Kuvendiskussion und Integrale - Seite 2

12.07.2007, 20:17

mathe760

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Ich weiß jetzt nur das F´´(x)=f´(x) ist und so aussieht:

\Edit: ich hasse den Plotter, wie geht das??

\Edit2: Ich schaffe es irgendwie auch nicht die Stammfunktion von f herzuleiten. Ich benutze Partiell ist das wenigstens richtig??

Bis dann mathe760 Wink

Wink

12.07.2007, 20:35

Calvin

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Ich habe dir den plot korrigiert. Kommazahlen gehen mit "Punkt" und die e-Funktion mit exp(...)

code:
1:	[plot=0:10,0:0.5](0.04x-0.002x^2)exp(-0.1x)[/plot]

13.07.2007, 03:08

Bjoern1982

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Zitat:

Ich weiß jetzt nur das F´´(x)=f´(x) ist

Genau, und deshalb kann man doch schließen dass aus der Tatsache dass der Graph von f für $\begin{eqnarray*} t \geq 0 \end{eqnarray*}$ eine Extremstelle hat folgt, da der Graph von F hier eine Wendestelle besitzt, denn die Wendestellen von F entsprechen den Extremstellen von f.

Gruß Björn

21.07.2007, 12:48

mathe760

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Ok Danke Björn du hast recht, dass hatte ich übersehen. Freude

Freude

Ist es denn richtig die stammfunktion mit der Partiellen Integration zu finden, oder was muss ich tun??

Bis dann mathe760 Wink

Wink

25.07.2007, 09:27

mathe760

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Hallo, Hab ich das jetzt richtig verstanden, das ich Partiell Integrieren muss?? Wenn ja, bei mir kommt immer was merkwürdiges raus. unglücklich

unglücklich

Bis dann mathe760 smile

smile

25.07.2007, 09:41

klarsoweit

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Um welches Integral geht es denn jetzt eigentlich?

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25.07.2007, 10:27

mathe760

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Hi klarsoweit,

Ich würde gerne diese Funktion Integrieren:

$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~0,02t^2 \cdot e^{-0,1t}~dt\ \end{eqnarray*}$

25.07.2007, 10:33

piloan

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Hi
ja die Funktion wuerd ich auch partiell integrieren.Du musst sie sogar zweimal partiell integ. , bis du das t^2 eliminiert hast.

Grüße

25.07.2007, 18:45

mathe760

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Danke Piloan, dann kann ich ja jetzt meinen Ansatz posten:

Also bevor ich jetzt weiter mache, wähle ich 0,02t^2 als g´(x) und
e^{-0,1t} als f(x). So nun meine Rechnung:

$\begin{eqnarray*} F(t)=\frac{1}{150}t^3\cdot e^{-0,1t}-\int_{}^{}~(-0,1) \cdot e^{-0,1t}\cdot \frac{1}{150}t^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\frac{1}{150}t^2\cdot e^{-0,1t}+0,1\cdot \int_{}^{}~e^{-0,1t} \cdot \frac{1}{150}t^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\frac{1}{150}t^2 \cdot e^{-0,1t}+0,1\cdot (-0,1)\cdot e^{-0,1t}\cdot \frac{1}{450}t^3 \end{eqnarray*}$

So ist das bis hier hin wenigstens richtig??
Jetzt komme ich nämlich ein wenig ins habbern! böse

böse

Bis dann mathe760 Wink

Wink

25.07.2007, 19:35

klarsoweit

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Zitat:

Original von mathe760
$\begin{eqnarray*} F(t)=\frac{1}{150}t^3\cdot e^{-0,1t}-\int_{}^{}~(-0,1) \cdot e^{-0,1t}\cdot \frac{1}{150}t^2 \end{eqnarray*}$

Abgesehen davon, daß es
$\begin{eqnarray*} F(t)=\frac{1}{150}t^3\cdot e^{-0,1t}-\int_{}^{}~(-0,1) \cdot e^{-0,1t}\cdot \frac{1}{150}t^3~dt \end{eqnarray*}$

heißen muß, solltest du $\begin{eqnarray*} g'(x)=e^{-0,1t} \end{eqnarray*}$ und f(x)=0,02*t² wählen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

EDIT: Im übrigen ist die 3. Zeile deiner Rechnung irgendwie daneben. verwirrt

verwirrt

25.07.2007, 19:42

mathe760

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Mein Problem ist, das ich nicht weiß wie man die Stammfunkion von e^{-0,1t} bildet, Ableiten kann ich sie aber leider nicht Integrieren!
Bei der Dritten Zeile wußte ich auch nicht genau wie ich mit dem integral umgehe, wie soll es denn richtig heißen??

