Kuvendiskussion und Integrale

27.06.2007, 19:51

mathe760

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Kuvendiskussion und Integrale

Hallo,

Ich habe ein Vorschlag zu folgender Aufgabeenstellung, weiß aber nicht ob der richtig ist bzw. ausreicht.

Aufgabe:

b) Gegeben $\begin{eqnarray*} f(x)=-\frac{1}{27} x^4+\frac{2}{3} x^2+1 \end{eqnarray*}$
Die Gerade g mit y=4 verläuft durch die Hochpunkte des Graphen von f.
Berechnen sie den Inhalt der Fläche, die vom Graphen f und der geraden g eingeschlossen wird.

Mein Vorschlag: also ich weiß das die Hochpunkte $\begin{eqnarray*} H_1=(3|4) und H_2=(-3|4) \end{eqnarray*}$ sind. Die schnittpunkte der geraden und der funktion f sind $\begin{eqnarray*} S_1=(3|4) und S_2=(-3|4) \end{eqnarray*}$

Jetzt hab ich als Integral Funktion: g-f(x)= $\begin{eqnarray*} \frac{1}{27}x^4-\frac{2}{3}x^2+3 \end{eqnarray*}$

Also ist die Fläche: $\begin{eqnarray*} \int_{-3}^{3}~\frac{1}{27}x^4-\frac{2}{3}x^2+3~dx \end{eqnarray*}$

und es ergibt sich somit für die Fläche= $\begin{eqnarray*} 9\frac{3}{5} FE \end{eqnarray*}$

Ist das richtig es kommen noch die Teilaufgaben c und d aber nun möchte ich erstmal wissen ob das richtig ist!?

Bis dann mathe760! Wink

Wink

PS: Was ist eigentlich ein absoluter und ein relativer Hochpunkt; Was ist der Unterschied zwischen den beiden Sachen??

27.06.2007, 20:18

gessi

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RE: Kuvendiskussion und Integrale
Sorry, hab jetzt keine Zeit, was nachzurechnen, aber zu deiner letzten Frage:

Zitat:

Original von mathe760
PS: Was ist eigentlich ein absoluter und ein relativer Hochpunkt; Was ist der Unterschied zwischen den beiden Sachen??

Relativer Hochpunkte sind alle, die du über Ableitung=0 rausbekommst. Der absolute Hochpunkt ist der höchste relative Hochpunkt oder kann bei abgeschlossenen Intervallen auch auf dem Rand liegen. Relative Hochpunkte sind also sozusagen Hochpunkte nur in einer Umgebung, absolute Hochpunkte auf dem gesamten Intervall bzw. Definitionsbereich.

27.06.2007, 21:29

Bjoern1982

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Dein Ergebnis stimmt auch Freude

Freude

Aus symmetrischen Gründen lässt sich das auch so berechnen:

$\begin{eqnarray*} 2 \cdot \int_{0}^{3}~\frac{1}{27}x^4-\frac{2}{3}x^2+3~dx \end{eqnarray*}$

Gruß Björn

28.06.2007, 12:50

mathe760

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Ok Danke an euch Beiden! Das freut mich das ich das richtig gerechnet habe smile

smile

So wenn euch das nichts ausmacht stelle ich jetzt Die Teilaufgabe c) hier rein:

c) Leiten Sie die Gleichung der Parabel her, die ihren Scheitelpunkt im Ursprung hat und die durch die beiden Hochpunkte des Graphen von f verläuft. (Da habe ich $\begin{eqnarray*} y=\frac{4}{9} x^2 \end{eqnarray*}$ das steht auch in der Lösung smile

smile

)

Berechnen sie den Inhalt der Fläche, die von der Parabel und der Geraden aus Teilaufgabe b) eingeschlossen wird.

Zeigen sie, dass sich der Inhalt A dieser Fläche auch mit der Formel $\begin{eqnarray*} A=\frac{2}{3} \cdot s\cdot h \end{eqnarray*}$
berechnen lässt, wobei s der Abstand der beiden Schnittpunkte der Geraden g mit der Parabel und h der Abstand des Scheitelpunkts zur geraden ist.

