Erwartungswert und Varianz einer gleichverteilten Zufallsgröße -Formelherleitung-

29.06.2007, 21:25

jesus_chick_2008

Erwartungswert und Varianz einer gleichverteilten Zufallsgröße -Formelherleitung-

Muss ein Referat zu der Formelherleitung halten und hab auch die komplette Herleitung als Kopie bekommen, verstehe allerdings einige Schritte nicht und hoffe, dass mir hier jemand helfen kann. ICh tippe also die komplette Herleitung ab und makiere dann die Stellen, die ich nicht verstanden haben. Vielen Dank!
a) Allgemein ergibt sich:

$\begin{eqnarray*} \mathrm{E}(X) &=& \frac{1+2+3+...+n}{n} \\\mathrm{E}(X) &=& \frac{n(n+1)}{2} \cdot \frac{1}{n} = \frac{n+1}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n~k= \frac{n(n+1)}{2} \end{eqnarray*}$

verstehe hier nicht wie vom ersten Schritt auf den letzten gekommen wird.

und E(X²) = (1²+2²+3²+...+n²) / n

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n~k^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \end{eqnarray*}$

verstehe hier auch nicht was die summenformel wirklcih hilft bzw zu bedeuten hat

$\begin{eqnarray*} \mathrm{E}(X^2) = \frac{n(n+1) (2n+1)}{6} \cdot \frac{1}{n}= \frac{(n+1) (2n+1)}{6} \end{eqnarray*}$

also $\begin{eqnarray*} \mathrm{Var}\left(X\right) = \mathrm{E}\left(X^2\right)- \left(\mathrm{E}\left(X\right)\right)^2 \end{eqnarray*}$
den rest davon hab verstanden.
sorry wenn das ein kleines durcheinander ist mit den Klammern, aber ich wusste nciht wie man hier Bruchstriche einfügen kann. Also ich weiss ich bin ne Mathe Niete hoffe trotzdem, dass mir jemand helfen kann. Wäre super und ist auch super drigend.

\\edit: Latex verbessert. laza

30.06.2007, 09:36

Lazarus

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Dein Hauptproblem ist also das Verständnis warum $\begin{eqnarray*} 1+2+3+...+n=\sum_{i=1}^n~k=\frac{n\cdot \left(n+1\right)}{2} \end{eqnarray*}$ gilt ?

Diese arithmetische Reihe der ersten paar natürlichen Zahlen ist auch unter dem Namen "Gaußsche Summenformel" bekannt. In dem Wikipedia-Artikel findet sich neben dem Beweis dieser Formel per Vollständige Induktion ausserdem noch eine Herleitung. Diese sollte dir beim Verständnis helfen.

Für die Summe der ersten n Quadratzahlen kann man sich eine vergleichbare Formel ähnlich herleiten.

02.07.2007, 09:03

jesus_chick_2008

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Also danke schon mal für den ersten schritt. Warum allerdings im 2. Teil der Formel auf einmal 6-tel stehen und nicht 4-tel, wegen des ² versteh ich leider immernoch nciht. hoffe, dass mir da auch noch jemand helfen kann. Vielen Danke.

02.07.2007, 09:21

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Zitat:

Original von jesus_chick_2008
Warum allerdings im 2. Teil der Formel auf einmal 6-tel stehen und nicht 4-tel, wegen des ² versteh ich leider immernoch nciht.

Wieso sollte da ein 4-tel stehen??? Die Summenformel für Quadrate ist nun mal

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \end{eqnarray*}$ ,

z.B. nachweisbar durch Vollständige Induktion. Für ein 4-tel gibt es da nicht die geringste Begründung.

02.07.2007, 10:21

Lazarus

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Vielleicht liege ich ja falsch, aber glaubst du ein Viertel müsste da stehen, weil du glaubst es gelte:
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n~k^2\stackrel{?}{=}\left(\sum_{k=1}^n~k\right)^2=\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2=\frac{n^2(n+1)^2}{4} \end{eqnarray*}$

Da muss ich dich enttäuschen, ich hab über die vermutete (und übrigends falsche) Gleichheit ein Fragezeichen gemacht.

Falls es dich interessiert gilt vielmehr:
$\begin{eqnarray*} \left(\sum_{k=1}^n~k\right)^2=\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2=\frac{n^2(n+1)^2}{4}=\sum_{k=1}^n~k^3 \end{eqnarray*}$

02.07.2007, 13:55

jesus_chick_2008

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Danke
ja genau deshalb dachte ich das da ein viertel stehen muss aber ich hab den Vortrag jetzt gehalten ohne dass ich das wusste und hab meine Lehrerin danach gefragt und in 2 minuten wollte sie mir das auch nicht erklären. das hat wieder irgendwas mit Der Gaußschen Summenformel zutun, die dann aber verändert wird irgendwie und deshalb kommen da sechstel raus, weil man wieder einhalb und eindrittel hat. Warum auch immer. ist ja jetzt auch egal. aber danke für eure hilfe so konnte ich zumindest ein bisschen was machen und mcih da nicht zum Vollhorst machen.

02.07.2007, 15:43

Lazarus

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Herleitung der Summenformeln
Ich finde es schade, dass du nur für den Vortrag eine gewisse Sachkenntnis für nötig erachtest, dich allerdings nicht um ,evtl. sogar tieferes, Verständnis bemühst.
"Non schola sed vita discimus" fällt mir dazu nur ein.

Ich werde dennnoch (und wenn nicht für dich, dann für den interessierten Leser) eine Herleitung der beiden Summenformeln, einmal für die ersten natürlichen Zahlen und zum zweiten für die ersten Quadratzahlen, schreiben. Es geht dabei nicht um den Beweis, der jeweils mit vollständiger Induktion sehr schnell machbar ist, und vermutlich hier im Board schon sehr häufig zu finden ist, sondern einzig und alleine um die Herleitung der Formeln.

Die Summe der ersten $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ natürlichen Zahlen
Als Einstiegsbeispiel möchte ich $\begin{eqnarray*} n=10 \end{eqnarray*}$ wählen.
Man sucht also $\begin{eqnarray*} 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 \end{eqnarray*}$ .
Zuerst schreiben die Zahlen einmal absteigend und einmal aufsteigend nebeneinander und addieren diese. Es ist auffallend das das Ergebniss immer das gleiche bleibt:

$\begin{eqnarray*} 1+10&=&11\\2+9&=&11\\3+8&=&11\\&\vdots&\\ 10+1&=&11 \end{eqnarray*}$

Wie man sieht erhält man also für das Doppelte der gesuchten Summe $\begin{eqnarray*} 10 \end{eqnarray*}$ mal den Wert $\begin{eqnarray*} 11 \end{eqnarray*}$ oder allgemein $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ mal der Wert $\begin{eqnarray*} n+1 \end{eqnarray*}$ , also für die eigentliche Summe die Hälfte davon.

Somit gilt: $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n~k=\frac{n(n+1)}{2} \end{eqnarray*}$ .
Die Summe der ersten $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ Quadratzahlen

Mit den Quadratzahlen verhält es sich ein wenig schwieriger, da man diese nicht so "selbstverständlich" wie die ersten natürlich Zahlen anordnen kann.
Auch hier wollen wir zur Veranschaulichung $\begin{eqnarray*} n=10 \end{eqnarray*}$ wählen um die Herleitung an einem Beispiel greifbar zu machen.

Wir schreiben uns die Folge der ersten $\begin{eqnarray*} 10 \end{eqnarray*}$ Quadratzahlen auf:
$\begin{eqnarray*} \left(a_n\right)_{0\leqslant n\leqslant 10}= 0 \, ; \; 1 \, ; \; 4 \, ; \; 9 \, ; \; 16 \, ; \; 25 \, ; \; 36 \, ; \; 49 \, ; \; 64 \, ; \; 81 \, ; \; 100 \end{eqnarray*}$

Betrachtet man die Differenzen je zweier aufeinander folgenden Glieder so fällt ins Auge, dass die Differenzenfolge die ersten j ungeraden Zahlen bildet:
$\begin{eqnarray*} \left(d_n\right)_{1\leqslant n \leqslant 10} :=a_{n}-a_{n-1}=1 \, ; \; 3 \, ; \; 5 \, ; \; 7 \, ; \; 9 \, ; \; 11 \, ; \; 13 \, ; \; 15 \, ; \; 17 \, ; \; 19 \end{eqnarray*}$

Dass dabei auch wirklich alle ungeraden Zahlen getroffen werden ist leicht allgemein zu zeigen:

$\begin{eqnarray*} a_n-a_{n-1}=n^2-\left(n-1\right)^2=n^2 - \left(n^2-2n+1\right)=n^2-n^2+2n-1=2n-1 \end{eqnarray*}$

Daraus folgt nun, dass man jede Quadratzahl als eine Summe dieser Differenzen darstellen kann. also das $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n~\left(2n-1\right)=n^2 \end{eqnarray*}$ gilt. Auch dies liese sich mich voll. Induktion beweisen. Wir wollen jedoch gleich weitermachen.

