Stetigkeit (gleichmäßig und Lipschitz)

26.01.2005, 14:01	Em'A'Ce	Auf diesen Beitrag antworten »
Stetigkeit (gleichmäßig und Lipschitz) Nochmal Hallo! Ich habe hier gleich nochmal eine Aufgabe, mit der ich nicht zu Rande komme: Untersuchen Sie, ob die Funktion $\begin{eqnarray} f : [0,1] \rightarrow [0,1], f(x) = \sqrt{x} \end{eqnarray}$ a) gleichmäßig stetig b) Lipschitz-stetig ist Wie mache ich das? Für Eure Hilfe schon im Voraus vielen Dank.
26.01.2005, 15:03	n!	Auf diesen Beitrag antworten »
eine schönes Beispiel um einen wichtigen Zussamenhang zwischen der Gleichmäßigen Stetigkeit und Lipschitz Stetigkeit zu zeigen. Erster Schritt,wäre mal die beiden Ausdrücke in Gleichungen zu fassen.Kennst du die Definitionen?
26.01.2005, 15:07	Thomas L.	Auf diesen Beitrag antworten »
zu a) wähle $\begin{eqnarray} \delta=\epsilon^2 \end{eqnarray}$ d.h. du musst noch zeigen, das gilt: aus $\begin{eqnarray} \mid x-y \mid<\epsilon^2 \end{eqnarray}$ folgt $\begin{eqnarray} \mid \sqrt{x}-\sqrt{y} \mid<\epsilon \end{eqnarray}$ zu b) die funktion ist nicht lipschitz stetig für x=0
27.01.2005, 14:20	Em'A'Ce	Auf diesen Beitrag antworten »
gleichmäßig stetig heißt: $\begin{eqnarray} \|x - y\| < \delta \Rightarrow \|\sqrt{x} - \sqrt{y}\| < \epsilon \end{eqnarray}$ wobei das delta nur vom epsilon und nicht von x abhängt. Lipschitz heißt: $\begin{eqnarray} \|\sqrt{x} - \sqrt{y}\| \leq L\|x-y\| \end{eqnarray*}$ So, und nun? Ich glaub ich bin heute echt zu doof
27.01.2005, 14:38	n!	Auf diesen Beitrag antworten »
naja,jetzt setzt du mal für die Gleichmäßige Stetigkeit das ein,was Thomas geschrieben hat.Und für die Lipschitz Stetigkeit sieht der Ansatz für das Intervall [0;1] so aus: $\begin{eqnarray} \|\sqrt{y}- \sqrt{0}\| \leq L\|y\| \end{eqnarray*}$ jetzt halt bedenken,dass es sich um [0;1] handelt
27.01.2005, 14:55	Em'A'Ce	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke! Es funktioniert g Manchmal bin ich halt ein bisserl langsamer, aber jetzt:
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