Exponentialfunktion (warum lg)

29.06.2007, 17:16	bleistift	Auf diesen Beitrag antworten »
Exponentialfunktion (warum lg) Hallo, bin gerade bei Exponentialgleichungen, henge aber schon bei der Einleitungsaufgabe in meinem Buch fest. Die Aufgabe ist, dass eine Person (Ulrike) 500DM auf ihrem Sparbuch anlegt. Das Guthaben wird von der Bank jedes halbe Jahr mit 2% verzinzt. Eine andere Person (Peter) legt 550DM an, die zu einem Zinssatz von 3%, aber nur jährlich. Gefragt ist, wann Ulrike mehr Geld als Peter auf ihrem Sparbuch hat?. x soll die Anzahl der Jahre sein, nach denen das Guthaben gleich ist. Nun steht bei der Lösung, dass gilt: 5001,02^2x=5501,03^x lg(5001,02^2x)=lg(5501, 03^x) Wie kommt man denn auf die ^2x im ersten Teil der Gleichung, es wird ja bei Ulrike halbjährlich verzinzt, da müsste es doch eigentlich ^0,5x sein, oder? Und warum nimmt man beim Aufstellen der Gleichung den Logarithmus zur Basis 10, die Basen sind doch eigentlich 1,02 und 1,03. Kann mir jemand sagen, ich da nicht bedacht habe?
29.06.2007, 17:24	system-agent	Auf diesen Beitrag antworten »
mit deinen $\begin{eqnarray} 0.5x \end{eqnarray}$ haste schon recht, aber nur wenn man die rollen der beiden sparer tauschen würde. während bei einm der zins jährlich kommt, bekommt die andere schon zweimal ihr guthaben verzinst. soviel zur "2". bei einer gleichung ist es egal welchen logarithmus du nimmst, solange du auf beiden seiten den gleichen verwendest, denn um den wert einer gleichung nicht zu ändern muss man auf beiden seiten auch das gleiche tun.
29.06.2007, 17:28	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn z.B. $\begin{eqnarray} x = 5 \end{eqnarray}$ Jahre vergangen sind, dann wurde bei Ulrike $\begin{eqnarray} 10 = 2x \end{eqnarray}$ Male verzinst, bei Peter dagegen nur $\begin{eqnarray} x = 5 \end{eqnarray}$ Male. Und welchen Logarithmus du zum Lösen der Gleichung verwendest, ist egal, und zwar wegen dieses Gesetzes $\begin{eqnarray} \log_a u^v = v \log_a u \end{eqnarray}$ Du darfst hier z.B. $\begin{eqnarray} a = 10 \end{eqnarray}$ nehmen: $\begin{eqnarray} \lg u^v = v \lg{u} \end{eqnarray}$ Und noch etwas: Du mußt die Exponenten in Klammern schreiben, sondern bekommst du einen falschen Term. Richtig ist also z.B. 1,02^(2x). Das steht für $\begin{eqnarray} 1{,}02^{2x} \end{eqnarray}$ . Dagegen steht, was du geschrieben hast, nämlich 1,02^2x, für $\begin{eqnarray} 1{,}02^2 x \end{eqnarray}$ - und das ist etwas ganz anderes!

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