Wie vorgehen bei Beweis(Induktion)

27.06.2007, 18:57

FabiB

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Wie vorgehen bei Beweis(Induktion)

Tja hallo mal wieder.

Also ich versuche gerade die vollständige Induktion zu verstehen/lernen.

Ich habe dazu ein paar Übungsaufgaben bei denen ich Summenformeln beweisen soll. Das Grundprinzip habe ich wohl verstanden aber irgendwie trotzdem Probleme.

also jetzt bin ich z.B. gerade beim Induktionsschritt und möchte zeigen:

$\begin{eqnarray*} =\frac{1}{6}n (n+1) (2n+1) + (n+1)² \end{eqnarray*}$
...
...
...
...
$\begin{eqnarray*} =\frac{1}{6} (n+1) (n+2) (2n+3) \end{eqnarray*}$

damit wäre die Formel dann bewiesen.

Ich weiß leider nicht wie ich die Terme umformen soll um von der einen auf die andere Form zu kommen.
Ich wäre dankbar wenn ich nicht bloß eine Lösung erhalten würde, sondern einen Tipp für die Herangehensweise oder sogar wie ich so etwas lernen kann.

27.06.2007, 19:01

kiste

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Zeig einfach das die Nullstellen gleich sind, dann sind auch die Polynome wegen gleichem Vorfaktor der höchsten Potenz gleich

27.06.2007, 19:12

FabiB

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Hallo,
danke für die Antwort.

"Zeig einfach, daß die Nullstellen gleich sind".

Okay das klingt einfach, aber ehrlichgesagt übersteigt das meine Fähigkeiten.
Ich denke mir fehlt da einiges an Grundkenntnissen.

Kann mir jemand einen Hinweis geben, was ich lernen muss um so etwas zu können?

27.06.2007, 20:25

kiste

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Ich benutze hier folgenden Satz.

Du willst die Äquivalenz zweier Polynome zeigen. Das untere Polynom ist bereits in seine Linearfaktoren aufgeteilt. Ein Produkt ist genau dann 0 wenn eines seiner Faktoren 0 ist. D.h. du kannst die Nullstellen gleich ablesen.

Diese Nullstellen, eine ist hier z.B. -1, setzt du in das obere Polynom ein. Wenn für jede Nullstelle das obere Polynom auch 0 wird so sind die beiden gleich.

Ich denke nicht das das Einsetzen sehr schwierig ist, auf jeden Fall einfacher wie das Umformen deines Terms.
Was auch möglich wäre, das eine Polynom vom anderen abzuziehen und zeigen das es gleich 0 wird, denn dann sind beide gleich. Das geht mit elementarem ausmultiplizieren ist aber dann nicht so elegant Augenzwinkern

Augenzwinkern

27.06.2007, 20:51

riwe

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das ist aber bei dem verfahren der VI nicht die richtige methode, die behauptung muß ja für ALLE $\begin{eqnarray*} n >=n_0 \end{eqnarray*}$ gelten.
daher helfen dir die nullstellen gar nichts.

hebe doch einfach $\begin{eqnarray*} (n+1) \end{eqnarray*}$ heraus und fasse den rest zusammen,
dann bist du schon am ziel Freude

Freude

28.06.2007, 08:15

klarsoweit

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Zitat:

Original von riwe
das ist aber bei dem verfahren der VI nicht die richtige methode

Wieso? Es geht doch an dieser Stelle nicht mehr um die VI, sondern darum, die Gleichheit von 2 Polynomen zu zeigen. Die Methode von kiste ist vielleicht nicht üblich, aber mathematisch durchaus korrekt.

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28.06.2007, 15:20

riwe

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naja, da hast du auch wieder recht,
aber viel einfacher ist der übliche weg doch.

28.06.2007, 18:40

kiste

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Einfacher ist subjektiv, ich hatte den Eindruck er ist nicht so gut in Termumformung und hab mal einen alternativen Weg gewählt Augenzwinkern

Augenzwinkern

28.06.2007, 19:40

vektorraum

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RE: Wie vorgehen bei Beweis(Induktion)

Zitat:

Original von FabiB
Tja hallo mal wieder.

Also ich versuche gerade die vollständige Induktion zu verstehen/lernen.

Ich habe dazu ein paar Übungsaufgaben bei denen ich Summenformeln beweisen soll. Das Grundprinzip habe ich wohl verstanden aber irgendwie trotzdem Probleme.

also jetzt bin ich z.B. gerade beim Induktionsschritt und möchte zeigen:

@kiste: Fabi wollte die vollständige Induktion verstehen oder lernen, siehe sein Zitat. Vlt ist der Lösungsansatz auch okay, aber hat ja nichts mehr mit der ursprünglichen Frage zu tun. Das wäre ja vollkommen übergangen, deshalb gebe ich riwe da auch Recht!

Auch wenn er Termumformungen nicht kann, würde das ja fast so getreu nach dem Motto sein: Ach wenn mans halt nicht kann, dann zeige ich was anderes.

@fabi: schreibe doch mal die vollständige Aufgabe hin, was zu zeigen ist. Dann kann man das ja mal Schritt für Schritt durchgehen.

