Verständnisfrage zum charakeristischen Polynom

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trauriger-igel Auf diesen Beitrag antworten »
Verständnisfrage zum charakeristischen Polynom
Sei A eine 3x3 Matrix:



Der Donzent meinte das die spur von A, ist die Summer der Eigenwerte, was klar ist. Aber er die Det von A, das Produkt der Eigenwerte sein soll???

Aber für eine beliebige 3x3 Matrix die doch die Det nicht immer das Produkt der Eigenwerte. Gilt das zufällig nur für spezielle Matizen? Z.B. Symmetrische oder Dreiecksmatrizen?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »



Welche Nullstellen hat das Polynom ? Und wie lautet sein konstanter Koeffizient?
trauriger-igel Auf diesen Beitrag antworten »

Die Nullstellen von p sind a,b,c und der Koeffizient ist 1.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Die erste Antwort stimmt, die zweite nicht.
trauriger-igel Auf diesen Beitrag antworten »

Minus eins?
Lazarus Auf diesen Beitrag antworten »

Anstatt zu raten könntest du einfach p(x) ausmultiplizieren, dann siehst du es.
 
 
trauriger-igel Auf diesen Beitrag antworten »



Also entweder ich habe mich verrechnet oder der konstante Koeffizient ist .
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von trauriger-igel
Also entweder ich habe mich verrechnet


Freude

Die Koeffizienten sind bis auf das Vorzeichen die elementars
ymmetrischen Funktionen
ihrer Nullstellen.
trauriger-igel Auf diesen Beitrag antworten »

Irgendwie verstehe ich nicht so ganz, auf was du mich bringen möchtest. Also gilt dass das Produkt der EW gleich der Det A ist, nur für die symmetrische Matrix A?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »



Wenn man richtig rechnet, kommt das heraus. Das Produkt der Nullstellen eines normierten Polynoms ist bis auf das Vorzeichen immer gleich dem konstanten Glied des Polynoms (und übrigens ist die Summe der Nullstellen bis auf das Vorzeichen immer der Koeffizient von , wenn das Polynom den Grad hat). Jede Nullstelle ist so oft aufzuführen, wie ihre Vielfachheit angibt.

(Probiere das doch zur Übung aus für .)

Was sind aber nun Eigenwerte? Das sind doch gewisse Nullstellen ...
trauriger-igel Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
(Probiere das doch zur Übung aus für .)


Okay, bei diese Aufgabe ist das konstante Glied abcd.
Zitat:
Wenn man richtig rechnet, kommt das heraus. Das Produkt der Nullstellen eines normierten Polynoms ist bis auf das Vorzeichen immer gleich dem konstanten Glied des Polynoms (und übrigens ist die Summe der Nullstellen bis auf das Vorzeichen immer der Koeffizient von , wenn das Polynom den Grad hat). Jede Nullstelle ist so oft aufzuführen, wie ihre Vielfachheit angibt.

Hört sich also nach Satz von Vieta an, was du geschrieben hast.

Zitat:
Was sind aber nun Eigenwerte? Das sind doch gewisse Nullstellen ...


Die Eigenwerte sind die Nst. des charakterischtischen Polynoms.

Nun sehe ich auch was du meinst: Die Det von A, ist immer die Summe der Nst.
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