Mein Lösungsvorschlag:

Integralfunktion: g-y= $\begin{eqnarray*} -\frac{4}{9}x^2+4 \end{eqnarray*}$

Also ist die Fläche: $\begin{eqnarray*} \int_{-3}^{3}~( -\frac{4}{9}x^2+4)~dx \end{eqnarray*}$

Es ergibt sich somit für die Fläche= 16FE

Beweis der Formel $\begin{eqnarray*} A=\frac{2}{3} \cdot s\cdot h \end{eqnarray*}$ mit s=6 und h= 4

eingesetzt ergibt sich: $\begin{eqnarray*} A=\frac{2}{3} \cdot 6\cdot 4 \end{eqnarray*}$
= 16FE

Also ist die Formel Bewiesen, da der Flächeninhalt durch Integration ebenfalls 16FE ist.

Reicht meine Rechnung für das Beweisen der Formel Für die Parabel y??

Bis dann mathe760! Wink

Wink

28.06.2007, 13:08

piloan

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Zitat:

Original von mathe760

Zeigen sie, dass sich der Inhalt A dieser Fläche auch mit der Formel $\begin{eqnarray*} A=\frac{2}{3} \cdot s\cdot h \end{eqnarray*}$
berechnen lässt, wobei s der Abstand der beiden Schnittpunkte der Geraden g mit der Parabel und h der Abstand des Scheitelpunkts zur geraden ist.

Hi
Also ein richtiger Beweis ist das natuerlich nicht.
Aber ich denke, dass es fuer die Aufgabenstellung reicht. Denn du sollst es ja explizit fuer die vorgegebenen Graphen machen. Ich denke es reicht zu zeigen, dass der gleiche Wert bei beiden rauskommt smile

smile

28.06.2007, 13:47

mathe760

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Danke piloan das dachte ich mir nämlich auch so!

Nun zu der Teilaufgabe d)

Zeigen sie allgemein, dass die obige Formel zur Berechnung der eingeschlossenen Fläche auch dann gilt, wenn die Parabel zu $\begin{eqnarray*} y=\frac{4}{9} x^2 \end{eqnarray*}$ von einer beliebigen Parallelen zur x-Achse (y=c, c>0) geschnitten wird.

Mein Lösungsvorschlag:

Schnittpunkte der Parabel und der geraden g: $\begin{eqnarray*} (\sqrt{\frac{9}{4} c}|c) und ( -\sqrt{ \frac{9}{4}c}|c) \end{eqnarray*}$

es gilt h=c und $\begin{eqnarray*} 2\cdot \sqrt{ \frac{9}{4}c}=s \end{eqnarray*}$

eingesetzt ergibt das: $\begin{eqnarray*} \sqrt[3]{ \frac{A^2}{4}}=c \end{eqnarray*}$

so und was kann ich jetzt damit anfangen??

Bis dann mathe760! Wink

Wink

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28.06.2007, 17:57

piloan

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Hi
berechne noch allgemein die Flaeche, die der Graph mit der Geraden c einschließt.

Also durch Integralberechnung.
Dann zeigst du, dass beide gleich sind . smile

smile

Gruß

30.06.2007, 19:17

mathe760

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@piloan: Und wie kann ich dieses integral lösen: $\begin{eqnarray*} \int_{-\sqrt{ \frac{9}{4} c}}^{\sqrt{ \frac{9}{4}c}}~(- \frac{4}{27} x^3+c\cdot x)~dx \end{eqnarray*}$ ?? Ich komm mit den grenzen ganz durch einander wenn ich die einsetze! unglücklich

unglücklich

könntest du mir dass vielleich mal erklären oder zeigen?? verwirrt

verwirrt

Edit: ich sehe gerade kann ich die grenzen jeweils zu s/2 und -s/2 substituieren und dann rüchsubstituieren?? weil es gilt ja: $\begin{eqnarray*} s=2\cdot \sqrt{ \frac{9}{4}c} \end{eqnarray*}$

Bis dann mathe760! Wink

Wink

01.07.2007, 18:56

mathe760

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Kann mir bitte jemand sagen ob das richtig ist und wenn ja wie dass genau geht bzw. Wenn der Ansatz falsch ist wie es richtig geht??

