Eigenvektor?

26.01.2005, 22:00

Hugo

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Eigenvektor?

Moin,
ich habe ein kleines problem:
Ich soll d eigenwerte und eigenvektor der folgenden matrix berechnen:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & -3 & 3 \\ 3 & -5 & 3 \\ 6 & -6 & 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Also für die eigenwerte habe ich 4 und -2 rausbekommen, aber wenn ich jetzt den eigenvektor berechnen will kommt mein problem.

Nach Gaußelimination der Matrix mit eingesetztem eigenwert 4 erhalte ich folgendes gleichungssystem:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 3 & 3 & -3 \\ 0 & 12 & -6 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ mal $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
da die drite zeile eine Nullzeile ist erhalte ich für $\begin{eqnarray*} x_3 \end{eqnarray*}$ Null, dann wären aber auch $\begin{eqnarray*} x_1 und x_2 \end{eqnarray*}$ gleich Null und das darf meines Wissens nach nicht sein. Könnte mir einer sagen wo mein fehler liegt?

26.01.2005, 22:07

JochenX

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x3 ist nicht 0, das ist beliebig....
bring mal deine matrix weiter auf treppenform!
hast du schon mal was vom -1 trick gehört zur kernbestimmung?

26.01.2005, 22:11

AD

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RE: Eigenvektor?????????
Sieht so aus, als wäre (-2) doppelte Nullstelle des charakteristischen Polynoms. Oder wie man hier sagt, der Eigenwert (-2) besitzt die algebraische Vielfachheit 2. Wenn er dann auch die geometrische Vielfachheit 2 besitzt, dann muss es zum Eigenwert (-2) zwei linear unabhängige Eigenvektoren geben! Kann natürlich auch sein, dass es nur geometrische Vielfachheit 1 ist - dann wird das nix mit der Diagonalisierung, aber Jordansche Normalform ist natürlich immer drin.

26.01.2005, 22:14

Hugo

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ach so
$\begin{eqnarray*} x_3 \end{eqnarray*}$ ist dann wegen der Nullzeile beliebig, was folgt denn dann für $\begin{eqnarray*} x_1 und x_2 \end{eqnarray*}$ , denn wenn die eine variabele beliebig ist sind es die anderen doch auch oder.
Vielleicht kannst du mir das mit diesem -1 trick einmal erklären, wenn mir dieser dabei hilft, denn von dem habe ich noch nie etwas gehört.
aber danke schon mal

26.01.2005, 22:20

JochenX

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nur n einfacher beispiel:

gesucht der kern einer matrix, die folgende treppe hat:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
wäre die treppe die einheitsmatrix, wäre der kern nur der nullvektor...
hier kommt der -1 trick zum tragen... fülle die diagonale an den stellen, wo 0 steht mit -1 auf.
das ergibt dann folgende matrix
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

die spalten mit den -1en sind dann die erzeugendenvektoren des kern.

also hier: kern=< $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ >

mfg jochen

edit1: latexcode
edit2: erzeugnisklammern zugefügt

26.01.2005, 22:38

Hugo

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alles klar
dann weiß ich in etwa wie das geht
vielen dank

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26.01.2005, 23:18

gast

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frage: aber mit welcher begründung darf ich das denn machen? verwirrt

verwirrt

ich darf ja nicht nach belieben die matrix ändern, bzw einzelne einträge in einer matrix.

gast

26.01.2005, 23:35

Seimon

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ist A die Matrix dann ist ja A*x=b ein Gleichungssystem

Du kannst also von dem Gleichungssystem einzelne Zeilen vertauschen oder eine zur anderen addieren!

26.01.2005, 23:43

JochenX

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genauer suchst du hier alle lösungen des LGS A*x=0 (nullvektor), denn gesucht ist der kern.
und jetzt erinnere man sich an das lösen von LGSen...
große matrix, links A rechts davon b (hier 0) hinschreiben.....
links zu treppe umformen, rechts mit berechnen.
am ende steht rechts die lösung für x, wenn links die enheitsmatrix steht....
aber am nullvektor ändert sich ja nichts bei zeilenumformungen.......

woher der -1trick kommt lieber nicht fragen, sondern anwenden.
kann das jemand in einfachen worten erklären?!
arthur?! verwirrt

verwirrt

mfg jochen

27.01.2005, 01:07

Seimon

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Zitat:

Original von LOED
woher der -1trick kommt lieber nicht fragen, sondern anwenden.
kann das jemand in einfachen worten erklären?!