Bis dann mathe760 Wink

Wink

25.07.2007, 22:00

Airblader

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Wenn du sie ableiten aber nicht integrieren kannst, dann geh den Weg andersrum: Kannst du eine Funktion h(t) finden, so dass $\begin{eqnarray*} \frac{\dd}{\dd x}h(t) = e^{-0,1t} \end{eqnarray*}$ ist?

Tip: Versuche deine Ableitungsregeln für e-Funktionen umzukehren (oder schlag sie nach Augenzwinkern

Augenzwinkern

)

air
Edit: Dein Problem beim Part. Integrieren war, dass du ungünstig definiert hast. Den Teil, den du so wählst, dass du ihn ableiten musst, sollte ein Term sein, der auch einfacher wird beim Ableiten (e-Funktionen werden beim Ableiten nicht wirklich einfacher Augenzwinkern

Augenzwinkern

)

26.07.2007, 08:45

klarsoweit

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Zitat:

Original von mathe760
Mein Problem ist, das ich nicht weiß wie man die Stammfunkion von e^{-0,1t} bildet, Ableiten kann ich sie aber leider nicht Integrieren!

Was passiert denn mit $\begin{eqnarray*} e^{-0,1t} \end{eqnarray*}$ beim Ableiten? Worin unterscheiden sich ursprüngliche Funktion und ihre Ableitung? Beim Integrieren mußt du diesen Prozeß umdrehen. Wenn es absolut nicht geht, dann mußt du bei $\begin{eqnarray*} \int~e^{-0,1t}~dt \end{eqnarray*}$ die Substitution u = -0,1*t nehmen.

Zitat:

Original von mathe760
Bei der Dritten Zeile wußte ich auch nicht genau wie ich mit dem integral umgehe, wie soll es denn richtig heißen??

Der 2. Summand in der 3. Zeile müßte eine Stammfunktion von der Integrandenfunktion in der 2. Zeile sein. Das ist aber offensichtlich nicht der Fall. Abgesehen davon, daß die 2. Zeile schon falsch ist (da wird willenlos aus t³ ein t² gemacht), bildest du bei $\begin{eqnarray*} \int~e^{-0,1t} \cdot \frac{1}{150}t^2~dt \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} e^{-0,1t} \end{eqnarray*}$ die Ableitung und von $\begin{eqnarray*} \frac{1}{150}t^2 \end{eqnarray*}$ die Stamfunktion. So kann man aber beim besten Willen nicht integrieren.

27.07.2007, 20:48

mathe760

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Hallo,

Ich weiß, das Integration die umkehrung zur Differentiation ist.
@ Airblader: wie soll ich das denn Auflösen??

@ klarsoweit: Ich hab so "integriert", weil ich nicht die stammfunktion von e^{-0,1t} weiß.

Jetzt weiß/glaube ich zwar, dass die Stammfunktion e^{-0,1t} durch substitution, aber ich würd das auch gerne mit air´s Methode herausfinden, habt ihr also einen Tipp wie das geht??

Nun weiß ich, das e^x abgeleitet und integriert ebenfalls e^x ist, wie kann ich das aber für die Integration herleiten?? Ableiten geht ja mit Differentialquotient. Ich habs mit partieller Integration versucht, bin aber gescheitert! unglücklich

unglücklich

Ich hoffe ihr könnt mir helfen.

Bis dann mathe760 Wink

Wink

29.07.2007, 18:51

mathe760

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Hallo versteht ihr was mein Problem ist??

29.07.2007, 19:17

Airblader

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Tip:

$\begin{eqnarray*} (a\cdot e^{kx})' = k \cdot a \cdot e^{kx} \end{eqnarray*}$

Bzw. mal etwas weniger allg.: $\begin{eqnarray*} (e^{kx})' = k \cdot e^{kx} \end{eqnarray*}$

Das ist die Ableitung. Kannst du durch Überlegen rausfinden, wie dann die Integrationsregel lautet?

air

P.S.: Das ist natürlich nur, um e-Fkt. integrieren zu können! Part. Integration musst du hier dennoch (richtig) anwenden Augenzwinkern

Augenzwinkern

(s. klarsoweit)

29.07.2007, 19:37

mathe760

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Ja das wusste ich schon Airblader, aber kannst du mir vielleicht erklären,
wie man die Stammfunktion von e^x herleitet, oder mir nen Link geben?? Ich meine natürlich OHNE den Hauptsatz der Differential und Integralrechnung!!!