Bis dann mathe760! Wink

Wink

02.07.2007, 00:20

piloan

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Hi
Also ich dachte du sollst die Flaeche, die die Parabel mit der Geraden bildet, berechnen.
Unter b) steht das deine Parabel die Form $\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{4}{9}x^2 \end{eqnarray*}$ hat.
Dann folgt

$\begin{eqnarray*} \int_{-\sqrt{ \frac{9}{4} c}}^{\sqrt{ \frac{9}{4}c}}~(- \frac{4}{9} x^2+c)~dx=[-\frac{4}{27}x^3+cx]_{-\sqrt{\frac{9}{4} c}}^{\sqrt{\frac{9}{4} c}}=-\sqrt{c^3}+3\sqrt{c^3}=2\sqrt{c^3} \end{eqnarray*}$

Fuer $\begin{eqnarray*} A=\frac{2}{3}sh \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} s=\frac{3}{2}\sqrt{c}\cdot 2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} h=c \end{eqnarray*}$ dann folgt $\begin{eqnarray*} A=2\cdot \sqrt{c^3} \end{eqnarray*}$

Damit ist die Identitaet bewiesen.
Grüße
Edit: Danke, habs editiert Augenzwinkern

Augenzwinkern

02.07.2007, 06:08

Airblader

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@piloan

Schreibefehler unter der Wurzel.
Da sollte $\begin{eqnarray*} 2\sqrt{c^3} \end{eqnarray*}$ stehen smile

smile

air

02.07.2007, 16:43

mathe760

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Hi an euch beiden. Wink

Wink

genau so habe ich das auch gemacht allerdings verstehe ich nicht warum die iddentität damit bewiesen ist. verwirrt

verwirrt

Bis dann mathe760! Wink

Wink

04.07.2007, 12:04

Bjoern1982

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Weil man sowohl durch die angegebene Formel als auch mittels Integralrechnung auf dasselbe Ergebnis kommt, welches nur noch von c abhängt.

04.07.2007, 19:42

mathe760

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Stimmt ich war wohl etwas Blind Danke an alle, ihr habt mir wiedermal sehr geholfen! Freude

Freude

Bis dann mathe760 Wink

Wink

04.07.2007, 19:50

Bjoern1982

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Mal so nebenbei:

Habt ihr die Aufgabe im Unterricht besprochen ?
Und weisst du dass das eine Aufgabe aus dem diesjährgen Zentralabi in NRW war ?

Gruß Björn

04.07.2007, 20:00

mathe760

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wieso fragst du??

Ich habe die als übungsaufgabe genommen.
Ich habe den Link von jemandem aus dem Forum.

04.07.2007, 20:06

Bjoern1982

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Ich frage halt aus Interesse, weil es mich gewundert hätte wenn ein Lehrer mit euch eine solche Aufgabe besprochen hätte smile

smile

Hier gibt es auch noch mehrere Aufgaben wenn du dich austoben möchtest Augenzwinkern

Augenzwinkern

http://www.hulda-pankok-gesamtschule.de/index.php?id=699

Björn

04.07.2007, 20:10

mathe760

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Aber warum darf man einfach Aufgaben nehmen aus dem Abitur, oder sind das nur Beispiel Aufgaben was kommen kann im Abi??

Danke für den Link Björn, da wird ich mich gleich mal dran versuchen smile

smile

Edit\ Ich glaube kaum das ein lehrer das mit einer 8. Klasse durchnimmt Big Laugh

Big Laugh

Bis dann mathe760 Wink

Wink

04.07.2007, 20:13

Bjoern1982

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Aber warum darf man einfach Aufgaben nehmen aus dem Abitur, oder sind das nur Beispiel Aufgaben was kommen kann im Abi??

Unter dem Link findest du wie gesagt die Original Abituraufgaben von diesem Jahr smile

smile

Keine Ahnung warum man das so einfach im Netzt findet Big Laugh

Big Laugh

05.07.2007, 16:33

mathe760

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Hi Björn,

Ich denke das die eine von den Aufgaben ziehen, und dass die dann letztendlich auch in der Abi Prüfung benutzt wird.

So nun habe ich mich an die ganz oben stehende "Fichte" Aufgabe vom link versucht:

a)

Als Funktionwert habe ich f(30)=0,9

Das bedeutet, das die Fichte in laufe von 30 Jahren 90 cm wächst.

