gleichmäßig stetig

25.01.2005, 17:32

jeannine

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gleichmäßig stetig

hallöchen. werr kann mir bitte helfen die aufgabe zu lösen.
Es seien $\begin{eqnarray*} a,b \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} a<b \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f,g \in F((a,b),\mathbb R ) \end{eqnarray*}$ gleichmäßig stetig auf $\begin{eqnarray*} (a,b) \end{eqnarray*}$ .
Zeigen Sie:

Es existieren $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to a} f(x) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to b} f(x) \end{eqnarray*}$

25.01.2005, 17:36

MisterSeaman

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Was heißt denn gleichmäßig stetig? Was heißt das für die Differenzen der Funktionswerte, wenn man sich den Intervallgrenzen annähert?

25.01.2005, 17:49

Jeannine

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Gleichmäßig stetig hieße doch:
Zu jedem $\begin{eqnarray*} \S>0 \end{eqnarray*}$ existiert $\begin{eqnarray*} \beta >0 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x,y \in D \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \mid x-y \mid <\beta \Rightarrow \mid f(x)-f(y)\mid<\S \end{eqnarray*}$

edit : Latex korrigiert, thx arthur. Brainfrost.

25.01.2005, 18:24

jeannine

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traurig

traurig

sorry aber, wieso hilft nicht jemand? Ich danke nochmal
Außerdem muss ich zeigen dass f beschränkt ist. Kann bitte jemand helfen traurig

traurig

25.01.2005, 18:36

MisterSeaman

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Gleichmaßig stetig heißt zu jedem $\begin{eqnarray*} \epsilon > 0 \end{eqnarray*}$ existiert ein $\begin{eqnarray*} \delta > 0 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} |f(x) - f(y)| < \epsilon \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} |x-y| < \delta \end{eqnarray*}$ , und zwar das GLEICHE $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ im ganzen Intervall.

Was heißt das jetzt konkret, wenn du z.B. die Funktionswerte $\begin{eqnarray*} f(b-\frac{1}{n}) , f(b-\frac{1}{n+1}) \end{eqnarray*}$ für n gegen unendlich betrachtest?

25.01.2005, 18:45

jeannine

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traurig

Hammer

Hammer

das sagt mir leider nichs Hammer

Hammer

Ich bin blöd dafür. Ich brauche deine Hilfe. Bitte mach eine Lösung dass ich auch es verstehe. DANKE FÜR DEIN VERSTÄNDNIS traurig

traurig

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25.01.2005, 19:02

MisterSeaman

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Konvergenz bei b:

$\begin{eqnarray*} a_n = b-\frac{1}{n} \end{eqnarray*}$
Zu gegebenem $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ gibt es ein $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} |f(x) - f(y)| < \epsilon \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} |x-y| < \delta \end{eqnarray*}$ .
Man wähle daher N so groß, dass $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n} < \delta \end{eqnarray*}$ . Dann ist für alle $\begin{eqnarray*} m,n \geq N \end{eqnarray*}$ auch $\begin{eqnarray*} |a_n-a_{m}| \leq \frac{1}{N} < \delta \end{eqnarray*}$ .
und somit $\begin{eqnarray*} |f(a_n)-f(a_{m})| < \epsilon \end{eqnarray*}$ . Also bilden die Folgenglieder $\begin{eqnarray*} f(a_n) \end{eqnarray*}$ eine ...-Folge und deswegen ist die Folge konvergent.

Was für eine Folge bilden die $\begin{eqnarray*} f(a_n) \end{eqnarray*}$ denn?

25.01.2005, 19:17

jeannine

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beschränkte Folge ne? traurig

traurig

Danke erstmal herzlich. jetz kommt ne frage wie zeige ich dass $\begin{eqnarray*} f*g \end{eqnarray*}$ gleichmäßig stetig auf $\begin{eqnarray*} (a,b) \end{eqnarray*}$ ist?
danke dir

25.01.2005, 19:24

MisterSeaman

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Zitat:

beschränkte Folge ne?

unglücklich

Fängt mit "C" an.