Ich suche schon ziemlich lange, aber weder bei Goggle, Wikipedia oder mathe-online finde ich was! unglücklich

unglücklich

Bis dann mathe760 Wink

Wink

29.07.2007, 20:34

Airblader

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Mal ganz einfach:

Du hast f(x)=e^x und willst nun F(x) haben. Nun weißt du doch, dass F'(x) = f(x) ist. Da f(x) also die Ableitung von F(x) ist und du weißt, dass (e^x)'=(e^x) ist, ist es doch trivial, dass F(x) = e^x sein muss (Anmerkung: "F(x) = e^x + C" wäre genauer) Augenzwinkern

Augenzwinkern

Warum also arg umständlich, wenn es argumentativ so einfach sein kann smile

smile

Edit: Wobei das natürlich auch mittels Fundamentalsatz d. Analysis ist. Aber wie gesagt: Wozu umständlich?

air

29.07.2007, 20:54

mathe760

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Ja das stimmt schon, aber gibt es keinen rechnerischen beweis??

29.07.2007, 21:12

vektorraum

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Also du musst dich mal genau äußern, was man genau voraussetzen darf deiner Meinung nach verwirrt

verwirrt

Vielleicht reicht dir das. Schau dir mal die Definition der Stammfunktion an:

Eine Funktion $\begin{eqnarray*} f: I\rightarrow \mathbb R (\mathbb C) \end{eqnarray*}$ heißt Stammfunktion von $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} I \end{eqnarray*}$ , falls es eine differenzierbare Funktion $\begin{eqnarray*} F:I\rightarrow R \end{eqnarray*}$ gibt mit

$\begin{eqnarray*} F'(x)=f(x),~x\in I \end{eqnarray*}$ .

So - und das die Exponentialfunktion in der Form

$\begin{eqnarray*} \exp (x)=\sum_{k=0}^{\infty}\cfrac{x^k}{k!} \end{eqnarray*}$

dargestellt werden kann ist wohl auch klar. Das ist eine Potenzreihe mit unendlichem Konvergenzradius, und Potenzreihen können innerhalb ihres Konvergenzradius differenziert werden, also gilt:

$\begin{eqnarray*} \left(\sum_{k=0}^{\infty}\cfrac{x^k}{k!}\right)'=\exp (x) \end{eqnarray*}$

Okay???

29.07.2007, 21:25

mathe760

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Ich war auf der suche nach einem nachweis der stammfunktion von e^x, bei der man alle Sätze die man möchte vorraussetzen kann, außer den hauptsatz der differential und Integral rechnung, das heißt das man dies: F´(x)=f(x) nicht vorraussetzen darf!
Sorry wen ich mich nicht klar genug ausgedrückt habe unglücklich

unglücklich

Bis dann mathe760 Wink

Wink

29.07.2007, 21:32

vektorraum

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Zitat:

Original von mathe760
Ich war auf der suche nach einem nachweis der stammfunktion von e^x, bei der man alle Sätze die man möchte vorraussetzen kann, außer den hauptsatz der differential und Integral rechnung, das heißt das man dies: F´(x)=f(x) nicht vorraussetzen darf!
Sorry wen ich mich nicht klar genug ausgedrückt habe unglücklich

unglücklich

Bis dann mathe760 Wink

Wink

Was willst du denn??? Das ist lediglich die Definition für eine Stammfunktion einer Funktion. Im Moment habe ich den Hauptsatz so erstmal gar nicht erwähnt (im übrigen solltest du dich genauer ausdrücken, denn es existiert da noch die Fassung über bestimmte Integrale).

Je nachdem wie man den Zugang zur Integralrechnung wählt, ist das eigentlich die erste Definiton die man sich dazu aufschreibt (zumindest war es bei uns in der Vorlesung so). Da könnte man ja ohne diese Voraussetzung oder Definition gar nicht sagen, was von g(x):=x eine Stammfunktion ist verwirrt

verwirrt

29.07.2007, 21:39

Airblader

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Um das vllt. etwas auf den Punkt zu bringen:

Zitat:

wikipedia.de:
Um dies zu präzisieren wird der Begriff der Stammfunktion benötigt: Ist f eine Funktion, so heißt eine Funktion F eine Stammfunktion von f, wenn die Ableitung von F gleich f ist:
$\begin{eqnarray*} F' = f \end{eqnarray*}$

D.h. also: Wie willst du die Stammfunktion ermitteln, wenn der Begriff "Stammfunktion" nicht definiert ist? smile

smile

(Denn diese Def. ist noch nicht der Fundamentalsatz d. Analysis)

air

29.07.2007, 21:42

vektorraum

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Zitat:

D.h. also: Wie willst du die Stammfunktion ermitteln, wenn der Begriff "Stammfunktion" nicht definiert ist? smile

smile

(Denn diese Def. ist noch nicht der Fundamentalsatz d. Analysis)

air

Ich weiß, worauf du hinaus willst: nur mal das Paradoxon: Wie will ich etwas ermitteln, was laut Definition noch nicht mal existiert???