Beschreibung der Entwicklung:

Anhand des Graphen erkennt man leicht, das die Fichte 20 Jahre lang stetig wächstund dann danach das Wachstum stetig abnimmt, und schließlich ganz aufhört zu wachsen.

b) Ich habe ja die zweite Ableitung gegeben, also kann ich entweder die Stammfunktion von f´´(t) bilden oder ich kann die Ableitung von f(t) bilden.
Als Übung würde ich gerne beide Wege versuchen.

Dazu muss ich erstmal wissen, ob ich $\begin{eqnarray*} e^{kx} \end{eqnarray*}$ irgendwie vereinfachen kann.
Desweiteren muss ich wissen wie man die Stammfunktion von f´´(t) bildet.

Ich denke für den Anfang reicht das erstmal Big Laugh

Big Laugh

Bis dann mathe760 Wink

Wink

06.07.2007, 17:51

mathe760

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Ok dann poste ich mal c)

Begründung das die Fichte nach 20 Jahren weniger als 20 Meter hoch ist: Da weiß ich leider garnicht, wie ich daran gehen soll.

das F8t9 Stammfunktion von f(t) ist habe ich schon raus. Indem ich F(t) einmal ableite und dann f(t) erhalte.

Berechnung der zu erwartenden Höhe der fichte nach 20 Jahren:

Da habe ich mir Überlegt ob man das nicht mit einer Reihensumme machen könnte, was anderes fällt mir jetzt auch nicht ein!
Wie soll ich den Wert von dieser Reihe den berechnen?:

$\begin{eqnarray*} \sum_{t=0}^{20}~0,02t^2\cdot e^{-0,1t} \end{eqnarray*}$

ich hoffe ihr könnt mir bei meinen Aufgaben helfen.

Bis dann mathe760 Wink

Wink

06.07.2007, 18:17

Bjoern1982

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Puh...ich sehe ja jetzt erst, dass du erst 14 bist. Da würde ich dir solche Aufgaben nur dann empfehlen, wenn du wirklich Ahnung von Differentialrechnung bzw Integralrechung hast, sprich dich in der Analysis I gut auskennst. In der 8. Klasse wird das wohl kaum schon Thema sein oder Augenzwinkern

Augenzwinkern

Also wenn du dennoch so begierig bist, dir vieles im Voraus anzueignen, dann kaufe dir entweder entsprechende Bücher, surfe im Internet nach entsprechenden Seiten oder frage hier im Forum (wobei dir Im Forum auch keiner die komplette Differentialrechnung erklären wird).

Was meinst du dazu ? Und wie schätzt du selbst deinen Wissensstand ein ?

Gruß Björn

06.07.2007, 19:22

Airblader

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Den Wert kannst du doch gemütlich über nen GTR berechnen lassen (falls du einen hast). Wobei du t auch erst bei 1 beginnen lassen kannst, da für t=0 der Wert sowieso 0 ist Augenzwinkern

Augenzwinkern

Falls du keinen GTR hast:

$\begin{eqnarray*} \sum_{t=0}^{20}~\left(0.02t^2 \cdot e^{-0.01t}\right) \approx 13,47 \end{eqnarray*}$

(Da es hier nur stures Ausrechnen ist geht es wohl in Ordnung)

air

06.07.2007, 23:58

Bjoern1982

Auf diesen Beitrag antworten »

So war die Aufgabe aber bestimmt nicht gedacht...ein Dreieck und ein Rechteck hätten es auch getan, denn das passt ja so schön unter den Graphen (näherungsweise) Augenzwinkern

Augenzwinkern

Björn

07.07.2007, 15:26

Airblader

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Hab den Thread ehrlich gesagt garnicht gelesen, hatte nur das mit der Summe gesehen Augenzwinkern

Augenzwinkern

air

08.07.2007, 19:01

mathe760

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Hallo,

@ Bjoern1982: Ich denke ich kenne mich recht gut in der Integralrechnung und der Differentialrechnung aus, allerdings kann ich überhaupt keine Differentialgleichungen lösen, da mir das thema im Moment ziemlich öde erscheint. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Ich habe mir ja auch schon ein sehr umfangreiches Buch gekauft, vielleicht kennst du es ja "Mathematik verständlich von Robert Müller"?
Ich denke , das Alter in der Mathematik keine wesentliche rolle spielt, schon gar nicht wenn man wie ich fasziniert ist von ihr.
Natürlich hatte ich schon meine schwierigkeiten beim verstehen der Zusammenhänge und so, aber dabei habt ihr mir Prima geholfen Freude

