schwerpunkte

27.06.2007, 17:28	brougham	Auf diesen Beitrag antworten »
schwerpunkte hallo leute. kann mir bitte jemand erklären wie ich mit integralen den schwerpunkt einer kurve/bogen/parabel und eines körpers berechne? ich mein bei geometrisch unsinnigen figuren, die man nur durch eine funktion beschreiben kann. bei "flächen" hab ichs verstanden, nur zu den anderen beiden find ich auch in büchern nichts. seid bitte so nett, und schreibt die herleitung mit auf, wenn ihrs erklärt, ich hab nur ne 3 in mathe... danke
27.06.2007, 23:31	magneto42	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Ansatz für den Schwerpunkt in ein, zwei oder drei Dimensionen (Kurve, Fläche, Körper) ist im Prinzip derselbe. Ich versuche mal das beim Körper verständlich zu machen. Ein Körper hat eine Masse $\begin{eqnarray} M \end{eqnarray}$ . Stell Dir den Körper aus $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ kleinen Massepunkten $\begin{eqnarray} \Delta m_{i} \end{eqnarray}$ zusammengesetzt vor (wie bei Legosteinen). Dann kann man für den Schwerpunkt schreiben: $\begin{eqnarray} \vec{S}=\frac{1}{M} \cdot \sum_{i=1}^n~\vec{r_{i}} \cdot \Delta m_{i} \end{eqnarray}$ Der Schwerpunkt ist also eine Art Mittelwert alle Massepunkte. In der Mathematik setzt man in der Regel eine gleichmäßige Dichte voraus, also: $\begin{eqnarray} M = \rho \cdot V \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Delta m_{i} = \rho \cdot \Delta V_{i} \end{eqnarray}$ Daraus: $\begin{eqnarray} \vec{S}=\frac{1}{V} \cdot \sum_{i=1}^n~\vec{r_{i}} \cdot \Delta V_{i} \end{eqnarray}$ Man summiert jetzt also über kleine Volumenstückchen; wenn man die Volumenstückchen immer kleiner macht, dann geht die Summe in ein Integral über: $\begin{eqnarray} \vec{S}=\frac{1}{V}\int_{V}^{}~\vec{r}~dV \end{eqnarray}$ In kartesischen Koordinaten kann man auch schreiben $\begin{eqnarray} (S_{x}, S_{y}, S_{z})=\frac{1}{V} \int_{z}^{}~\int_{y}^{}~\int_{x}^{}~(x,y,z)~dx~dy~dz \end{eqnarray}$ Für eine Fläche ersetzt man $\begin{eqnarray} V \rightarrow A \end{eqnarray}$ und für eine Kurve $\begin{eqnarray} V \rightarrow s \end{eqnarray}$

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »