0 ein EW <=> A nicht invertierbar |
| 29.06.2007, 20:28 | SilverBullet | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| 0 ein EW <=> A nicht invertierbar f : V -> V Endomorph. eines endlich dim. K-VR Beweise : 0 ist ein Eigenwert <=> f ist nicht invertierbar Hab das so probiert : => Sei 0 ein Eigenwert. Da 0 ein EW ist, besitzt f einen nicht trivialen Kern => Also ist f nicht injektiv und damit nicht invertierbar. <= Sei f nicht invertierbar. Da allgemein gilt : A invertierbar <=> det(A) ungleich 0 folgt hier für f det(f) = 0 und damit ist 0 ein Eigenwert. Kann ich das so machen ? |
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| 29.06.2007, 23:15 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: 0 ein EW <=> A nicht invertierbar Kommentar Richtung => in Ordnung mit entsprechendem Verweis auf den Satz der Vorlesung über Endo. in endl. Dim. VR. Richtung <= gefällt mir nicht Erstmal gibt es nicht det(f). Sondern nur det(A). Es ist zwar A regulär <=> det(A) ungleich 0 richtig, aber mir erschließt sich die direkte Folgerung det(A) =0 => 0 ist Eigenwert nicht. Bin mir auch nicht sicher ob Du hier nicht etwas verwechselt. Erklär das bitte einmal. Anderer Weg. Gleichen Satz wir in => benutzen. Invertierbar für Endomorphismen würde ich hier noch erläutern, der Endo muss bijektiv sein. Im Endlichdimensionalen ist er dann weder surjektiv noch injektiv. Damit folgt sofort, dass 0 ein Eigenwert ist. |
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| 29.06.2007, 23:38 | Mazze | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ich würde an der Stelle einfach benutzen das endlichdimensionale Endomorphismen eine äquivalente Basisdarstellung als Matrix haben, und das die Determinante das Produkt der Eigenwerte ist. Dann fehlt nur noch die Nullteilerfremdheit des Körpers 
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| 29.06.2007, 23:45 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Gilt das "allgemein"? 
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| 29.06.2007, 23:46 | Mazze | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Für Körper in denen ist was wir zumindest fast immer als Generalvorrausetzung hatten. Bin mir nicht ganz sicher ob das auch für Körper mit 1+1 = 0 gilt
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| 29.06.2007, 23:52 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
In welchem Kapitel habt ihr das denngemacht? Kann mich gerade nicht erinnern es in meinem Standardnachschlagewerk "Fischer" gelesen zu haben. Erinnere mich auch sonst immer nur an die Fälle Dreiecks und Diagonalmatrix. wie habt ihr das denn bewiesen?
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| 30.06.2007, 00:00 | Mazze | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Naja, im Komplexen Beweist man das sehr leicht über die JNF und damit das die Determinante unter Ähnlichkeit gleich bleibt. Ich kann mich gerade nicht an den Beweis erinnern, deshalb hab ich versucht mal nach "Determinante Produkt der Eigenwerte Gegenbeispiel" gegoogelt und nichts gefunden. Aber ich schau demnächst noch mal nach bin mir aber sehr sicher, da es auch für andere Körper eine ähnliche Normalform unter Ähnlichkeit gibt. |
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| 30.06.2007, 07:46 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
@ tigerbine Für Endomorphismen eines endlich-dimensionalen Vektorraumes gibt es den Begriff durchaus. Es ist , wenn die Matrix die Abbildung bezüglich einer Basis beschreibt. Die Unabhängigkeit der Definition von der Wahl der Basis ist leicht zu zeigen. @ SilverBullet Ich halte auch den Beweis der Rückrichtung für korrekt. Allerdings sollte man das noch ein wenig erläutern. Es ist nämlich bis auf das Vorzeichen der konstante Koeffizient des charakteristischen Polynoms. Und wenn der 0 ist, dann muß dieses mindestens eine Nullstelle besitzen. Übrigens müßtest du bei geschickter Formulierung damit den Beweis gar nicht in Hin- und Rückrichtung aufspalten. |
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| 30.06.2007, 11:52 | WebFritzi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ich halte es für unnötigen Ballast, hier die Determinante zu verwenden. Die Aussage ist trivial und ergibt sich direkt aus der Definition eines Eigenwertes. |
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| 30.06.2007, 14:16 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
@ Leopold: Der Zusammenhang zwischen f und A ist mir schon klar. Nur gehe ich von der Definition der Determinante aus. Und ganz am Anfang steht da schon, dass es sich um eine Abbildung der Form handelt. Deswegen mein Einspruch. Eine andere Definition ist mir nicht geläufig und ich habe det(f) noch nie gesehen. Wo finde ich eine?