Freude

smile

So nun zu der Aufgabe, wie soll ich denn jetzt zeigen das die Fichte innerhalb von 20 Jahren weniger als 20 Meter hoch ist?? Und wie soll ich die zu erwartende Höhe nach 20 Jahren ausrechnen?? Natürlich müsst ihr mir jetzt nicht alles vorrechnen, sondern nur Tipps und Anregungen und vielleicht auch noch warum man das so macht. Ich habe das leider immer nocht nicht verstanden! unglücklich

unglücklich

Bis dann mathe760 Wink

Wink

08.07.2007, 20:50

Bjoern1982

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Hi

Zitat:

ch habe mir ja auch schon ein sehr umfangreiches Buch gekauft, vielleicht kennst du es ja "Mathematik verständlich von Robert Müller"?

Nein, sagt mir jetzt nichts. Aber freut mich wenn du damit gut zurecht kommst smile

smile

Zitat:

Ich denke , das Alter in der Mathematik keine wesentliche rolle spielt, schon gar nicht wenn man wie ich fasziniert ist von ihr.

Klar, sehe ich auch so. Je mehr Ehrgeiz und Interesse vorhanden ist, umso schneller geht es auch Zugang zu den verschiedenen Bereichen der Mathematik zu finden. Und das scheint ja bei dir der Fall zu sein, was wirkich lobenswert ist Freude

Freude

Zu der Aufgabe:

Ich sage mal soviel:

Die Fläche, die der Graph mit der x-Achse einschließt, stellt das Wachstum der Fichte in Metern da.

Gruß Björn

08.07.2007, 20:55

mathe760

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Natürlich jetzt wo du es sagst fällt der Groschen!
Ich soll also einfach die Funktion in den Grenzen von 0 bis 20 Integrieren oder?? Und wie kann ich denn zeigen nur durch anschauen des graphen, das Die Fichte weniger als 20 Meter Hoch ist??

Nochmal vielen Dank Freude

Freude

Bis dann mathe760 Wink

Wink

08.07.2007, 21:03

Bjoern1982

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Schau mal in meinen Post vom 06.07.2007 23:58

Da steht ein Hinweis.

09.07.2007, 10:17

mathe760

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Ja aber das verstehe ich leider nicht, ich glaube ich bin zu dumm unglücklich

unglücklich

Wie meinst du das??

Und bei der Berechnung des Integrals komme ich auf 103 oder so.. böse

böse

Bis dann mathe760 Wink

Wink

09.07.2007, 10:42

Bjoern1982

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Joa bei der Berechnung des Integrals hast du dich wohl vertan, um den Fehler zu finden müsstest du schon deinen Rechenweg posten.

Um die Fläche, die der Graph in einem bestimmten Intervall mit der x-Achse einschließt, EXAKT zu berechnen, greift man zur Integralrechnung.

Um die Fläche UNGEFÄHR abzuschätzen kann man ja auch mal schauen ob man in diese Fläche andere geometrische Figuren wie Recht- oder Dreiecke einzeichnen kann.

Gruß Björn

09.07.2007, 14:05

Venus²

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RE: Kuvendiskussion und Integrale

Zitat:

Original von mathe760
Jetzt hab ich als Integral Funktion: g-f(x)= $\begin{eqnarray*} \frac{1}{27}x^4-\frac{2}{3}x^2+3 \end{eqnarray*}$

Mal ne Frage...

$\begin{eqnarray*} g(x)-f(x)=\frac{1}{27}x^4-\frac{2}{3}x^2+3 \end{eqnarray*}$ ist doch eigentlich die Integrandenfunktion, oder?

