zwei Ungleichungen

28.06.2007, 15:09

Nhil

zwei Ungleichungen

Hallo,

ich bräuchte mal Tipps für die zwei folgenden Ungleichungen:

$\begin{eqnarray*} (a+b)(b+c)(c+a) \geq 8abc \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a,b,c \geq 0 \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} a^2b+b^2c+c^2a \leq a^3 + b^3 + c^3 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a,b,c > 0 \end{eqnarray*}$ .

28.06.2007, 15:13

tigerbine

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RE: zwei Ungleichungen
Was für Tipps? Ob sie stimmen? verwirrt

28.06.2007, 15:14

Nhil

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Ok, die Erste hab ich jetzt: Für die linke Seite der Ungleichung gilt nach AM-GM:

$\begin{eqnarray*} \frac{a+b}{2} \cdot \frac{b+c}{2} \cdot \frac{c+a}{2} \geq \sqrt{ab} \cdot \sqrt{bc} \cdot \sqrt{ca} =abc \end{eqnarray*}$

Das mit $\begin{eqnarray*} 8 \end{eqnarray*}$ multipliziert, fertig.

Aber wie sieht's mit der anderen aus? Man soll wieder AM-GM verwenden...

28.06.2007, 15:16

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Zitat:

Original von Nhil
Aber wie sieht's mit der anderen aus? Man soll wieder AM-GM verwenden...

Ja:

$\begin{eqnarray*} \frac{a^3 + a^3 + b^3}{3} \geq \ldots \end{eqnarray*}$

28.06.2007, 15:48

Nhil

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Ich bin vermutlich blind, aber wie kommst du auf $\begin{eqnarray*} a^3+a^3+b^3 \end{eqnarray*}$ ?

28.06.2007, 16:22

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Weil es klappt:

$\begin{eqnarray*} \frac{a^3 + a^3 + b^3}{3} \geq \sqrt[3]{a^3\cdot a^3\cdot b^3} = a^2b \end{eqnarray*}$

und dann natürlich zweimal zyklisch vertauschen $\begin{eqnarray*} a\to b\to c\to a \end{eqnarray*}$ .

Ansonsten: Was die Frage "wie kommst du darauf" betrifft, kann ich nur immer wieder so antworten. Augenzwinkern

28.06.2007, 16:45

Nhil

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Hmm, man schaut sich also einfach die Exponenten an und überlegt dann wie man das "konstruieren" muss:

$\begin{eqnarray*} a^3 + a^3 + b^3 \geq 3 \sqrt[3]{a^3\cdot a^3\cdot b^3} = 3a^2b \end{eqnarray*}$ (1)

$\begin{eqnarray*} b^3 + b^3 + c^3 \geq 3 \sqrt[3]{b^3\cdot b^3\cdot c^3} = 3b^2c \end{eqnarray*}$ (2)

$\begin{eqnarray*} c^3 + c^3 + b^3 \geq 3 \sqrt[3]{c^3\cdot c^3\cdot b^3} = 3c^2b \end{eqnarray*}$ (3)

$\begin{eqnarray*} (1) + (2) + (3) = 3a^2b+3b^2c+3c^2a \leq 3a^3 + 3b^3 + 3c^3 ~ |~:3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow a^2b+b^2c+c^2a \leq a^3 + b^3 + c^3 \end{eqnarray*}$

Danke für das "darauf kommen". Augenzwinkern

PS: Was beudeutet "zyklisch vertauschen"?

28.06.2007, 16:49

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Zitat:

Original von Nhil
PS: Was beudeutet "zyklisch vertauschen"?

Ich hab die Ungleichung für $\begin{eqnarray*} (a,b) \end{eqnarray*}$ geschrieben, als geordnetes Paar versteht sich.

Genauso kann man sie für $\begin{eqnarray*} (b,c) \end{eqnarray*}$ und dann auch noch für $\begin{eqnarray*} (c,a) \end{eqnarray*}$ schreiben. Das versteht man gemeinhin unter "zyklischen Tauschen".

Im Unterschied zu beliebigem Tauschen, denn z.B. für $\begin{eqnarray*} (b,a) \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} (a,c) \end{eqnarray*}$ wird die Ungleichung nicht in der Art benutzt!

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