Edit: Ok, ich glaube ich habe verstanden was Du mit det f gemeint hast. Auch wenn wikipedia bei so was dann doch wieder nicht meine liebste Quelle ist.
@ all
Das ist mir auch noch bekannt. Und wenn man schon den Weg mit der det gehen will (muss man hier ja nicht), dann sollte man ihm etwas ausführlicher schreiben.
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| 30.06.2007, 15:13 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
@ Mazze: Also verwunderlich ist schon, dass wenn der Satz wirklich stimmen sollte, so wenig über ihn geschrieben wird. Außerdem macht er nur doch wirklich Sinn, wenn man das char. Polynom in Linearfaktoren zerfällt. Dann ist aber A trigonalisierbar (obere Dreiecksmatrix) und die Folgerung eher trivial. In einem alten Skript habe ich auch im Anhang einen Satz mit dem verheißungsvollen Titel "Zusammenhang Determinante, Spur und char. Polynom" gefunden. Jedoch ist auch hier der erste Satz: "Zerfalle das char. poly in Linearfaktoren" Daher ist für mich die die Folgerung det(A) =0 => 0 EW so begründet falsch. Mit dem Satz von Leopold kommt jedoch auch über die Determinante hier zum Ziel. |
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| 30.06.2007, 15:57 | WebFritzi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
In deinem Lieblingsnachschlagewerk: dem Fischer.
Edit: Sorry, was liegen die Quote und Edit taste auch so eng beieinander 
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| 30.06.2007, 16:06 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Seitenzahl? 
Buch liegt bereit!Habe im Zusammenhang Cayley-Hamilton im anderen Thread auch die Schreibweise mit f gesehen. Nur wo hatte er die denn definiert. Fischer geht ja eh gerne mehr über die "Abbildungen" als über die "Matrizen" 
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| 01.07.2007, 12:05 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Da kann man wohl nicht widersprechen. |
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| 01.07.2007, 13:43 | WebFritzi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Na, da hättest du auch mal selber schauen können... Ist bei mir direkt zu Beginn des Abschnittes 3.4 ("Determinante eines Endomorphismus und Orientierung") zu finden. |
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| 01.07.2007, 13:53 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ach jetzt sei halt nicht so 
Bei mir ist das dann 4.4. An die Orientierungsgeschichte erinnere ich mich noch, die Definition ist wohl im Speicher gelöscht worden |
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| 01.07.2007, 14:57 | WebFritzi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Na gut. Zurück:
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| 01.07.2007, 15:07 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Bleibt noch mein Veto über die Allgemeingültigkeit der Aussage:
zu diskutieren.
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| 01.07.2007, 15:18 | WebFritzi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Da klinke ich mich aus. Ich kenn nur K = IC.
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| 01.07.2007, 17:37 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Jeder Körper besitzt einen algebraischen Abschluß . |
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| 01.07.2007, 17:43 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Aber was ist wenn Du nur über K, z.B. IR betrachtest?
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| 01.07.2007, 20:04 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Man muß natürlich immer die Eigenwerte im algebraischen Abschluß nehmen (es reicht natürlich auch der Zerfällungskörper des charakteristischen Polynoms). So hat etwa über keine Eigenwerte, über sehr wohl, nämlich . Und es gilt: |
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| 01.07.2007, 20:17 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ok, aber dann ist das so wie es Mazze geschrieben hat eine "gefährliche Aussage". Und im Beweis von SilverBullet ist die Aussage keineswegs als so trivial anzusehen, dass man nicht noch einen Zwischenschritt schreiben sollte. Im Falle IR und IC treten die Eigenwerte ja immer als komplex konjugierte auf. Mit (a+ib)(a-ib) = a²+b² ist ihr Produkt dann ja immer reell. Wie sieht das denn bei anderen "Nichtzerfällungskörpern" aus? |
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