09.07.2007, 15:00

piloan

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RE: Kuvendiskussion und Integrale

Zitat:

Original von Anne-So 5

$\begin{eqnarray*} h(x):=g(x)-f(x)=\frac{1}{27}x^4-\frac{2}{3}x^2+3 \end{eqnarray*}$

heisst Integrand, falls du das Integral ueber h(x) bildest Augenzwinkern

Augenzwinkern

Gruß

09.07.2007, 20:19

mathe760

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich poste mal meine Lösung:

Höhe nach 20 Jahren:

$\begin{eqnarray*} \mid \int_{0}^{20}~0,02t^2 \cdot e^{-0,1t}~dt\mid \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} [-0,2 \cdot (t^2+20t+200)\cdot e^{-0,1t}]_{0}^{20} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \mid[-0,2\cdot(20^2+20\cdot20+200)\cdot e^{-2}]-[-0,2\cdot(0^2+20\cdot0+200)\cdot e^0]\mid \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \mid[-143,656]- [-40]\mid \end{eqnarray*}$

= $\begin{eqnarray*} 103,656FE \end{eqnarray*}$ entspricht 103,656 Meter.

Was ja laut Aufgabe nicht stimmen kann, also wo ist mein Fehler??

Ich kann leider kein graphen erstellen verwirrt

verwirrt

Bis dann mathe760 Wink

Wink

09.07.2007, 21:48

Bjoern1982

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} \mid[-0,2\cdot(20^2+20\cdot20+200)\cdot e^{-2}]-[-0,2\cdot(0^2+20\cdot0+200)\cdot e^0]\mid \end{eqnarray*}$

Das Ergebnis des linken Summanden stimmt nicht...rechne nochmal genau nach. Da sollte $\begin{eqnarray*} - \frac{200}{e^2} \end{eqnarray*}$ rauskommen, statt -143.656

Gruß Björn

10.07.2007, 11:07

mathe760

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Hallo,

Ich hab das jetzt auch grad gesehen, wie bin ich da bloss drauf gekommen? Hammer

Hammer

Ich bin jetzt leider in der Schule, also kann ich nicht nachrechnen, aber kann ich die Betragsstriche jetzt weglassen?? Weil Die Fläche ist ja überhalb der x-Achse! geschockt

geschockt

Bis dann mathe760 Wink

Wink

10.07.2007, 11:25

Bjoern1982

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Zitat:

aber kann ich die Betragsstriche jetzt weglassen?? Weil Die Fläche ist ja überhalb der x-Achse!

Genauso ist das Freude

Freude

Gruß Björn

10.07.2007, 11:39

mathe760

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Ok vielen Dank hast du noch ein tipp zum Abschätzen der Fläche, durch anschauen des graphen?? Ich hab das mit dem Dreieck und dem Rechteck leiderimmer nocht nicht verstanden unglücklich

unglücklich

Bis dann mathe760 Wink

Wink

11.07.2007, 20:27

mathe760

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So jetzt habe ich als Ergebnis bei der Integration 13,13meter für die Fichte heraus, also ist es gezeigt das Sie unter 20 Meter hoch ist smile

smile

.

So ich glaub ich weiß jetzt was du mit dem dreieck und rechteck meinst. Soll ich vielleicht Die beiden Figuren unter den graphen zeichnen, und dann die fläche von den Beiden figuren als Näherung nehmen?? Aber ich soll es ja ohne rechnung, sondern nur durch anschauen des Graphen zeigen oder??

So jetzt habe ich noch die Aufgabe d)

Begründen sie durch eigenschaften der Funktion f, dass F eine Wendestelle hat.

Lösungsansatz:

Ich meine, dass f Höchstens zwei Nullstellen haben kann, und durch den Satz, das f dann höchsten 2-2 Wendestellen haben kann, hat f keine Wendepunkte. Aber wie soll ich das für F zeigen?? verwirrt

verwirrt

Bis dann mathe760 Wink

Wink

11.07.2007, 20:43

Bjoern1982

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Zitat:

So jetzt habe ich als Ergebnis bei der Integration 13,13meter für die Fichte heraus, also ist es gezeigt das Sie unter 20 Meter hoch ist

Hatte ich auch raus.

Zitat:

Soll ich vielleicht Die beiden Figuren unter den graphen zeichnen, und dann die fläche von den Beiden figuren als Näherung nehmen??

Genau, und das kann man ja dann im Kopf überschlagen was da rauskommt. Irgendwie muss man ja grob (ohne Integralrechnung) argumentieren.

Zitat:

Begründen sie durch eigenschaften der Funktion f, dass F eine Wendestelle hat.

Wie kann man denn F''(x) noch schreiben ?

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