Bedingung oder Unabhängigkeit?

30.06.2007, 21:22

Luedden

Bedingung oder Unabhängigkeit?

Guten Abend,
ich habe noch eine mündliche Prüfung im Mathe-Grundkurs zu bestehen. Jetzt verzweifle ich beim Lernen bei einer Aufgabe.

Sie lautet: Bei einer Abschlussprüfung sind 15% der Prüflinge in Mathe, 10% in Deutsch und 8% in beiden Fächern durchgefallen.

a)
Zeichnen Sie ein Mengendiagramm und berechnen Sie für einen zufällig ausgewählten Prüfling die Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse.
1: Der Schüler ist mindestens in einem Fach durchgefallen.
2: Der Schüler ist in genau einem Fach durchgefallen.

Nach der Abschlussprüfung machen die Schüler noch einen Eignungstest. Von den Prüflingen, die in höchstens einem Fach durchgefallen sind, bestehen 80% den Test. Insgesamt bestehen 75% den Test.

b) Zeichnen Sie ein Baumdiagramm und berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, den Test zu bestehen, wenn man in beiden Fächern durchgefallen ist.

Leider habe ich kein Ergebnis für diese Aufgabe. Ich habe gerechnet (als "und"-Ereignis tippe ich "n" ; als "oder"-Ereignis tippe ich "u"; das "Nicht"Ereignis hat ein "~"davor):
D= Deutsch durchgefallen
M= Mathe durchgefallen
D n M= beide durchgefallen

a)

1:
P(D)=0,1
P(M)= 0,15
P(MnD)= =0,08
gesucht: P(MuD)

Additionssatz:
P(MuD)=[P(M) + P(D) - P(MnD)]
= 0,15 + 0,1 - 0.08
= 0,17 --> 17%

2: gesucht: P [(~M n D) u (M n ~D)]
Hier weiss ich nicht: Kann ich die eckigen Klammern einfach weglassen oder verhält es sich da wie bei den Vorzeichen + und - ?
Ist es so, dass P(~M)= 0,85 ist oder muss die 8% noch dazuzählen?
Habe es ohne 8% gemacht.
[P(~M) * P(D)] u [P(M) * P(~D)]
= [0,85 * 0,1] u [0,15 * 0,9]
= 0,085 u 0,135 = 0,085 + 0,135 - 0,08= 0,14
--> 14%

b) Hier kam ich so gar nicht richtig klar:
E= Eignungstest bestanden

P(~M u ~D)= 0,85 u 0,9
= 0,85 + 0,9 - 0,92 = 0,83 (80% davon bestehen)
P(M n D)= 0,08 (20% davon bestehen)

20% von 75% sind 15%.
80% von 75% sind 60%

Mein Baumdiagramm (ohne Äste):

~M u ~D M n D
0,83 0,08

~D u ~M n E M n D n E
0,6 0,15

Wenn die Ereignisse stochastisch unabhängig sind dann rechne ich:
P(M n D n E)= 0,08 * 0,15 = 0,012 --> 1,2%

Wenn es eine bedingte Wahrscheinlichkeit ist, dann rechne ich (müsst euch den Bruchstrich denken):

MnD n MnDnE 0,08 * 0,15
P(MnDnE) u.d. Bed. MnD= = = 0,15
MnD 0,08

--> 15%

Mir kommen die 1,2% etwas wenig vor, aber andererseits haben doch (wenn man mal von 100 Schülern ausgeht) 8 Schülern 15% den Test bestanden, dann käme es ja doch hin.
Ich bin deswegen so verwirrt, weil es ja auch eigentlich eine Bedingung gibt.

Kann mir jemand helfen? Sollte ich auch bei Aufgabe a) alles falsch gemacht haben, dann winke bitte einer mit dem Zaunpfahl.

Vielen Dank im Voraus!

LG, L

30.06.2007, 22:27

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Zuerst die gute Nachricht: a) 1. ist richtig.

Jetzt die schlechte: Der Rest ist falsch, bzw. auch sehr verwirrend und unübersichtlich dargelegt.

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Zu a) 2.:

Da scheinst du irgendwie Unabhängigkeit zwischen M und D zu nutzen. Die ist hier aber keinesfalls gegeben, ansonsten müsste auch

$\begin{eqnarray*} P(D\cap M) \stackrel{?}{=} P(D)\cdot P(M) = 0.1\cdot 0.15 = 0.015 \end{eqnarray*}$

gelten, was aber offensichtlich nicht stimmt, denn es ist ja $\begin{eqnarray*} P(D\cap M)=0.08 \end{eqnarray*}$ gegeben. Nein, zu bestimmen ist die Wkt der symmetrischen Differenz

$\begin{eqnarray*} P(D \Delta M) = P(D\setminus M) + P(M\setminus D) = (0.1-0.08) + (0.15-0.08) = 0.09 \end{eqnarray*}$ ,

ohne jeglichen, hier falschen Unabhängigkeitsannahmen.