Zitat:

Danke erstmal herzlich. jetz kommt ne frage wie zeige ich dass f*g gleichmäßig stetig auf(a,b) ist?

Forme $\begin{eqnarray*} |f(x+h)*g(x+h) - f(x)*g(x)| \end{eqnarray*}$ so um, dass du die gleichmäßige Steitgkeit von f und g verwenden kannst.

25.01.2005, 19:29

AD

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@Jeannine

Bitte verwende keine Sonderzeichen wie § (also außerhalb des normalen ASCII-Alphabets) im LaTeX-Code!

Für die Benutzer des Firefox-Browsers ist dein Beitrag oben dadurch völlig unleserlich geworden. Du als "Neuling" hier im Board konntest das nicht wissen, aber achte bitte zukünftig drauf.

Der Paragraph heißt im LaTex-Code \S .

25.01.2005, 22:26

jeannine

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cauchyfolge? ne?

und cauchyfolgen sind konvergent. STIMMT?

Kannst du bitte diese Formel , waqs du zuletz angegeben hast umformen? danke.
ich vertehe langsam

25.01.2005, 22:45

MisterSeaman

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Jo, es ist ne Cauchyfolge. smile

smile

$\begin{eqnarray*} |f(x+h)g(x+h) - f(x)g(x)| = |f(x+h)g(x+h) - f(x)g(x+h) + f(x)g(x+h) - f(x)g(x)| \le |g(x+h)\Big(f(x+h)-f(x)\Big)| + |f(x)\Big(g(x+h)-g(x)\Big)| \end{eqnarray*}$

Die letzte Abschätzung ist die Dreiecksungleichung. Wie folgt daraus jetzt die gleichmäßige Stetigkeit von f(x)g(x)?

25.01.2005, 22:55

jeannine

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ich nix gut wissen wie du? ich erste semester. traurig

traurig

Hast du vertsanden? Ich glaube ja. so eine clever Mathematiker versteht das.
Wie folgt daraus jetzt die gleichmäßige Stetigkeit von f(x)g(x)?
Antwort: Keine ahnung, und habe kein Zeit zu überlegen. versuche gerade das was du mir geschrieben hast zu vertehen. Bis ich dahin komme kannst du ja mir verraten, danke. Hammer

Hammer

25.01.2005, 22:59

MisterSeaman

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Oben in der Abschätzung war ein kleiner Fehler, ich hatte nicht sichergestellt, dass es ein N so gibt, dass die Ungleichung $\begin{eqnarray*} |a_n - a_m| \leq \delta \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n, m \geq N \end{eqnarray*}$ gilt. Hoffe, das führt nicht zu Verwirrungen.

$\begin{eqnarray*} f(x) \neq 0, g(x) \neq 0 \end{eqnarray*}$ : Wähle zu gegebenen $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \epsilon' \end{eqnarray*}$ so, dass $\begin{eqnarray*} \epsilon' < min(\frac{\epsilon}{2|f(x)|}, \frac{\epsilon}{2|g(x+h)|}) \end{eqnarray*}$ Dann gibt es zu $\begin{eqnarray*} \epsilon' \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ so, dass $\begin{eqnarray*} |f(x)(g(x+h) - g(x))| + |g(x+h)(f(x+h)-f(x))| < \epsilon \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} |x+h-h| < \delta \end{eqnarray*}$ . Das heißt gerade, dass f(x)g(x) gleichmäßig stetig ist.

25.01.2005, 23:02

jeannine

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und wie macht man das? kannst du bitte sagan was ich noch oben zufügen soll. Du gibst dir echt mühe.
ich brauche aber die Lösung. Danke

25.01.2005, 23:15

MisterSeaman

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Hab's jetzt bearbeitet.

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