Und das mit genau der gleichen Begründung wie eben von mir gemacht - siehe oben Defitnition.

29.07.2007, 23:18

Airblader

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Es ist im Grunde die selbe Aussage. Ich habe, wie auch gesagt, das nur kurz auf den Punkt bringen wollen (als ich deinen Post gelesen habe fand ich, dass dieser "Knackpunkt" ein wenig kurz kommt). Sorry, wenn das so nicht rüberkam Augenzwinkern

Augenzwinkern

air

31.07.2007, 20:08

mathe760

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Ok Ich entschuldige mich vielmals, da hab ich wohl nicht nachgedacht Hammer

Hammer

Klo

Naja und wie berechne ich jetzt die stammfunktion von e^{-0,1t}, oder allgemein von e^{kx}?? Ich habs mit Partieller integration versucht, aber ich bekomme das hier raus: $\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~e^{kx}~dx= -\frac{1}{k^3} \cdot e^{2\cdot kx} \end{eqnarray*}$ bei wikipedia steht aber das die Stammfunktion so aussieht:

$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~e^{kx}dx= \frac{1}{k} \cdot e^{kx} \end{eqnarray*}$

also wie integrier ich das?? damit ich endlich mit meiner aufgabe weiter komme.

Bis dann mathe760 Wink

Wink

31.07.2007, 20:13

mYthos

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Es geht viel einfacher! Substituiere u = kx !

mY+

31.07.2007, 20:48

mathe760

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Habe ich ja auch gemacht, ich zeig einfach mal meine Rechnung:

$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~e^{kx}~dx=? \end{eqnarray*}$

substitution u=kx $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \frac{du}{dx} =k ;dx=\frac{1}{k}dz \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \int_{}^{}~e^{kx}~dx= \int_{}^{}~e^u\cdot \frac{1}{k}du \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =e^u\cdot ln(k)-\int_{}^{}~e^u \cdot ln(k) du \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =e^u\cdot ln(k)-(e^u\cdot ln(k)-\int_{}^{}~e^u \cdot \frac{1}{k} du) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =e^u\cdot ln(k)-e^u\cdot ln(k)+\frac{1}{k} \cdot e^u \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\frac{1}{k} \cdot e^u \end{eqnarray*}$

rüchsubstitution: $\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~e^{kx}~dx = \frac{1}{k} \cdot e^{kx} \end{eqnarray*}$

Ist das Richtig??

bis dann mathe760 Wink

Wink

\edit: Ich habe gerade gesehen, wie es geht, ich habe einfach nur falsch definiert bei der Partiellen integration!!

31.07.2007, 21:22

mYthos

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Du brauchst NICHT partiell zu integrieren! Denn der Faktor $\begin{eqnarray*} \frac{1}{k} \end{eqnarray*}$ ist konstant und kann deshalb vor das Integral gezogen werden!

$\begin{eqnarray*} \ldots \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \int_{}^{}~e^{kx}~dx= \frac{1}{k} \cdot \int_{}^{}~e^u~du = \ldots \end{eqnarray*}$

Und schon fertig!

mY+

01.08.2007, 09:31

mathe760

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Stimmt aber naja mein lösungsweg ist ja auch richtig. Big Laugh

Big Laugh

Bis dann mathe760 Wink

Wink

19.08.2007, 14:04

mathe760

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So dann bin ich jetzt auch mit dieser aufgabe fertig, vielen Dank an alle die mir geholfen haben! Freude

Freude

Ich werde mich dann noch einmal melden, wenn ich nochmal Hilfe brauche.

Bis dann mathe760 Wink

Wink

26.02.2012, 13:46

mathe genie...NOT

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RE: Kuvendiskussion und Integrale
müsst man nicht um die fläche zu berechnen, zuerst die differenzfunktion bilden?

26.02.2012, 17:48

mYthos

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Wenn du genau hingesehen hättest, hättest du bemerkt, dass ohnehin g - f(x) berechnet wurde.

Daher war dein Post - noch dazu nach mehr als 4 Jahren - eigentlich nnötig.

mY+

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