Steigung einer Geraden (ist etwas komplizierter, als es sich anhört)

27.06.2007, 21:27

-Mischka-

Steigung einer Geraden (ist etwas komplizierter, als es sich anhört)

Also gegeben ist folgendes:
Die Kurve $\begin{eqnarray*} f(x) = \sqrt{x^2-1} \end{eqnarray*}$ und eine Gerade.
Gesucht ist die Fläche, zwischen der Geraden und der Kurve.
Die Gerade ist durch den Punkt P(0|0), und durch den Punkt (x|f(x)).

So nun wollt ich erst mal die Steigung der Geraden bestimmen.
Dazu gibts 2 Möglichkeiten:
1) Ich bilde die Ableitung der Funktion an der Stelle x, und sollte damit auch die Geradensteigung haben (oder nicht?!?). OK, geht fix.
$\begin{eqnarray*} f(x) = \sqrt{x^2-1} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f'(x) = \frac{x}{\sqrt{x^2-1}} \end{eqnarray*}$
2) Ich bilde den klassisch den Differenzenquotient.
$\begin{eqnarray*} \frac{y_1-y_2}{x_1-x_2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{f(x)-0}{x-0}=\frac{f(x)}{x}=\frac{\sqrt{x^2-1}}{x} \end{eqnarray*}$
Das ist dummerweise der Kehrwert meiner ersten Lösung. Was ist nun richtig?!?

Dann noch ne Frage: Wenn ich das nachher in die Geradengleichung eingebe. Muss ich die Steigung dann mit integrieren, oder als Konstante behandeln?
Also was muss ich schreiben?
$\begin{eqnarray*} \int\frac{\sqrt{x^2-1}}{x}ydy \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \int\frac{\sqrt{x^2-1}}{x}xdx=\int\sqrt{x^2-1}dx \end{eqnarray*}$
bzw: Wenn die andere Steigung richtig ist:
$\begin{eqnarray*} \int\frac{x}{\sqrt{x^2-1}}ydy \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \int\frac{x}{\sqrt{x^2-1}}xdx=\int\frac{x^2}{\sqrt{x^2-1}}dx \end{eqnarray*}$

Kleiner Nachtrag: Erst jetzt, wo ich fertig war, kam ich auf die Idee, die Funktion zur besseren Anschaulichkeit zu plotten, damit hat sich meine Frage mit der Steigung auch erübrigt, wer das an den Graphen nicht erkennt, ist blöd, aber die Frage, mit der konstanten bleibt dennoch bestehen. dx opder dy?!? Das wäre schon irgendwie wichtig.

27.06.2007, 21:40

Calvin

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RE: Steigung einer Geraden (ist etwas komplizierter, als es sich anhört)

Zitat:

Original von -Mischka-
Also gegeben ist folgendes:
Die Kurve $\begin{eqnarray*} f(x) = \sqrt{x^2-1} \end{eqnarray*}$ und eine Gerade.
Gesucht ist die Fläche, zwischen der Geraden und der Kurve.
Die Gerade ist durch den Punkt P(0|0), und durch den Punkt (x|f(x)).

Hier ist nirgends angegeben, dass die Gerade die Kurve berühren muss. Hast du uns diese Information vorenthalten?

Ich vermute mal, dass die Gerade die Kurve nicht berühren, sondern zweimal schneiden soll. Dann macht auch die "Fläche zwischen Gerade und Kurve" Sinn. In diesem Fall wären die Schnittpunkte abhängig von der Steigung der Geraden. Das macht die Aufgabe aber nicht unbedingt verdaulicher verwirrt

Also wie lautet die Aufgabe genau?

27.06.2007, 21:58

-Mischka-

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doch, sie schneiden sich in dem Punkt (x|f(x))
Also in dem Punkt $\begin{eqnarray*} (x|\sqrt{x^2-1}) \end{eqnarray*}$
Und die Flächenfunktion soll abhängig von x sein.

27.06.2007, 22:05

Calvin

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Hm, ich habe mal ein wenig rumgespielt. Meiner Meinung nach gibt es keine Gerade durch den Ursprung, die mit der Kurve 2 Schnittpunkte hat. Damit stellt sich für mich die Frage, welche Fläche denn berechnet werden soll? Wodurch wird die noch begrenzt? Vielleicht durch die x-Achse?

Poste doch bitte mal wörtlich die Aufgabenstellung.

Oder weiß jemand anderes, was gemeint ist?

27.06.2007, 22:17

-Mischka-

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Zitat:

Original von CalvinVielleicht durch die x-Achse?

