Wie errechne ich einen Index?

27.06.2007, 11:14

gotcha

Wie errechne ich einen Index?

Hallo zusammen,

leider ist mein Schulmathe schon 10 Jahre her und irgendwie finde ich nirgendwo eine Aussage darüber, wie ich einen Index der folgenden Art errechnen könnte:

Ich hätte gerne zahlenmäßigen einen Ausdruck dafür, wie sehr ein Wert (x) einer Zahlenreihe vom Median dieser Zahlenreihe abweicht. Das sollte ein fester Bereich sein, wie z.B. immer zwischen 0 und 1 (dabei z.B. 0 für keine Abweichung und 1 für extremste Abweichung oder 0,5 für keine Abweichung und 0 für extreme Abweichung nach unten und 1 für extremste Abweichung nach oben). Mit welchen Rechenoperationen komme ich so einem Wert näher bzw. wie mache ich das allein, dass ich den Median als Bezugspunkt setze UND gleichzeitig das Ergebnis zwischen 0 und 1 halte (meinetwegen auch zwischen 1 und -1)

Bsp.: 65, 26, 72, 14, 13, 20, 3, 10, 27, 124, 48 sei die Zahlenreihe. Der Median ist 26.

Folgendes hatte ich versucht:
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\frac{Median}{Wert} } \end{eqnarray*}$

Dabei wird x für den Median 0,5 mit der Abweichung nach unten geht das Ganze gegen 0. Nur nach oben geht das jedoch natürlich über die 1 hinaus, wenn ich den doppelten Wert des Medians überschreite...

Mit welcher Rechenoperation krieg ich so etwas in der Art hin?? verwirrt

Danke für jeden Tipp!!

ciao,
gotcha

27.06.2007, 11:49

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Wenn du sowas willst, dann brauchst du neben dem Median auch noch Minimum und Maximum der Stichprobe - dann kannst du so einen Indikator konstruieren.

27.06.2007, 11:54

gotcha

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Hab ich ... und dann?

Zitat:

Original von Arthur Dent
Wenn du sowas willst, dann brauchst du neben dem Median auch noch Minimum und Maximum der Stichprobe - dann kannst du so einen Indikator konstruieren.

Min und Max hätte ich ja auch, das wäre nicht das Problem. Ist alles immer >0 . Wie geht denn so etwas, einen Indikator zu konstruieren? Kannst du mir das anhand des Beispiels erklären?

27.06.2007, 11:55

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Seien

$\begin{eqnarray*} \hat{x} \end{eqnarray*}$ ... Median,
$\begin{eqnarray*} x_{\min} \end{eqnarray*}$ ... Minimum,
$\begin{eqnarray*} x_{\max} \end{eqnarray*}$ ... Maximum

der Stichprobe. Mit $\begin{eqnarray*} d:=\max\{ \hat{x}-x_{\min}, x_{\max}-\hat{x} \} \end{eqnarray*}$ kannst du im Fall $\begin{eqnarray*} d>0 \end{eqnarray*}$ dann den Ausdruck

$\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{x-\hat{x}}{d} \end{eqnarray*}$

betrachten, der nur Werte zwischen -1 und +1 annimmt, in der von dir gewünschten Weise.

Der Fall $\begin{eqnarray*} d=0 \end{eqnarray*}$ dürfte eher uninteressant sein: Das kommt ja nur bei einer Stichprobe mit konstanten Werten vor. Augenzwinkern

27.06.2007, 14:00

gotcha

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Jetzt weiß ich erst, was ich genau brauche... und wie?
Hey, danke schon mal für diesen Tipp! Da komm ich der Sache schon näher und fange langsam an, präziser zu kriegen, was ich eigentlich brauche... Big Laugh

Was bei dir super ist, dass eine Abweichung nach oben und unten gleich gewichtet wird. Genau so muss es sein. Das Problem bei deiner Lösung ist für mich allerdings, dass die extremen Ausreißer die ganzen Werte bestimmen und somit eine Vergleichbarkeit unmöglich gemacht wird.

Nehmen wir an, ich hätte 5 solcher Zahlenreihen mit unterschiedlichen Minima und Maxima. Dann hätte z.B. ein Wert, der das Doppelte des Medians darstellt, immer eine andere Entsprechung und wäre somit nicht vergleichbar. Außerdem geht deine Variante nach unten ins Negative und meine Werte sind immer >0. Auch so könnte man das nicht vergleichen, denn je nach Median hätte man einen größeren oder kleineren Bereich von Median bis 0.

Was ich brauche (und das hab ich schon mal erst durch deinen Lösungsvorschlag kapiert Augenzwinkern

) ist so ne "exponentiale Geschichte", also z.B.
Median ist 0. Das Doppelte des Medians ist immer 0,5, die Hälfte immer -0,5, das Vierfache ist immer 0,75, die Hälfte der Hälfte immer -0,75, usw.

Wie könnte ich an so was rankommen?

