Taylorentwicklung

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30.06.2007, 18:01	Obergine	Auf diesen Beitrag antworten »
Taylorentwicklung Hi, ich hab mal zur folgenden Aufgabe eine Frage: Berechnen Sie die Taylorentwicklung für $\begin{eqnarray} f(x)=x^{3}-3x^{2}-2x+5 \end{eqnarray}$ um $\begin{eqnarray} [x]_{0}=1 \end{eqnarray}$ also ich nutze ja folgende Formel: $\begin{eqnarray} T_f(x)=f(a)+\frac{f'(a)}{1!} (x-a)²+ \frac{f''(a)}{2!}(x-a)³ .....usw. \end{eqnarray}$ also die Ableitungen sind auch kein Problem! Abr was wäre denn für a einzusetzen und was für x?? wäre schön wenn mir jemand helfen könnte!
30.06.2007, 18:06	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
a ist dein Entwicklungspunkt, also in dem Fall 1. Und x ist immer noch die Unbekannte der Funktion Die Formel die du angibst ist übrigens falsch, schau nochmal genau drauf.
30.06.2007, 18:31	Obergine	Auf diesen Beitrag antworten »
aber wenn x eine Unbekannte ist muss ich doch dann Tf(x) kennen, damit ich mach x auflösen kann, oder versteh ich da was falsch? was ist denn dann Tf(x)? mathe looser!!!)
30.06.2007, 18:47	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Also zuerst mal die Formel richtig: $\begin{eqnarray} T_f(x)=f(a)+\frac{f'(a)}{1!} (x-a)+ \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 .....usw. \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} T_f(x) \end{eqnarray}$ ist jetzt dein Taylorpolynom, das bestimmst du mit dieser Formel. Wieso willst du den nach x auflösen? Du willst doch einfach nur die Funktion mit oben gegebener Formel entwickeln
30.06.2007, 19:04	Obergine	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} T_f(x)=\frac{x^3-3x-3}{24}(x-1)^4 \end{eqnarray}$ also wäre das schon das ende der ganzen sache und mehr braucht man nicht tun? also einfach die Ableitungen einfügen, zusammenfassen, durch die 4! (=24) teilen und multipilzieren mit dem $\begin{eqnarray} (x-a)^4 \end{eqnarray*}$
30.06.2007, 19:33	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich kann nur sagen das es falsch ist, aber was bitte schön hast du gerade gemacht?! Rechne doch zuerst mal die ersten paar Ableitungen an der Stelle 1 aus, und setze die dann in die Formel ein
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30.06.2007, 19:58	Obergine	Auf diesen Beitrag antworten »
Also die ableitungen: $\begin{eqnarray} f(x)=x^3-3x^2-2x+5 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f^1=3x^2-6x-2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f^2=6x-6 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f^3=6 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f^4=0 \end{eqnarray}$ So und dann einsetzen der Ableitungen: $\begin{eqnarray} T_f(x)=Summe \frac{f^n(a)}{n!} (x-a)^n \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} T_f(x)=\frac{x^3-3x^2-3x+5)+(3x^2-6x-2)+(6x-6)+6+0}{4!}(x-1)^4 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} T_f(x)=\frac{x^3+3x^2-3x^2-3x-6x+6x+5-2-6}{24}(x-1)^4 \end{eqnarray}$ so, ist daran schon etwas falsch? Tut mir leid aber bei Mathe bin ich echt nicht die hellste! $\begin{eqnarray} T_f(x)=\frac{x^3-3x-3}{24} (x-1)^4 \end{eqnarray}$
30.06.2007, 20:00	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja die Ableitungen stimmen, jetzt rechne sie noch an der Stelle 1 aus! D.h. für x immer 1 einsetzen g Die einzigen x die nachher vorkommen sollen die sein im (x-1)^n
30.06.2007, 20:15	Obergine	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} T_f(x)=\frac{1^3-(31)^2-31+5+(31)^2-6+1-2+61-6+6+0}{24} (x-1)^4 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =\frac{1}{24}(x-1)^4 \end{eqnarray}$ und jetzt? weiter auflösen ist doch glaube ich nicht mehr möglich. aber muß ich dass auch für auch andere Werte für x machen oder reicht das wenn man es für einem Wert macht?
