komplexe Zahlen

25.01.2005, 13:22

Ledro

komplexe Zahlen

Hallo,

ich habe mal wieder eine Frage zu den komplexen Zahlen:

es sollen alle komplexen Zahlen z mit $\begin{eqnarray*} z^2=i \end{eqnarray*}$ bestimmt werden.
Da z als z=a+bi mit a,b e R geschrieben werden, besagt:

$\begin{eqnarray*} z^2=i \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} i=z^2=(a+bi)^2=a^2-b^2+2abi \end{eqnarray*}$ .

so weit, so gut.
nur, wie geht es weiter?
als Ansatz wurde genannt: $\begin{eqnarray*} a^2=b^2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 2ab=1 \end{eqnarray*}$ . Nur verstehe ich das jetzt nicht mehr: wie "entstehen" diese Äquivalenzen?? was muss ich tun, um diese zu erreichen??

und wie kommt man nun letztendlich auf das Endergebnis: $\begin{eqnarray*} z=\pm \frac{1}{\sqrt{2}}(1+i) \end{eqnarray*}$ ???

Ich freue mich wieder über jeden Tipp!!!
Danke Euch für die supertolle Unterstützung!!!
ciao Ledro

25.01.2005, 13:25

JochenX

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2ab=1 daraus folgt b=1/2a... (edit1: a,b beide ungleich 0)
setz das mal in a²=b² ein und forme mal etwas um....
(edit1: beachte, a und b sind natürlich aus IR)

kommst damit weiter?

mfg jochen

25.01.2005, 13:39

Ledro

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komplexe Zahlen
danke!

aber ich verstehe immer noch nicht, wieso man einfach 2ab=1 oder/und a^2=b^2 setzen kann?

die gleichung lautet doch i=a^2-b^2+2abi

also: 2abi= i-a^2+b^2
2ab=(i-a^2+b^2)/i

und: a^2=i+b^2-2abi

Kannst Du mir bitte das nochmal erklären? Danke!!!
ciao Ledro

25.01.2005, 13:43

JochenX

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Zitat:

i=a^2-b^2+2abi

links und rechts steht eine komplexe zahl der form x+yi, mit y, x aus IR!
i=0+1*i also ist hier x=0, y=1
da das rechte auch i sein soll (gleichheit) muss hier auch x=0, y=1 gelten.
x ist hier aber in der form a²-b², y in der form 2ab....
x und y sind einfach deine koeffizienten vor dem i, bzw. die koeffizienten vor dem "nicht-i" (auch real- und imaginärteil genannt)
daher deine beiden gleichungen, mit denen du lösungen für a und b finden kannst.

mfg jochen

25.01.2005, 13:47

MisterSeaman

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Hi,

$\begin{eqnarray*} a^2 - b^2 + 2abi = i \end{eqnarray*}$

d.h.

$\begin{eqnarray*} a^2 = b^2 \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} 2ab = 1 \end{eqnarray*}$

d.h. entweder

$\begin{eqnarray*} a=b \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} a=-b \end{eqnarray*}$
also entweder $\begin{eqnarray*} -2a^2 = 1 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} 2a^2=1 \end{eqnarray*}$ .

Insgesamt also, da nur reelle Zahlen a gesucht sind, $\begin{eqnarray*} a= \pm \sqrt{\frac{1}{2}} \end{eqnarray*}$
und a=b.

Gruß

MisterSeaman

25.01.2005, 14:10

JochenX

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bitte keine kompletten lösungen vorrechnen, seaman! unglücklich

25.01.2005, 14:15

Ledro

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komplexe Zahlen
danke Jochen, das mit den Koeffizienten habe ich - glaube ich/hoffe ich!!! - nun so einigermassen verstanden.

nur: wenn ich $\begin{eqnarray*} a =\pm \frac{1}{ \sqrt{2}} \end{eqnarray*}$ nun habe, wie "gelange" ich nun wieder zu z? ist folgender "Weg" richtig?

ich habe mir folgendes gedacht:
z=a+bi
$\begin{eqnarray*} z=\pm \frac{1}{ \sqrt{2}} + 1*i \end{eqnarray*}$

also: $\begin{eqnarray*} z=\pm \frac{1}{ \sqrt{2}}(1 + i) \end{eqnarray*}$ ???

Nochmal, danke!!!
ciao Ledro

25.01.2005, 14:18

JochenX

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wenn du a als (-)1/(wurzel2) hast kannst du ja b ausrechnen....
dann hast du a und b (davon gibt es 2 paare)

das setzt du in deinen ansatz z=a+bi ein.
deins stimmt noch nicht....

mfg jochen

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