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Zu b)

Hier kannst du fast alles vergessen aus a), relevant von da ist nur die Wahrscheinlichkeit von

$\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ ... Schüler ist höchstens einmal durchgefallen

bzw. dem Gegenteil (symbolisch: $\begin{eqnarray*} {}^c \end{eqnarray*}$ = Komplement)

$\begin{eqnarray*} A^c \end{eqnarray*}$ ... Schüler ist beidesmal durchgefallen .

Wegen $\begin{eqnarray*} A^c = D\cap M \end{eqnarray*}$ folgt einfach $\begin{eqnarray*} P(A^c)=0.08 \end{eqnarray*}$ bzw. dann $\begin{eqnarray*} P(A)=0.92 \end{eqnarray*}$ .

Baumdiagramme zeichne ich hier nicht, kannst du selber machen. Ich betrachte das ganze mal auf der Ebene der Ereignissprache sowie Formel der totalen Wkt. Dazu muss noch das Ereignis

$\begin{eqnarray*} E \end{eqnarray*}$ ... Schüler besteht den nachfolgenden Ereignistest

eingeführt werden. Dann sind hier in b) noch die Wkt $\begin{eqnarray*} P(E)=0.75 \end{eqnarray*}$ sowie die bedingte Wkt $\begin{eqnarray*} P(E \bigm| A)=0.8 \end{eqnarray*}$ gegeben. Gesucht ist hingegen $\begin{eqnarray*} P(E \bigm| A^c) \end{eqnarray*}$ , das ist gerade die bedingte Wkt, den Eignungstest zu bestehen, wenn man vorher sowohl Mathe als auch Deutsch vergeigt hat. Die Formel der totalen Wkt (das symbolische Äquivalent zu der Baumzeichnerei) besagt dann

$\begin{eqnarray*} P(E) = P(E \bigm| A)\cdot P(A) + P(E \bigm| A^c)\cdot P(A^c) \end{eqnarray*}$

Von den fünf Werten dieser Gleichung sind dir nun vier bekannt, nach dem fünften kann dann umgestellt werden...

EDIT: Bezeichnungen angepasst...

01.07.2007, 13:19

Luedden

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Vielen Dank!
Ich entschuldige mich erstmal für meine unverständliche Ausdrucksweise. Aber wenn man keine Ahnung hat wovon man spricht... :-)
Du hast so einige Missverständnisse geklärt. Ich habe nun nach deinem Konzept die Aufgabe zuende gerechnet.
Eine Frage zu deiner Schreibweise.

P(E/A) heisst das ausgesprochen: Wahrscheinlichkeit von E (den Test zu bestehen) unter der Bedingung A (höchstens einmal durchgefallen)?

a) 2. hast du ja schon vorgemacht m.d. Ergebnis 0,09. Jetzt wo ich es sehe, erscheint es mir mehr als logisch.

b)
Bedingung: Nicht-A (also das Komplement)
Gesucht: P(E/Nicht-A)

Ich wollte jetzt noch sichergehen, dass mein Baum richtig ist, habe es aber wiederholt nicht geschafft, ihn hier als Zeichnung reinzustellen. Ich versuche, es verständlich zu erklären.

oben drüber steht 0,75
davon gehen zwei äste ab, der eine zu A (0,92), der andere zu Nicht-A (0,08) -
von A führt ein weiterer Ast zu E (0,8)
von Nicht-A führt ein Ast zu E [P (E/Nicht-A)] - Die Unbekannte

Die Rechnung:

0,75 = 0,92 * 0,8 + 0,08 * P(E/Nicht-A)

P(E/Nicht-A) = (0,75 - 0,92 * 0,8) : 0,08 = 0,175

--> 17,5%

Richtig?
Danke für die viele Mühe, die du dir mit mir gemacht hast, es hat mich schon viel weiter gebracht.

LG, L

01.07.2007, 13:30

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RE: Vielen Dank!

Zitat:

Original von Luedden
P(E/A) heisst das ausgesprochen: Wahrscheinlichkeit von E (den Test zu bestehen) unter der Bedingung A (höchstens einmal durchgefallen)?

Genau, das - allerdings ist die Symbolik P(E|A) üblicher ("gerader Strich").

Die folgende Rechnung mit Ergebnis 17.5% ist richtig. Freude

01.07.2007, 23:26

Luedden

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Juchuuu!
Lieber Arthur Dent,

ich danke dir wirklich wirklich vielmals, du hast mir so geholfen. Ich habe morgen meine Mündliche. Ob so eine Aufgabe auch wirklich dran genommen wird, weiss ich natürlich nicht, aber wenn ich beim Lernen an einer Stelle nicht mehr weiterkomme, stelle ich sofort alle meine Kenntnisse in Frage smile

.
Zum größten Teil waren die Schwierigkeiten in den Grundlagen der Stochastik und wahrscheinlich auch, weil ich erst vorgestern angefangen habe zu lernen unglücklich

Ich habe noch nie im Internet Antworten auf Mathefragen gesucht und möchte noch einmal zum Ausdruck bringen, dass ich schwer begeistert bin.

Einen schönen Abend und nochmals VIELEN Dank.

Lg, L

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