hat\beta}(x) = \frac{\partial}{\partial x} F_{\hat\beta}(x)=n\frac{\alpha}{\beta}\cdot\left(\frac{x}{\beta}\right)^{-1-\alpha n} \end{eqnarray*}$ ,

alles nur gültig für $\begin{eqnarray*} \quad x>\beta \end{eqnarray*}$ (sonst Null).

Oder mit einfachen Worten: Das Minimum von n Paretoverteilten unabhängigen Zufallsgrößen mit den Parametern $\begin{eqnarray*} (\alpha,\beta) \end{eqnarray*}$ ist ebenfalls Paretoverteilt, und zwar mit den Parametern $\begin{eqnarray*} (n\alpha,\beta) \end{eqnarray*}$ .

09.11.2005, 09:20

Quese

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Und wie sieht dabei die Verteilungsfunktion von alpha aus?
Ist die Summe von paretoverteilten Zufallsgrößen auch paretoverteilt?

09.11.2005, 10:12

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Zitat:

Original von Quese
Und wie sieht dabei die Verteilungsfunktion von alpha aus?

$\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ ist ein Parameter, der hat keine Verteilungsfunktion. Es gibt allenfalls eine Verteilungsfunktion des Schätzers $\begin{eqnarray*} \hat\alpha \end{eqnarray*}$ , und die dürfte ordentlich kompliziert sein - schreib doch mal die ersten Schritte auf! Augenzwinkern

Zitat:

Original von Quese
Ist die Summe von paretoverteilten Zufallsgrößen auch paretoverteilt?

I.a. nicht, das kann man sich bereits für n=2 leicht klar machen.

09.11.2005, 16:26

Quese

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Ich meinte auch die Verteilungsfunktion für den Schätzer, sorry.

Wir haben die Verteilungsfunktion der Paretoverteilung so definiert:
$\begin{eqnarray*} F(x)=1-(x_0/x)^{1/\alpha} \end{eqnarray*}$ für x>x_0 und 0 sonst.

Dabei ist x_0 aber als bekannt vorausgesetzt.

Als Maximum-Likelihood-Schätzer für alpha erhalte ich:
$\begin{eqnarray*} \frac{\sum_{i=1}^n~ln(X_i)-n*ln(x_0)}{n} \end{eqnarray*}$

weiter komme ich nicht

09.11.2005, 16:42

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Das ist wieder ein typisches Namenswirrwar: Dein $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ unterscheidet sich nämlich in der Bedeutung von dem $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ , welches ran2 verwendet hat. Ich erinnere da mal an obigen Beitrag:

Zitat:

Original von Arthur Dent ( $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} \alpha' \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \beta \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} \beta' \end{eqnarray*}$ ersetzt)

Bei deiner Pareto-Verteilung ist die Verteilungsfunktion

$\begin{eqnarray*} F(x) = \left[1-\left(\frac{x}{\beta'}\right)^{-\alpha'}\right]\cdot 1\{x>\beta'\} \end{eqnarray*}$

Bei dir dagegen wird deutlich:

Zitat:

Original von Quese
Wir haben die Verteilungsfunktion der Paretoverteilung so definiert:
$\begin{eqnarray*} F(x)=1-(x_0/x)^{1/\alpha} \end{eqnarray*}$ für x>x_0 und 0 sonst.

Also gilt folgende Zuordnung:

$\begin{eqnarray*} \alpha' &=& \frac{1}{\alpha}\\ \beta' &=& x_0 \end{eqnarray*}$

Ich hoffe, das hilft erstmal weiter, denn deine Formel für den ML-Schätzer stimmt in diesem Kontext mit der oben angegebenen Formel überein! Rock

09.11.2005, 16:50

Quese

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hmmm, in der aufgabe ist noch angegeben, dass man zeigen soll:
$\begin{eqnarray*} ln(\frac{X}{x_0}) \end{eqnarray*}$ ist exponentialverteilt mit 1/alpha, wenn X paretoverteilt ist
aber sowas kommt in meinem schätzer ja garnicht vor...

09.11.2005, 16:58

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Da geht es nicht um den Schätzer, sondern um die zugrunde liegende Pareto-verteilte Zufallsgröße $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ . Und diese wird in die Zufallsgröße

$\begin{eqnarray*} Z := \ln\frac{X}{x_0} \end{eqnarray*}$

transformiert. Und für diese transformierte Zufallsgröße $\begin{eqnarray*} Z \end{eqnarray*}$ kann man nachweisen, dass sie exponentialverteilt ist. Dazu genügt es, die Verteilungsfunktion von $\begin{eqnarray*} Z \end{eqnarray*}$ auszurechnen. Weißt du, wie man diese Berechnung bei solchen Transformationen anstellt?

09.11.2005, 17:04

Quese

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ich dachte, dass man bei der berechnung der verteilung vielleicht auf den ausdruck ln(X/x_0) stößt, diesen anwendet und damit die verteilung des schätzers von alpha erhält.
mein schätzer lässt sich ja umformen in
$\begin{eqnarray*} (1/n) (\sum_{i=1}^n~ln \frac{x_i}{(x_0)^{2n}} \end{eqnarray*}$

09.11.2005, 17:12

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Ach wo, die Sache hat wie gesagt nichts mit dem Schätzer zu tun. Das ist viel einfacher gedacht: Es ist

$\begin{eqnarray*} F_Z(t) = P(Z<t) = P\left( \ln\frac{X}{x_0}<t \right) = P\left( X<x_0 e^t \right) = F_X\left( x_0 e^t \right) \end{eqnarray*}$

So, nun wissen wir $\begin{eqnarray*} F_X(x) = 1-\left(\frac{x_0}{x}\right)^{1/\alpha} \end{eqnarray*}$ und setzen jetzt also $\begin{eqnarray*} x =x_0 e^t \end{eqnarray*}$ ein...

10.11.2005, 19:08

Quese

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Danke schön für die Hilfe, hat mich auch in Sachen Verteilungsfunktion der Schätzers weitergebracht :-)

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