Wir können mit dem neuen Wissen die Summe der Quadratzahlen ein bisschen geordneter hinschreiben, hier als Beispiel mal die Summe bis $\begin{eqnarray*} n=4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{array}{ccccc} & & & & 7 \\ & & & 5 & 5\\ & & 3 & 3 & 3 \\ & 1 & 1 & 1 & 1 \\\hline & & & & \\ = & 1^2 & 2^2 & 3^2 & 4^2 \end{array} \end{eqnarray*}$

Dabei bemerken wir mehrere Dinge:

a) Es befinden sich $\begin{eqnarray*} 1+2+3+4 \end{eqnarray*}$ Zahlen in diesem Dreieck - somit können wir die Anzahl mit der vorher gefunden Formel ausrechnen

b) Da es sich um ein Dreieck handelt, können wir keine Paare bilden wir unter 1). Allerdings können wir jetzt drei Dreiecke zusammenfassen, die je um ein $\begin{eqnarray*} 120° \end{eqnarray*}$ gedreht sind. Das werden wir im folgenden tun.
Erst ein wenig umordnen, um die Drehung leichter zu machen:

$\begin{eqnarray*} \begin{array}{ccccccc} & & & 7 & & & \\& & 5 & & 5 & & \\ & 3& & 3 & & 3 & \\1& &1 & &1 & & 1 \end{array} \end{eqnarray*}$

Nun nehmen wir dieses Dreieck, schreiben es dreimal nebeneinander, drehen es einmal um $\begin{eqnarray*} 120° \end{eqnarray*}$ und einmal um $\begin{eqnarray*} 240° \end{eqnarray*}$ und addieren dann jeweils Stellenweise.

$\begin{eqnarray*} \begin{array}{ccccccc} & & & 7 & & & \\& & 5 & & 5 & & \\ & 3& & 3 & & 3 & \\1& &1 & &1 & & 1 \end{array}\; + \; \begin{array}{ccccccc} & & & 1 & & & \\& & 3 & & 1 & & \\ & 5& & 3 & & 1 & \\7& &5 & &3 & & 1 \end{array} \; + \; \begin{array}{ccccccc} & & & 1 & & & \\& & 1 & & 3 & & \\ & 1& & 3 & & 5 & \\1& &3 & &5 & & 7 \end{array}\; = \; \begin{array}{ccccccc} & & & 9 & & & \\& & 9 & & 9 & & \\ & 9& & 9 & & 9 & \\9& &9 & &9 & & 9 \end{array} \end{eqnarray*}$

Wie man sieht erhält man überall die gleiche Zahl, nämlich $\begin{eqnarray*} 2n+1 \end{eqnarray*}$ . Man kann sich leicht überlegen warum das so ist.

Nun versuchen wir das erkannte in Formeln zu gießen:
Wir haben $\begin{eqnarray*} 3 \end{eqnarray*}$ Dreiecke benutzt, in denen jeweils $\begin{eqnarray*} \frac{n(n+1)}{2} \end{eqnarray*}$ die Zahl $\begin{eqnarray*} 2n+1 \end{eqnarray*}$ steht. Somit muss man das erhaltene Produkt noch durch 3 teilen. Also $\begin{eqnarray*} \frac{n(n+1) \cdot (2n+1)}{2 \cdot 3} \end{eqnarray*}$

Somit folgt $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n} ~ k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \end{eqnarray*}$

Wie gesagt, sind die Beweise jeweils mit Vollständiger Induktion bestimmt bereits mehrfach hier im Board geführt worden, ich hoffe mit dieser Herleitung allerdings ein wenig im Verständnis weitergeholfen zu haben.

Servus

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