28.06.2007, 20:18

system-agent

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@klarsoweit
muss man bei einer vollständigen induktion nicht stets die induktionsvoraussetzung nutzen? wenn man die nullstellen vergleicht, dann hat man sich ja genau davor gedrückt und mMn den induktionsschritt eben nicht gezeigt, lediglich dass eben diese beiden polynome gleich sind. verwirrt

verwirrt

28.06.2007, 20:24

klarsoweit

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RE: Wie vorgehen bei Beweis(Induktion)

Zitat:

Original von FabiB
$\begin{eqnarray*} =\frac{1}{6}n (n+1) (2n+1) + (n+1)² \end{eqnarray*}$

Wenn ich das richtig interpretiere, wurde da der letzte Summand von $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n+1}~k^2 \end{eqnarray*}$ abgespalten und die Induktionsvoraussetzung eingesetzt. Jetzt ging es ja nur noch darum, dies so umzuformen, dasß die rechte Seite der Induktionsbehauptung dasteht.

Die ganze Verwirrung kommt nur davon, weil die Rechnung nur in Bruchstücken gepostet wurde. Augenzwinkern

Augenzwinkern

28.06.2007, 21:04

system-agent

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habs mir nicht extra aufgeschrieben, wenn es so war ist natürlich alles ok smile

smile

28.06.2007, 21:29

FabiB

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immer die ganze Rechnung posten *merk*

smile

smile

ja ich war auch der Meinung bei meiner Induktionsaufgabe hatte ich den richtigen Ansatz. Aber die Termumformungen machen mir Probleme.

also hier nochmal alles:

Zu beweisen ist folgende Summenformel durch vollständige Induktion:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n~k^2 = \frac{1}{6}n* (n+1) (2n+1) \end{eqnarray*}$

Induktionsanfang: n=1

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^1~k^2 = 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{6}n* (1+1) (2+1)= 1 \end{eqnarray*}$

Damit wäre die Behauptung für n=1 bewiesen.

Induktionsschritt:n-->n+1

Induktionsvorraussetzung:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n~k^2 = \frac{1}{6}n* (n+1) (2n+1) \end{eqnarray*}$

Induktionsbehauptung:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n+1}~k^2 = \frac{1}{6}(n+1)* (n+2) (2n+3) \end{eqnarray*}$

Induktionsbeweis:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n+1}~k^2 = \sum_{k=1}^n~k^2 +(n+1)^2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =^{(IV)} \frac{1}{6}n* (n+1) (2n+1) +(n+1)^2 \end{eqnarray*}$

hier weiss ich nicht weiter, aber am ende muss ja folgendes stehen:

$\begin{eqnarray*} = \frac{1}{6}(n+1)* (n+2) (2n+3) \end{eqnarray*}$

Damit wäre die Behauptung wohl bewiesen.

29.06.2007, 08:15

klarsoweit

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Zitat:

Original von FabiB
$\begin{eqnarray*} =^{(IV)} \frac{1}{6}n* (n+1) (2n+1) +(n+1)^2 \end{eqnarray*}$

hier weiss ich nicht weiter, aber am ende muss ja folgendes stehen:

$\begin{eqnarray*} = \frac{1}{6}(n+1)* (n+2) (2n+3) \end{eqnarray*}$

Nun ja, so kompliziert ist die Sache nun nicht.

Schreibe:
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{6}n \cdot (n+1) \cdot (2n+1) + (n+1)^2 = \frac{1}{6}(n+1) \cdot n \cdot (2n+1) + \frac{1}{6} \cdot (n+1) \cdot 6(n+1) \end{eqnarray*}$

Klammere nun den Faktor $\begin{eqnarray*} \frac 1 6 (n+1) \end{eqnarray*}$ aus. Dann noch etwas umformen und du erhältst den unteren Term. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Die alternative Idee von kiste geht so:
Das Ziel der Rechnung, also $\begin{eqnarray*} \frac{1}{6}(n+1)* (n+2) (2n+3) \end{eqnarray*}$ , ist ein Polynom 3. Grades mit 1/3 als Koeffizient vor der höchsten Potenz n³. Es hat die Nullstellen -1, -2 und -1,5. Der Ausgangspunkt, also $\begin{eqnarray*} \frac{1}{6}n \cdot (n+1) \cdot (2n+1) + (n+1)^2 \end{eqnarray*}$ , ist ebenfalls ein Polynom 3. Grades und hat ebenfalls 1/3 als Koeffizienten vor der höchsten Potenz n³. Wenn nun dieses Polynom die gleichen Nullstellen hat, so sind diese Polynome identisch. Da nutzt man natürlich einen Fundamentalsatz der Algebra und da stellt sich nastülich die Frage, ob man den hier voraussetzen darf.

Alles klar? Augenzwinkern

Augenzwinkern

29.06.2007, 11:40

FabiB

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ja das kann ich schon nachvollziehen. die nullstellen erkenne ja sogar ich auf den ersten Blick, nur mal so:
wie siehst du in dieser Form, das 1/3 der Koeffizient vor der höchsten Potenz x³ ist. Ich würde da nicht so einfach drauf kommen traurig

traurig

29.06.2007, 11:44

klarsoweit

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Da braucht man nur schauen, wie der Term n³ entsteht. Und das ist einzig durch die Rechnung (1/6) * n * n * 2n.

29.06.2007, 11:59

FabiB

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ja okay danke. war mir ja eigentlich klar. hatte nur so das gefühl das es jedem ins gesicht springt nur mir nicht oder so :-)
also vielen dank erstmal für die antworten

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