t finden, so dass Vektoren linear abhängig

26.01.2005, 23:19

cmenke

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t finden, so dass Vektoren linear abhängig

Hallo!

Ich habe folgende vier Vektoren gegeben: (2, 3, 0, 2), (1, 4, 2, 3), (3, 2, -2, t) , (-2, 2, 1, 2) und die sind angeblich linear abhängig, wenn ich t entsprechend wähle. Ich soll jetzt "untersuchen, für welche t diese Vektoren linear abhängig sind"...
Erste Idee war, daraus ein lineares Gleichungssystem zu machen:

$\begin{eqnarray*} \begin{array}{cccccc} 2x_1 & + 1x_2 & + 3x_3 & - 2x_4 & = & 0 \\ 3x_1 & + 4x_2 & + 2x_3 & + 2x_4 & = & 0 \\ & +2x_2 & - 2x_3 & + 1x_4 & = & 0 \\ 2x_1 & + 3x_2 & + tx_3 & + 2x_4 & = & 0 \end{array} \end{eqnarray*}$

Allerdings bringt mich das nicht weiter oder ich weiß zumindest nicht weiter, so komme ich doch nur auf die "triviale" Lösung mit lauter Nullen, oder?
Naja, jedenfalls werde ich daraus irgendwie nicht schlau. Bin ich denn auf dem richtigen Weg???

Gruß,

cmenke

26.01.2005, 23:25

tokitoks

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hmmm ... ich glaube dein ansatz ist falsch.
bin mit nicht sicher, aber probiers mal mit:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\0 \\2\end{pmatrix} *x_1 + \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 2 \\3\end{pmatrix} *x_2 + \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ -2 \\t\end{pmatrix} *x_3 = \begin{pmatrix} -2 \\ 2 \\ 1 \\2\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und mache jetzt deine gleichungssysteme und rechne mal aus.
habe es aber nicht geprüft.
werde ich gleich machen.

mfg

26.01.2005, 23:28

Seimon

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RE: t finden, so dass Vektoren linear abhängig
Bau aus den 4 Vektoren eine 4x4 Matrix A(t),
berechne die Determinante von A(t)
und löse dann die Gleichung det(A(t)) = 0

26.01.2005, 23:30

tokitoks

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also ich bekomme mit meinem ansatz t = 4,5 heraus. war eigentlich auch ganz einfach, vorrausgesetzt es ist richtig ;-)

26.01.2005, 23:40

Seimon

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t = 1

26.01.2005, 23:52

tokitoks

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hmm... jetzt bekomme ich wieder was anderes raus...
aber ich glaub scho, dass t = 1 von seimon richtig ist.
magst des mal vorrechnen ? *liebgugg*
würde nämlich auch gern wissen, wo mein fehler ist ;-)

mag diese 4x4 matrizen nicht Hilfe

Hilfe

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27.01.2005, 00:07

JochenX

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buah, hab mich auch verrechnet bei dr blöden determinante...
sicher bei der doofen sarrusmethode verschrieben unglücklich

unglücklich

vielleicht ist es doch einfacher, die matrix mit gauss auf treppenform zu bringen....
die vektoren sind genau dann linear unabhängig, wenn die treppe nicht die einheitsmatrix ist.

mfg jochen

27.01.2005, 00:16

Seimon

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Also

Die Matrix A lautet: $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 & 1 & 3 & -2 \\ 3 & 4 & 2 & 2 \\ 0 & 2 & -2 & 1 \\ 2 & 3 & t & 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Die Determinante Det(A) ist dann (das mag ich jetz ned schrittweise reintippen ich glaub das bring jeder selber zusammen Augenzwinkern

Augenzwinkern

)
-15 + 15*t

eine Matrix A aus NICHT linearen unabhängigen Vektoren hat rank(A) $\begin{eqnarray*} \neq \end{eqnarray*}$ dim(A)

nur eine NICHT Reguläre Matrix hat rank(A) $\begin{eqnarray*} \neq \end{eqnarray*}$ dim(A)

eine Matrix ist dann NICHT Regulär falls Det(A) = 0

--> -15 + 15 *t = 0 --> t = 1

27.01.2005, 00:18

tokitoks

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Zitat:

Original von Seimon
....
Die Determinante Det(A) ist dann (das mag ich jetz ned schrittweise reintippen ich glaub das bring jeder selber zusammen Augenzwinkern

Augenzwinkern

)
-15 + 15*t
....

das ja eben mein problem atm :P
ich bring das nicht selber zusammen traurig

traurig

der rest ist logisch ;-)

mfg

edit: aber ich probier nomma schnell smile

smile

27.01.2005, 00:25

Seimon

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entwickeln nach der ersten Spalte:

$\begin{eqnarray*} 2*\begin{pmatrix} 4 & 2 & 2 \\ 2 & -2 & 1 \\ 3 & t & 2 \end{pmatrix} -3* \begin{pmatrix} 1 & 3 & -2 \\ 2 & -2 & 1 \\ 3 & t & 2 \end{pmatrix} -2*\begin{pmatrix} 1 & 3 & -2 \\ 4 & 2 & 2 \\ 2 & -2 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

3 mal 3 Matrix Determinante is klar oder?

ich hoff das stimmt so... sowas rechne ich nie selber (zu gefährlich Augenzwinkern

Augenzwinkern

) --> mathematica

27.01.2005, 00:32

JochenX

Auf diesen Beitrag antworten »

tja, genau so sahs bei mir auch aus...... und dann fing das große verrechnen an...... aber das kennt man ja von mathematikern.......

ich möchte dich übrigens etwas korrigieren:
" dim(A)": über die dimension einer matrix könnten wir streiten, aber ich denke du meinst die dimension des bildes der durch sie dargestellten abbildung....

mfg jochen

Willkommen

Willkommen

im matheboard übrigens
stell dich doch mal vor im vorstellthread

27.01.2005, 00:34

tokitoks

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3x3 matrix ist klar...

aber ich sehe gerade mein problem.

du hast vor den matrizen die zahlen 2, -3 und -2.
ich habe das damals anders erklärt bekommen, daher auch mein rechenfehler.

wenn ich nach der i-ten zeile und k-ten spalte einer nxn - matrix entwickel, dann muss ich immer
(-1)^(k+i) mal die daraus entstehende (n-1)x(n-1) matrix rechnen...

daher verstehe ich nicht, wie du auf die entsprechenden koeffizienten kommst.

bitte um erklärung smile

smile

edit: ich habe gerade entdeckt, woher deine zahlen kommen ^^
also entweder man hat mir das falsch beigebracht, oder ich habs einfach nur falsch in erinnerung Augenzwinkern

Augenzwinkern

edit 2: hab mal in meinen unterlagen nachgeschaut... hast gewonnen ^^ mein fehler, sry Hammer

Hammer

27.01.2005, 00:38

riwe

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Zitat:

Original von Seimon
entwickeln nach der ersten Spalte:

$\begin{eqnarray*} 2*\begin{pmatrix} 4 & 2 & 2 \\ 2 & -2 & 1 \\ 3 & t & 2 \end{pmatrix} -3* \begin{pmatrix} 1 & 3 & -2 \\ 2 & -2 & 1 \\ 3 & t & 2 \end{pmatrix} -2*\begin{pmatrix} 1 & 3 & -2 \\ 4 & 2 & 2 \\ 2 & -2 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

3 mal 3 Matrix Determinante is klar oder?

ich hoff das stimmt so... sowas rechne ich nie selber (zu gefährlich Augenzwinkern

Augenzwinkern

) --> mathematica

da fehlt der letzte teil,
aber t=1 stimmt(natürlich),
sogar zu fuß gerechnet
werner

27.01.2005, 00:39

JochenX

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du musst das dann noch mit dem entsprechende matrixeintrag multiplizieren.

also du entwickelst nach einer zeile (spalte), bedeutet:
für jeden matrixeintrag dieser zeile (spalte) bekommst du einen weiteren summanden (dieser kann natürlich 0 sein); dieser besteht aus: matrixeintrag mit dem entsprechenden vorzeichen (hast ja gesagt) mal restdeterminate.
dabei ist die restdeterminate die determinate derjenigen matrix, die entsteht, wenn man die zeile und spalte des entsprechenden matrixeintrags rausstreicht.

mfg jochen

edit: welcher teil fehlt da, werner?
aber wo wir schon am mängeln sind: sind natürlich determinanten (senkrechte striche) keine matrizen (runde klammern) Augenzwinkern

Augenzwinkern

27.01.2005, 00:40

Seimon

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Zitat:

Original von LOED
ich möchte dich übrigens etwas korrigieren:
" dim(A)": über die dimension einer matrix könnten wir streiten, aber ich denke du meinst die dimension des bildes der durch sie dargestellten abbildung....

hmm ich meine damit den 4er bei einer 4x4 matrix Augenzwinkern

Augenzwinkern

wie sagt man da exakt verwirrt

verwirrt

Zitat:

Original von LOED
Willkommen

Willkommen

im matheboard übrigens
stell dich doch mal vor im vorstellthread

ups gar ned gesehen vor lauter eifer Hammer

Hammer

27.01.2005, 00:42

Seimon

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von wernerrin

da fehlt der letzte teil

verwirrt

wie meinen?

edit:

Zitat:

Original von LOED
aber wo wir schon am mängeln sind: sind natürlich determinanten (senkrechte striche) keine matrizen (runde klammern) Augenzwinkern

Augenzwinkern

da geb ich dir vollkommen recht Prost

Prost

27.01.2005, 00:43

JochenX

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Zitat:

hmm ich meine damit den 4er bei einer 4x4 matrix Augenzwinkern

Augenzwinkern

wie sagt man da exakt verwirrt

verwirrt

ich denke zeilenanzahl und spaltenanzahl ist da ganz gut.... Augenzwinkern

Augenzwinkern

aber nach einem schönen mathematischen wort suche ich da auch des öfteren, wenn ich hier poste......