30.06.2007, 20:33	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Du bist kein einfacher Kandidat Wir haben doch folgende Formel: $\begin{eqnarray} T_f(x) = f(1) + f'(1)(x-1) + \frac{f''(1)}{2}(x-1)^2 + \frac{f'''(1)}{6}(x-1)^3 \end{eqnarray}$ Was sind jetzt f(1), f'(1), f''(1), f'''(1)? Diese einfach einsetzen, vereinfachen und du bist fertig. Was du gerade hast weiß ich nicht, du hast irgendwie alle Summanden in eines geschrieben oder so
30.06.2007, 20:47	Obergine	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} T_f(x)= -5+1(x-1)+0(x-1)^2+1(x-1)^3+0(x-1)^4 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = -5+(x-1)+(x-1)^3 \end{eqnarray}$ also wenn das jetzt nicht stimmt geb ich auf!
30.06.2007, 20:56	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
f(1) = 1 und f'(1) = -5 Du hast f(1) = -5 und f'(1) = 1. Zumindest das einsetzen sah um einiges besser aus. Schreib doch auch noch die Werte auf die du ausgerechnet hast und wie du genau eingesetzt hast. Aufgeben kurz vor dem Ende ist doch nicht gut. Ein Erfolgserlebnis motiviert ungemein gib nicht kurz davor auf
30.06.2007, 21:05	Obergine	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} T_f(x)=1-9-2+5+\frac{9-6-2}{1!}(x-1)+ \frac{6-6}{2!}(x-1)^2+ \frac{6}{3!}(x-1)^3+ \frac{0}{4!}^4 \end{eqnarray*}$ also so hatte ich es gerade ausgerechnet
30.06.2007, 21:07	Obergine	Auf diesen Beitrag antworten »
ups hab zum schluß was ausversehen weggelassen! $\begin{eqnarray} T_f(x)=1-9-2+5+\frac{9-6-2}{1!}(x-1)+ \frac{6-6}{2!}(x-1)^2+ \frac{6}{3!}(x-1)^3+ \frac{0}{4!}(x-1)^4 \end{eqnarray}$ vergiss das gerade, soooo hab ich das berechnet!
30.06.2007, 21:08	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Wo kommen die beiden 9er her?
30.06.2007, 21:10	Obergine	Auf diesen Beitrag antworten »
weil ja zum beispiel bei f(x) x³-3x²..... und (3*1)² gibt 9
30.06.2007, 21:14	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
tja es ist aber 3*(1)²
30.06.2007, 21:23	Obergine	Auf diesen Beitrag antworten »
oh nein... du hast recht! ich glaube das ganze zeug ist mir schon zu kopf gestiegen! also man sollte samstags nicht zu viel mathe machen! besonders wenn mans nicht so gut kann! aber dann ist es doch so: $\begin{eqnarray} T_f(x)= 1+\frac{-5}{1!}(x-1)+ \frac{0}{2!}(x-1)^2+ \frac{6}{6!}(x-1)^3+ \frac{0}{24}(x-1)^4 \end{eqnarray}$ und daruas kommt zusammen gefaßt $\begin{eqnarray} = -4(x-1)+(x-1)^3 \end{eqnarray}$ bitte lass es richtig sein!!!!
30.06.2007, 21:25	Obergine	Auf diesen Beitrag antworten »
das fakultät bei der 6 muß weg! hab mich vertippt
30.06.2007, 21:38	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Puh also das eingesetze ist richtig(!), zusammengefasst hast du es falsch. Du kannst doch nicht einfach die 1 in das linear-Glied hinzuziehen. Ach vereinfache auch die Potenzen noch, dann wirst du was tolles feststellen
30.06.2007, 22:02	Obergine	Auf diesen Beitrag antworten »
so jetzt glaub ich hab ichs aber! Ergebniss: $\begin{eqnarray} T_f(x)=x^3+x^2+5x+4 \end{eqnarray}$
30.06.2007, 22:06	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Puh ich gebs auf und schreibs hin. Du hattest bereits: $\begin{eqnarray} T_f(x) = 1 - 5(x-1) + (x-1)^3 \end{eqnarray}$ Weiter umgeformt: $\begin{eqnarray} = 1 -5x +5 + x^3 -3x^2 + 3x - 1 = x^3 -3x^2 -2x +5 \end{eqnarray}$

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