Mir ist nicht klar was du mit dem -1 Trick bezwecken willst...

Ich nehm dein Beispiel her: $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} * x = 0 \end{eqnarray*}$

dann schreib ich das ganze als 3 Gleichungen an:

x1 + 2*x3 = 0
x2 + 3*x3 = 0
0=0

Die dritte Gleichung liefert keine Info also wähl ich willkürlich eins von den dreien (x1, x2, x3), zb: x1 = 1

dann folgt:
$\begin{eqnarray*} kern=<\begin{pmatrix} 1 \\ 3/2 \\ -1/2 \end{pmatrix} > \end{eqnarray*}$

hätt ich x1 = 2 gewählt käme dein Ergebnis raus...

aber wo brauch ich da einen Trick ? verwirrt

verwirrt

27.01.2005, 01:16

JochenX

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naja, was heißt hier trick....
das ist halt einfach der schnellste mir bekannte weg, aus eine treppenform den kern abzulesen.
wurde bei uns in der übung und im tutorium halt gerne als der -1"trick" bezeichnet. das färbt halt ab.....

geht dein verfahren denn auch hier so schnell?! Augenzwinkern

Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 4 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & 7 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 5 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
ist dann halt sehr angenehm, einfach die diagonale mit -1 aufzufüllen und abzulesen.....

ansonsten hast du natürlich recht.

mfg jochen

27.01.2005, 01:34

Seimon

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mein problem ist ich kenn das verfahren nicht mit dem du rechnest Augenzwinkern

Augenzwinkern

bis Sytem 4. Ordnung oder so fahr ich immer direkt auf die Gleichungen drauf und lös durch einsetzen, höhere Ordnungen klopf ich in den Rechner...

du machst zuerst den Vorwärtsteil vom Gauss oder? und dann?

und nochwas! bei 2 oder mehr Nullen: WARUM darfst du da immer -1 setzen?

27.01.2005, 01:49

JochenX

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Zitat:

WARUM darfst du da immer -1 setzen?

Zitat:

und oben sprach ich
woher der -1trick kommt lieber nicht fragen, sondern anwenden.
kann das jemand in einfachen worten erklären?!

du frag mich nicht, aber es geht.... und es ist echt relativ einfach damit....
gauss möglichst weit anwenden und nachher die -1en einfügen (falls nicht die einheitsmatrix rauskommt).
mehr kann ich dir leider echt nicht sagen......

mfg und gute nacht jochen

27.01.2005, 10:10

JochenX

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klar gehts'. ist mir gestern abend im bett noch klargeworden....
werd's jetzt hier mal vorstellen.
ob man auch bei nichtquadratischen matrizen ähnlich argumentiern kann, weiß ich nicht (und glaub's nicht).

ausgangsform: treppe mit 0ern auf der diagonale (Spalte a1, a2,...a:_n.); die entsprechenden spalten haben an den zeilenpositonen der anderen diagonalnuller (zeilen a1,a2,...,a_n) auch ein 0 (sonst kann man weiter auf treppenform bringen durch zeilenvertauschung)
ich nenne die entsprechenden zeilen/spalten einfach mal "wilde" spalten Augenzwinkern

Augenzwinkern

soetwas hat einen n-dimensionalen Kern (klar).

ich betrachte immer den einfachsten und mit am wenigsten tipparbeit verbundenden fall; die argumentation funktioniert genauso für größere matrizen, aber ich mag da keine pünktchenmatrizen erstellen....

zunächst: eine null
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 & a \\ 0 & 1 & b \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
gesucht: der kern; wir wissen, das ist ein eindimensionaler Lösungsraum, also müssen wir nur einen vektor finden, der im ken liegt, dann ist der kern dessen erzeugnis.
leicht zu erkennen ist, das ein vektor im kern folgende eigenschaft erfüllen muss: die x1-komponente muss das -a fache der x3-komponente sein.
die x1-komponente muss zudem das -b fache der x2-komponente sein.
einfachste lösung x3=-1 setzen; (a/b/-1) ist der gesuchte vektor.
-1trick funktioniert, weil einfach alles was durch die matrixeintzräge der nullspalte "vorne" aufaddiert wird" gerade durch -1*die nullspalte wieder abgezogen wird.

