Gleichung lösen

25.01.2005, 22:30	Mathematiker84	Auf diesen Beitrag antworten »
Gleichung lösen Hallo wie kann ich die Gleichung sin(2x²) = sin(x²) lösen, bzw was kann ich daraus folgern bwzüglich Nullstellen einer Funktion wenn die obere Gleichung daraus entsteht wenn man die erste Ableitung gleich 0 setzt? Gruß, Mathematiker.
25.01.2005, 22:42	rag	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gleichung lösen Aus der Gleichung $\begin{eqnarray} \sin(2x^2)=\sin(x^2) \end{eqnarray}$ folgt, dass $\begin{eqnarray} \sin(2x^2)=\sin(x^2+2\pi n) \end{eqnarray}$ ist, wobei n eine ganze Zahl ist. Weiterhin kann man die Umkerhfunktion anwenden, also $\begin{eqnarray} \arcsin\sin(2x^2)=2x^2=\arcsin\sin(x^2+2\pi n)=x^2+2\pi n \end{eqnarray}$ . Jetzt nach x auflösen und fertig
25.01.2005, 22:52	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gleichung lösen @rag Alle x, die du auf diese Weise ermittelst, sind Lösungen. Das Problem ist nur, dass du wegen falscher (im Sinne von nicht allgemein gültigen) Umformungen nicht alle Lösungen erwischst: $\begin{eqnarray} \arcsin\sin x=x \end{eqnarray}$ gilt nur für $\begin{eqnarray} -\frac{\pi}{2}\leq x\leq \frac{\pi}{2} \end{eqnarray}$ Für andere x gelten andere Regeln, entsprechend der Periodizität bzw. Symmetrie der Sinusfunktion - Beispiel: $\begin{eqnarray} \arcsin\sin x=\pi-x \end{eqnarray}$ gilt für $\begin{eqnarray} \frac{\pi}{2}\leq x\leq \frac{3\pi}{2} \end{eqnarray}$ Mit den $\begin{eqnarray} 2\pi n \end{eqnarray}$ magst du die Periodizität $\begin{eqnarray} 2\pi \end{eqnarray}$ berücksichtigen, aber auch in $\begin{eqnarray} [0,2\pi) \end{eqnarray}$ ist die Sinusfunktion nicht eineindeutig.
25.01.2005, 22:57	Mathematiker84	Auf diesen Beitrag antworten »
Hmm klingt logisch, aber irgendwie stimmt das mit meiner Zeichung nicht überein. Demnach wäre ja z.B. x=sqrt(2pi2) eine Nullstelle. Aber Meine Zeichnung mit Maple liefert da was anderes und außerdem liefert mit die Formel zu wenige Nullstellen :/ Komisch. edit Das erklärt warum ich nicht alle Lösungen erwische.
25.01.2005, 22:58	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Es gibt wegen $\begin{eqnarray} \sin(z)=\sin(\pi-z)=\sin((2n+1)\pi-z) \end{eqnarray}$ noch eine zweite "Lösungsfolge", die über $\begin{eqnarray} 2x^2\stackrel{!}{=}(2n+1)\pi-x^2 \end{eqnarray}$ ermittelbar ist. Zusammen mit denen von rag sind das dann aber wirklich alle.

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