Lineare Inhomogene Dgl. 2. Ordnung

30.06.2007, 13:25	IceTi	Auf diesen Beitrag antworten »
Lineare Inhomogene Dgl. 2. Ordnung Hi, ich habe da eine Aufgabe wo ich nicht mehr weiter komme. Hier erstmal die Aufgabe selber: Bestimmen Sie die Lösung des folgenden Anfangswertproblems: $\begin{eqnarray} y'' + 4y = 50t e^t * sin(t) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} y'' + 4y = 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} => \lambda1 = 2j; \lambda2 = -2j \end{eqnarray}$ Da $\begin{eqnarray} \alpha + j\beta \end{eqnarray}$ keine Lösung der charakteristischen Gleichung ist, nehme ich folgenden Ansatz (Aus Papula Buch): $\begin{eqnarray} yp = e (hoch) (\alpha+j\beta) * [Qn(x) * sin(\beta t) + Rn(x) * cos(\beta t)] \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =>yp = e^t [(At +b) sin(t) + (Ct+D) * cos(t)] \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} => y'p = e^t [(At+B+A-Ct-D)sint # (Ct+D+At+B+C) * sost] \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} => y''p = e^t * [(2A-2Ct-2D-2c) sint + (2A+2B+Ct+C+2A) cost] \end{eqnarray}$ Nun das alles in die Anfangsgleichung einsetzen, ne. Ich hoffe ich habe mich nicht verschrieben... die zwischen Schritte habe ich weggelassen und direwkt die Endergebnisse für meine Ableitungen hingeschrieben. $\begin{eqnarray} ys = e^t * [(2A-2Ct-2D-2c) sint + (2A+2B+Ct+C+2A) cost] + 4* e^t [(At +B) sin(t) + /Ct+D) * cos(t)] = 50t * e^t * sin(t) \end{eqnarray}$ Nun teile ich noch druch e^t und sortiere wieder nach sin und cos: $\begin{eqnarray} ys = (2A-2Ct-2D-2C+4At+4B) sint + (2A+2B+Ct+C+2A+Ct+A) cost = 50t * sin(t) \end{eqnarray}$ So und jetzt müsste ich ja einen Koeffizietenvergleich machen. Aber dann erhalte ich ja nur 2 Gleichunge, habe aber 4 Unbekannte, also: $\begin{eqnarray} 2A-2Ct-2D-2C+4At+4B = 1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 2A+2B+Ct+C+2A+Ct+A = 0 \end{eqnarray*}$ Wie gehe ich da nun weiter vor? Ich habe man kann da durchblicken. Ich würde mich RIESIG freuen wenn mir hier jemand weiter helfen könnte. Danke schonmal für eure Mühe....
01.07.2007, 12:35	IceTi	Auf diesen Beitrag antworten »
Kann mir das keiner Erklären ? Soll ich noch irgendwas dazu sagen oder so?
01.07.2007, 15:17	Harry Done	Auf diesen Beitrag antworten »
Ohne das ganze jezt auf Richtigkeit überprüft zu haben würde ich sagen, dass du lieber einen anderen Koeffizientenvergleich machen solltest. Du brauchst ja schließlich auch 4 Gleichungen für deine Unbekannten. Teil das ganze doch lieber so auf: $\begin{eqnarray} y_s=(...)\cdot sin(t)+(...)\cdot t\cdot sin(t)+(...)\cdot cos(t)+(...)\cdot t\cdot cos(t) \end{eqnarray}$ Dann sind die Werte in den Klammern ohne t im Produkt gleich Null und für die Kosinusterme gilt dann auch gleich Null. Somit hast du auch 4 Gleichungen: 3 sind Null und die vierte dann gleich 1. Gruß Jan PS: Wieso postest du das eigentlich in die Numeriksparte? Sollst du alternativ auch eine nummerisch Lösung suchen?

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