27.01.2005, 00:58

riwe

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Zitat:

Original von Seimon

Zitat:

Original von wernerrin

da fehlt der letzte teil

verwirrt

wie meinen?

edit:

Zitat:

Original von LOED
aber wo wir schon am mängeln sind: sind natürlich determinanten (senkrechte striche) keine matrizen (runde klammern) Augenzwinkern

Augenzwinkern

da geb ich dir vollkommen recht Prost

Prost

tschuldigung, du hast zeilenmäßig gerechnet, ich umständlich nach spalten (sah die 0 nicht)
werner

27.01.2005, 09:34

cmenke

Auf diesen Beitrag antworten »

Freude

Danke, Leute!!! Dann habe ich jetzt ein sicher funktionierendes Verfahren für diese Aufgaben, sehr gut. Sowas kam letztes Jahr nämlich in der Klausur dran :-)

Allerdings hätte ich in der Klausur auch gerne einen Rechenknecht, hab mich eben nämlich beim Berechnen der Determinanten (Sarrus) gehörig vertan, ein Abschreib- und ein Vorzeichenfehler, mann, da kam aber auch gar nix hin Big Laugh

Big Laugh

Und dann sucht man sich dumm und dämlich...

Naja, ist das eigentlich die "einzige Möglichkeit" (gängige Möglichkeit), Aufgaben diesen Typs zu lösen? Determinaten hatten wir nämlich noch gar nicht. Ist wiedermal typisch! Vorlesung und Übungen laufen vollkommen unabhängig voneinander Augenzwinkern

Augenzwinkern

Gruß,

cmenke

27.01.2005, 09:41

JochenX

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Zitat:

Naja, ist das eigentlich die "einzige Möglichkeit" (gängige Möglichkeit), Aufgaben diesen Typs zu lösen?

lies mal oben; 4x4 matrix erstellen, auf treppenmform bringen.......

27.01.2005, 14:19

cmenke

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Hilfe

Ich war davon ausgegange, dass das nicht geht weil es bei tokitoks nicht klappte (bzw. t=-4,5 rauskam). Habe es jetzt nochmal mit der 4x4-Matrix versucht und bin hier angelangt:

$\begin{eqnarray*} \begin{array}{cccc} 2 & 1 & 3 & -2 \\ 0 & 5 & -5 & 10 \\ 0 & 0 & t-1 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & -3 \end{array} \end{eqnarray*}$

Und nu?

27.01.2005, 17:48

Seimon

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du addierst die letzte zeile zur vorletzten!

wie musst du jetz t wählen damit du eine 0-Zeile hast?

Richtig: t=1

27.01.2005, 18:56

tokitoks

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Zitat:

Original von cmenke
Hilfe

Hilfe

Ich war davon ausgegange, dass das nicht geht weil es bei tokitoks nicht klappte (bzw. t=-4,5 rauskam). Habe es jetzt nochmal mit der 4x4-Matrix versucht und bin hier angelangt:

$\begin{eqnarray*} \begin{array}{cccc} 2 & 1 & 3 & -2 \\ 0 & 5 & -5 & 10 \\ 0 & 0 & t-1 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & -3 \end{array} \end{eqnarray*}$

Und nu?

nun, es klappte bei mir nicht, richtig...

aber ich hatte mich verrechnet, bzw. denke es lag auch ein bisschen an der uhrzeit ;-)

das treppenverfahren funktioniert natürlich auch. welches verfahren das einfacherere ist, darüber lässt sich streiten.

ich versuche immer sarrus zu umgehen ;-) aber jedem das seine smile

smile

27.01.2005, 23:13

cmenke

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Ich bin mir nicht sicher, bei welcher Variante ich mehr Rechenfehler gemacht hab.... ich geb aber jetzt die Gauß-Fassung ab (natürlich mit der Maschine durchkontrolliert)...
Die Sache mit den Determinanten scheint auch etwas mehr Additionen zu benötigen - das sind IMHO die fehlergefährlichsten Rechenschritte überhaupt!

Naja, egöl, ich hab jetzt den ganzen Tag an dem Übungsblatt gesessen und es war das LETZTE (zumindest in der einen von zwei Mathevorlesungen) - Zeit zum Feiern!
Prost

Prost

...

Prost

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