Danke für eure Hilfe!! Gott

ciao,
gotcha

27.06.2007, 16:52

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Wenn du nur positive Werte in der Stichprobe hast, dann könntest du die obige Geschichte auf die logarithmierten Stichprobenwerte anwenden - das ergibt dann in etwa den von dir gewünschten Effekt. Zusammengefasst also

$\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{\ln(x)-\ln(\hat{x})}{d} \end{eqnarray*}$ , jetzt mit $\begin{eqnarray*} d:=\max\{ \ln(\hat{x})-\ln(x_{\min}), \ln(x_{\max})-\ln(\hat{x}) \} \end{eqnarray*}$ .

29.06.2007, 12:50

gotcha

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Nee, immer noch nicht...
Hi!

sorry, hat jetzt ein wenig gedauert, aber ich bin wieder dran. Danke für dei neue Lösung! Den LN finde ich für die Begrenzung des Intervalls auf 1 bis -1 super. Klappt auch wieder wunderbar, dass die Abweichung nach unten und nach oben wieder gleich gewichtet ist.

ABER, was auch bei dieser Lösung der Fall ist: Die Extremwerte bestimmen die Größe der Intervalle, was eben ein Vergleichbarkeit von mehreren Zahlenreihen unmöglich macht. Nehmen wir noch mal die Zahlenreihe aus meinem Beispiel her

65, 26(Median), 72, 14, 13, 20, 3, 10, 27, 124, 48.
Hier habe ich f(26)=0, klar.
f(13)=-0,19

Jetzt ändere ich in der Zahlenreihe den max. Wert auf 9999, statt 124.

Dann wird f(13)=-0,09

Was ich benötige ist eine Lösung, die für die Abweichung um die Hälfte, das Doppelte, etc. immer den gleichen Wert ergibt, damit ich mehrere Zahlrenreihe mit unterschiedliche Minima und Maxima vergleichen kann.

Wie kriege ich das hin?

Danke schon mal für's weiter Mitdenken!

ciao, gotcha

29.06.2007, 15:21

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Zitat:

Original von gotcha
Was ich benötige ist eine Lösung, die für die Abweichung um die Hälfte, das Doppelte, etc. immer den gleichen Wert ergibt, damit ich mehrere Zahlrenreihe mit unterschiedliche Minima und Maxima vergleichen kann.

Immer neue Mäkeleien und Ansprüche - das kenne ich aus der Praxis. Aber das ist wohl normal, dass sich die Fragesteller da erst im Laufe des Dialogs überhaupt klar werden, was sie überhaupt wollen und den Forderungskatalog nach und nach ergänzen . Manchmal gelingt ihnen das auch nicht bzw. sie verwickeln sich in Widersprüche in ihren Forderungen. Augenzwinkern

Also nächster Versuch für positive Stichproben:

$\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{2}{\pi} \arctan\left[ C\ln\left( \frac{x}{\hat{x}} \right) \right] \end{eqnarray*}$

mit frei wählbarer (aber dann für alle deine Stichproben fester) Konstante $\begin{eqnarray*} C>0 \end{eqnarray*}$ . Mit $\begin{eqnarray*} C=\frac{1}{\ln(2)} \end{eqnarray*}$ ergeben sich z.B. die Bewertungen

$\begin{eqnarray*} f(2\hat{x}) = \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f\left( \frac{1}{2} \hat{x} \right) = -\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ .

29.06.2007, 16:23

gotcha

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Du bist mein Held! :-)
Lieber Arthur Dent,

was soll ich sagen? Du bist der Größte für mich! Gott

Auch wenn ich meinen Anspruch schon einen Beitrag vorher geschrieben hatte, bin ich tatsächlich auf einiges erst durch die Lösungsvorschläge und das Nachdenken darüber gekommen. Ist für mich als Mathe-Outsider nicht anders möglich gewesen, sorry.

Aber DU hast es geschafft! Danke, danke, danke!

Ich denke mit dem Ergebnis kann ich super arbeiten.

Wünsch dir ein schönes Wochenende und weiterhin viel Spaß beim "Rätselknacken" Big Laugh

ciao,

gotcha

29.06.2007, 16:56

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Schön dir geholfen zu haben, aber nicht übertreiben mit den Lobeshymnen ... Big Laugh

Aber ich hab mal eine Frage (hoffe, du schaust nochmal vorbei):

Wozu brauchst du eigentlich diese Art Bewertung, mit solchen Eigenschaften?

29.06.2007, 17:06

gotcha

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Ich benötige das für eine statistische Berechnung. Es geht darum, aufgrund der Abweichung einer zeitlichen Dimension ein Maß für die Qualität bzw. die Konzentration von Versuchspersonen zu finden. Wenn ich nicht dabei sein kann, wenn eine Versuchsperson eine Aufgabe ausführt, kann ich anhand der Aufgabe nicht sehen, inwiefern diese dies "ernsthaft" betrieben hat. Also nehme ich die Durchschnittszeit, die die Leute für eine Aufgabe gebraucht haben und das für mehrere Aufgaben.
Wenn alles gut geht, kann ich später sagen: "Wenn jemand den Wert +/-0,3 nicht überschritten hat, kann man von einer ernsthaften Bearbeitung ausgehen" oder so etwas. Alles klar? Freude

ciao,
gotcha

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