jetzt 2 und mehr nullen; erklärung bei 2, für mehr geht analog:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 & a & b \\ 0 & 1 & c & d \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
gesucht: kern, 2dimensional, d.h. 2. linear unabhängige vektoren
frage geht hier der -1 trick für jede dieser spalten? also einfach (a/c/-1/0) und (b/d/0/-1)?
überlegung: ansatz für einen kernvektor aus 3. spalte. dieser hat in der zeile aller anderen nullspalteneinträge eine 0 stehen. diese bleiben fest (in unserem falle ist das die null in der vierten zeile, 3 spalte, die man auch in den vermuteten kernvektoren gut sieht).
also ist mein ansatz: (*/*/*/0) mit einer null an jeder komponente einer "wilden" zeile (hier nur 4)

man setze das mal in LGS ein:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 & a & b \\ 0 & 1 & c & d \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}* \begin{pmatrix} * \\ * \\ * \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
und nun sieht man das sogleich: die zeileneinträge der entsprechenden anderen wilden zeile sind gesichert (nullzeilen) und die einträge dieser spalten sind dank der nuller im ansatzvektor egal (!).
also liegt der vektor im kern, wenn die * folgendes kleinere LGS erfüllen, vermindert um die anderen wilden zeilen und spalten....
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 & a \\ 0 & 1 & c \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}* \begin{pmatrix} * \\ * \\ *\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
hier aber ist -1 trick anwendbar.
so kann man für jede wilde einzeln argumentieren, dass der -1trick geht.
da jeder der n vektoren (in unserem falle n=2) eine -1 an einer stelle stehen hat, an der die anderen gefundenen vektoren notwendigerweise 0er haben, ist auch die lineare unabhängigkeit gesichert und osmit haben wir den ganzen kern.

damit geht der -1trick auch, wenn mehrere solche diagonalnuller verbleiben.

puh ich hoffe, das war einigermaßen verständlich......
mfg jochen

edit4:
nachtrag: bei einer nxm matrix mit n<m kann man (nach bringen auf treppenform) das ganze noch durch unten zufügen von nullzeilen auf eine mxm-matrix bringen und danach den -1-trick wie gewohnt anwenden.
edit5: nee, nicht alle einfach unten anhängen, sondern so, dass die treppeneinser die schon da sind, an den korrekten stelen auf der diagonale stehen
wie ist das für m>n?!

edit5: oben zwei mal eine 2 zu einer 0 gemacht
sorry, da hatte ich mich verschrieben

04.04.2005, 23:04

mercany

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Guten Abend.

Ich habe das Ganze hier mal mitverfolgt und mir deinen halben Roman genüsslich durchgelesen *g*

Folgende Fragen stellen sich mir.

1. Wie kommst du von 1 0 a b im nächsten Schritt auf 1 2 a b | wo kommt die 2 her?

2. Entweder ich sehe es nicht, oder du hast es so nicht gemacht, aber wo hast du denn den -1-Trick da jetzt angewendet?

Ein einfaches Beispiel würde da sicherlich helfen :-) und btw, was ist der unterschied zwischen eindimensionalem und 2dimensionalem Lösungsraum???

Ich weiß das sind viele Fragen auf einmal, aber vielleicht hat ja wer erbarmen mit mir Big Laugh

Big Laugh

Gruss
Jan

04.04.2005, 23:11

JochenX

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okay, die 2er waren tippfehler, danke, dass hatte ja sonst niemand angemeckert...
langer text, also viel platz für fehler....

-1 trick liefert hier tatsächlich den kern, indem man einfach die -1er auf der diagonalen erweitert
ich liefere ja nur die begründung, dass das geht

zu den dimensionen: der kern einer lin. abb. von V nach W ist ein teilraum von V, also an sich wieder ein vektorraum.
was ist denn dr unterschied zwischen einem eindimensionalen und zweidimensionalen vektorraum!?!?

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