Isometrie: Linearität zeigen

27.06.2007, 14:13

Hügel

Isometrie: Linearität zeigen

Hallo

Zitat:

Im folgenden sei K ein Körper, V ein endlichdimensionaler K-Vektorraum und f eine orthosymmetrische id-Bilinearform auf V, so dass V regulär bezüglich f ist.

Sei f orthogonal und $\begin{eqnarray*} \phi: V \to V \end{eqnarray*}$ eine Abbildung. Man zeige die Äquivalenz der folgenden Aussagen:
I: $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ ist f-Isometrie.
II: $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ ist bijektiv, und für alle $\begin{eqnarray*} v,w \in V \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} f(v\phi,w\phi) = f(v,w) \end{eqnarray*}$ .
III: $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ ist linear, und für alle $\begin{eqnarray*} v \in V \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} f(v\phi, v\phi) = f(vv,) \end{eqnarray*}$ .

Also, $\begin{eqnarray*} II \Rightarrow I \end{eqnarray*}$ ist ja klar.
$\begin{eqnarray*} I \Rightarrow II \end{eqnarray*}$ eigentlich auch, da V regulär ist, und Phi daher bijektiv. (Hier bin ich mir aber nicht ganz sicher.)
$\begin{eqnarray*} III \Rightarrow I \end{eqnarray*}$ habe ich auch hinbekommen.

Ich schaffe allerdings nicht zu zeigen, dass Phi linear ist.
Mein Problem ist, dass ich ja über Phi alleine nur weiß, dass es bijektiv ist.
Aber ansonsten weiß ich nur etwas für eine Verknüpfung von Phi mit f. (Weiß nicht, ob ich dass mathematisch korrekt ausgedrückt ist.)

Wie soll ich aber dann zeigen: $\begin{eqnarray*} (v+w)\phi = v\phi + w\phi \end{eqnarray*}$

Es gilt:
$\begin{eqnarray*} f((v_1+v_2)\phi, (w_1+w_2)\phi) = f(v_1+v_2,w_1+w_2) = f(v_1,w_1) + f(v_1,w_2) + f(v_2,w_1) + f(v_2,w_2) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = f(v_1\phi,w_1\phi) + f(v_1\phi,w_2\phi) + f(v_2\phi,w_1\phi) + f(v_2\phi,w_2\phi) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = f(v_1\phi, w_1\phi+w_2\phi) + f(v_2\phi, w_1\phi+w_2\phi) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = f(v_1\phi+v_2\phi, w_1\phi+w_2\phi) \end{eqnarray*}$

Also gilt:
$\begin{eqnarray*} f((v_1+v_2)\phi, (w_1+w_2)\phi) = f(v_1\phi+v_2\phi, w_1\phi+w_2\phi) \end{eqnarray*}$

Aber daraus kann ich doch nicht die Linearität schließen, oder?

Wäre nett, wenn mir da jemand bei helfen könnte.

27.06.2007, 22:45

WebFritzi

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Isometrie: Linearität zeigen

Zitat:

Original von Hügel
eine orthosymmetrische id-Bilinearform auf V, so dass V regulär bezüglich f ist.

Kannst du das näher erläutern? Außer dem Wort "Bilinearform" kenne ich keine dieser Bezeichnungen.

28.06.2007, 11:55

Hügel

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Isometrie: Linearität zeigen
Also, eine $\begin{eqnarray*} \alpha-Bilinearform \end{eqnarray*}$ ist bei uns ein anderes Wort für Sesquilinearform.
Das $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ ist in diesem Fall einfach die Identität.
In wie weit das bei einer Sesquilinearform unterschieden wird, weiß ich leider nicht, da wir den Begriff nicht benutzen.

Zitat:

Skript
f heißt orthosymmetrisch, falls für alle $\begin{eqnarray*} v, w \in V \end{eqnarray*}$ gilt:
$\begin{eqnarray*} f(v,w) = 0 \Leftrightarrow f(w,v) = 0 \end{eqnarray*}$

Zitat:

Skript
V heißt regulär (oder nicht ausgeartet) bezüglich f, falls aus $\begin{eqnarray*} f(v,w) = 0 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} w \in V \end{eqnarray*}$ schon $\begin{eqnarray*} v = 0 \end{eqnarray*}$ folgt.

Ich weiß nicht, ob nicht ausgeartet verbreiteter ist. Wir verwenden eigentlich immer regulär, deshalb habe ich den Begriff genommen.

Ich hab es jetzt aber geschafft, die Linearität zu zeigen.

Nur bei der Bijektivität bin ich mir nicht ganz sicher, ob das aus der "Nichtausgeartetheit" folgt.

28.06.2007, 12:20

WebFritzi

Auf diesen Beitrag antworten »

OK, danke. Aber wann heißt f orthogonal?

28.06.2007, 13:36

Hügel

Auf diesen Beitrag antworten »

Nach unseren Definitionen gilt:

Zitat:

Skript
Sei $\begin{eqnarray*} \alpha = id, char K \neq 2 \end{eqnarray*}$ und f eine symmetrische Bilinearform. Dann heißt f orthogonale Bilinearform.

Weiß nicht, ob das so üblich ist, aber wir verwenden es so.

28.06.2007, 13:46

WebFritzi

Auf diesen Beitrag antworten »

Ne, das ist nicht üblich. Und ich weiß immernoch nicht recht, was das alpha für eine Bedeutung hat.

28.06.2007, 14:10

Hügel

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Skript
Eine Abbildung $\begin{eqnarray*} f: V \times V \to K \end{eqnarray*}$ heißt $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ -Bilinearform (oder Sesquilinearform) auf V, falls für alle $\begin{eqnarray*} v_1,v_2,v_3 \in V \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} k \in K \end{eqnarray*}$ gilt:

I: $\begin{eqnarray*} f(v_1+v_2,v_3) = f(v_1,v_3) + f(v_2,v_3) \end{eqnarray*}$
und $\begin{eqnarray*} f(v_1,v_2+v_3) = f(v_1,v_2) + f(v_1,v_3) \end{eqnarray*}$

II: $\begin{eqnarray*} f(kv_1,v_2) = kf(v_1,v_2) \end{eqnarray*}$
und $\begin{eqnarray*} f(v_1,kv_2) = (k \alpha) f(v_1,v_2) \end{eqnarray*}$ (Abbildung Alpha von rechts geschrieben.)

Alpha ist dabei ein Körperautomorphismus von K.

Ich weiß jetzt nicht, ob das dann eine Alpha-Sesquilinearform ist, oder ob man es einfach Sesquilinearform nennt, und das Alpha irgendwie anders erkennt.

Wir nennen es jedoch Alpha-Bilinearform.

Neue Frage »

Antworten »

Isometrie: Linearität zeigen

Verwandte Themen