RICHTIG!

wörtlich zitiert: Berechnen sie den Flächeninhalt F des schattierten Sektors^^ kann man nicht allzuviel mit anstellen. Naja, die x Achse ist die nächste Grenze...
Und ich bin auch schon ein paar Schrittchen weiter. Einfach alle Möglichkeiten durchgespielt, und bei einigen kam ziehmlicher Unsinn raus. Aber sicher bin ich mir trotzdem nicht, daher wäre ich dankbar, wenn jmd hier schreibt, wie es richtig ist.
Momentan ist meine Flächenformel so:
$\begin{eqnarray*} A(x)=\int_0^x\frac{\sqrt{x^2-1}}{x}\cdot ydy-\int_1^x\sqrt{y^2-1}dy \end{eqnarray*}$
Dabei hab ich 2 Probleme: 1) Ich bin nicht sicher, obs richtig ist.
2) Ich hab keine Ahnung, wie an die Stammfkt von $\begin{eqnarray*} \int\sqrt{y^2-1}dy \end{eqnarray*}$ kommen soll... Habs zwar im Netz gefunden, aber der Weg dahin?!?

27.06.2007, 22:35

Calvin

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OK, dann ist jetzt alles klar Freude

Deine Rechnung im letzten Posting ist richtig. An die letzte Stammfunktion kommst du mit der Substitution $\begin{eqnarray*} y=\cosh{u} \end{eqnarray*}$ und dem Zusammenhang $\begin{eqnarray*} \cosh^2{u}-\sinh^2{u}=1 \end{eqnarray*}$

27.06.2007, 23:51

-Mischka-

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Zitat:

Original von Calvin
An die letzte Stammfunktion kommst du mit der Substitution $\begin{eqnarray*} y=\cosh{u} \end{eqnarray*}$ und dem Zusammenhang $\begin{eqnarray*} \cosh^2{u}-\sinh^2{u}=1 \end{eqnarray*}$

Hab das mal versucht:
$\begin{eqnarray*} \int\sqrt{x^2-1}dx=\int\sqrt{cosh^2(areacos(x))-1}dx \end{eqnarray*}$
Nun die Substitution:
$\begin{eqnarray*} z=areacosh(x) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{dz}{dy}=\frac{1}{\sqrt{y^2-1}}<=>dy=\sqrt{y^2-1}dz=\sqrt{cosh^2(areacosh(y))-1}dz=\sqrt{cosh^2(z)-1}dz \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int\sqrt{cosh^2(z)-1}\sqrt{cosh^2(z)-1}dz \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =\int cosh^2(z)-1dz \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =\int sinh^2(z)dz \end{eqnarray*}$
Das hab ich dann auch noch ausgerechnet:
$\begin{eqnarray*} \int sinh^2(z)dz=\int sinh(z)\cdot sinh(z)dz \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =sinh(z)\cdot cosh(z)- \int cosh^2(z)dz \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =sinh(z)\cdot cosh(z)- \int 1+sinh^2(z)dz \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =sinh(z)\cdot cosh(z)- (\int 1dz+\int sinh^2(z)dz) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =sinh(z)\cdot cosh(z)- \int 1dz-\int sinh^2(z)dz \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =sinh(z)\cdot cosh(z)- z-\int sinh^2(z)dz \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =\frac{1}{2}sinh(z)\cdot cosh(z)- \frac{1}{2}z \end{eqnarray*}$
Ist das soweit OK?

Was ich mich frage:
Wozu brauch ich die Beziehung $\begin{eqnarray*} cosh^2x-sinh^2x=1 \end{eqnarray*}$ ???
Ich kann doch auch $\begin{eqnarray*} \int cosh^2(x)-1dx \end{eqnarray*}$ prima integrieren...

28.06.2007, 00:15

-Mischka-

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OK; bin mit der Aufgabe jetzt fertig. Ist das so korrekt?

28.06.2007, 08:39

klarsoweit

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RE: Steigung einer Geraden (ist etwas komplizierter, als es sich anhört)

Zitat:

Original von -Mischka-
2) Ich bilde den klassisch den Differenzenquotient.
$\begin{eqnarray*} \frac{y_1-y_2}{x_1-x_2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{f(x)-0}{x-0}=\frac{f(x)}{x}=\frac{\sqrt{x^2-1}}{x} \end{eqnarray*}$
Das ist dummerweise der Kehrwert meiner ersten Lösung. Was ist nun richtig?!?

Es hat zwar mit der Lösung der Aufgabe nichts zu tun, die Frage sollte aber dennoch geklärt werden.
Wie kommst du denn auf den Ausdruck $\begin{eqnarray*} \frac{f(x)-0}{x-0} \end{eqnarray*}$ ? Für welchen Punkt soll das der Differenzenquotient sein?

Zitat:

Original von -Mischka-
Dann noch ne Frage: Wenn ich das nachher in die Geradengleichung eingebe. Muss ich die Steigung dann mit integrieren, oder als Konstante behandeln?

Es wäre geschickter, den Schnittpunkt (u; f(u)) zu nennen. Dann kannst du eine Geradengleichung mit Variable x (statt y) aufstellen. Das paßt dann auch von der Logik her zu dem Koordinatensystem mit x- und y-Achse und die Antwort auf die Frage liegt dann auf der Hand.

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