Eisenbahn im Kreis :) []

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jsommer Auf diesen Beitrag antworten »
Eisenbahn im Kreis :) []
Zwei Reisende, die zur selben Zeit abfahren, fuhren auf einer ringförmigen Eisenbahn in entgegengesetzten Richtungen. In jeder Richtung fahren die Züge alle fünfzehn Minuten ab, wobei die östlichen Züge für eine Rundreise drei Stunden brauchen, die westlichen zwei Stunden.

Frage: Wie viele Züge begegneten jedem von beiden auf dem Weg?

Dabei werden diejenigen Züge nicht gezählt, die zu gleicher Zeit im Bahnhof selbst eintrafen.

Und wem das zu leicht ist für den gibts noch nen zusatz.

Zusatzfrage: Sie fuhren wie zuvor im Kreis, wobei jeder Reisende mit eins zu zählen anfing, wenn der dem Zug begegnete, in dem der andere Reisende saß. Wie viele Züge begegneten ihnen nun?

hat einer ne idee? smile
Steve_FL Auf diesen Beitrag antworten »

hm...ich nehme mal an, dass die beiden Strecken gleich lang sein sollen Augenzwinkern
Auch wenn das Geometrisch kaum möglich ist Augenzwinkern

Also:
Bei der Abfahrt zählen sie den ersten Zug.
Dann nennen wir den Fahrer im Zug, der drei Stunden braucht F3 und den, der 2 Stunden braucht F2.

F2 hat nun einen Zug gesehen, F3 ebenfalls.
Sie haben je die Geschwindigkeiten v2 und v3...

V2 ist demnach X/120
V3 ist X/180

X = Länge der Strecke der Eisenbahn
ich hab das mit Minuten angegeben, da wir noch mit 15 Minuten weiterrechnen müssen Augenzwinkern

F2 kommt in 15 Minuten also 15X/120 = X/8 weit.
F3 kommt in 15 Minuten 15X/180 = X/12 weit.

Als die beiden Abfahren ist nun je schon ein Zug der Gegenrichtung unterwegs und zwar in einer Entfernung von:
(Für V2): X/12
(Für V3): X/8

F2 fährt also los und der nächste Zug ist 165/180 X entfernt...

Zusammen haben sie eine Geschwindigkeit von 5X/24.
Das heisst sie brauchen also die Zeit t = (165X/180) / (5X/24) = 165 * 24 / 5*180 = 4.4

Nach der Zeit 4.4 Minuten treffen sie sich. Der nächste Zug ist wieder 15 Minuten von F2 entfernt. Er hat nun schon 2 gesehen, obwohl er erst 4.4 Minuten unterwegs ist...
Er trifft also alle 4.4 Minuten jemanden...

er ist 120 Minuten unterwegs...
120 / 4.4 = 27 3/11
das heisst er trifft 28 Züge (am Anfang auch noch einen...)

F3 trifft noch mehr Züge, da er 180 Minuten unterwegs ist...
180 / 4.4 = 40 1/11
Er trifft 41 Züge...

den Rest mach ich später, da ich jetzt essen muss :P

mfg
 
 
jsommer Auf diesen Beitrag antworten »

leider falsch smile
Steve_FL Auf diesen Beitrag antworten »

hm...dann muss ich wohl meinen Fehler suchen Augenzwinkern
Du hättest die Lösung noch nicht schreiben müssen...
wär schön, wenn du die wieder rauseditierst...

mfg
noamy Auf diesen Beitrag antworten »

DAs ist mir zu hoch =) verwirrt

obwohl mmh
Stardust Auf diesen Beitrag antworten »

ich weiß ja nicht, ob jemand von euch den pisa-test geguckt hat, aber die letzte aufgabe war dort glaub ich ganz ähnlich. die haben auch gesagt, dass wäre die schwierigste vom ganzen test gewesen und kaum einer hatte die gelöst ...
Anirahtak Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo!

Dann werd ich mal mein Glück versuchen...:

Ich behaupte zum ersten Teil der Aufgabe, dass jedem von den beiden genau 19 Züge begegnen!

t_0=0 sei der Punkt, an dem beide losfahren.
Bei t_0 sind von der 3-Stunden-Zügen noch die auf der Strecke, die nach t=-2:45 losgefahren sind. All denen muss F2 auf alle Fälle begegnen. In der Zeit zwischen seiner Abfahrt und Ankunft verlassen noch die Züge mit den Abfahrtszeiten 0:15 und 1:45 den Bahnhof in Gegenrichtung und auch diesen muss der Begegnen.
Wenn man das zusammenzählt sollte das 19 ergeben.

Analog für den anderen Fahrer, der allen Zügen mit Abfahrtszeiten zwischen -1:45 und 2:45 begegnet, also auch 19.

Zum zweiten Teil: jetzt werden nur die Züge gezählt, die nach t_0 losgefahren sind.
F2 zählt also die von 0:15 bis 1:45, das sind 8 Züge.
F3 zählt die von 0:15 bis 2:45 - also 12.

Ich hoffe die Argumentation ist nachvollziehbar (und richtig... :-) )

MfG
Anirahtak
Mr.Hood Auf diesen Beitrag antworten »

Hmm

Ich bin der Meinung wenn wir Berücksichtigen

Zitat:
Dabei werden diejenigen Züge nicht gezählt, die zu gleicher Zeit im Bahnhof selbst eintrafen.


Begegnen Sie jeweils nur 18 Zügen. Oder?

Gruß Mr.Hood
DeGT Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Stardust
ich weiß ja nicht, ob jemand von euch den pisa-test geguckt hat, aber die letzte aufgabe war dort glaub ich ganz ähnlich. die haben auch gesagt, dass wäre die schwierigste vom ganzen test gewesen und kaum einer hatte die gelöst ...


Nein, die war einfach nur "Man fährt in einem Zug, 6 Stunden, und jede Stunde fährt vom entgegengesetzten Bahnhof ein Zug ab. Wie viele trifft man?" und dabei musste man auch nich die genaue Zahl ausrechnen.
bone Auf diesen Beitrag antworten »

die pisa is doch einfach, das sind 12 züge
why_kay Auf diesen Beitrag antworten »

@ anirathak: bei den 8 stimm ich dir zu, aber sind die 12 richtig, ich hab nur 11 raus, bei mir steht er mit dem zwölften im bahnhof, oder hab ich da falschg gezählt?
KnightMove Auf diesen Beitrag antworten »

Ich glaube, Anirahtak hat recht mit den 19.

Aus Sicht des 2h-Zuges:
1 trifft bei Abfahrt ein, wird nicht gezählt.
11 sind gerade auf der Strecke.
1 fährt gleichzeitig los.
7 fahren später los und begegnen dem Zug.

Für den 3h-Zug gilt dasselbe, außer dass 11 und 7 vertauscht werden.
Omalee Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn alle 15 Minuten ein Zug abfährt und die Rundreise 3 Stunden dauert, fahren auf dem östlichen Gleis 12 Zuge, auf dem westlichen - bei 2 Stunden Reisedauer - 8 Züge. mehr passen in keiner Richtung aufs Gleis.

Dem Passagier, der in östliche Richtung fährt, müssen dann alle Züge begegnen, die in westliche Richtung fahren plus nochmal die Hälfte davon, also 8+4=12. Umgekehrt müssen demjenigen, der in westlicher Richtung unterwegs ist, 2/3 der nach Osten fahrenden Züge begegnen, nämlich (12/3)*2=8.

Wenn beide erst anfangen zu zählen, wenn sie dem Zug mit dem jeweils anderen Passagier begegnen, dürften es nur noch 4 bzw. 6 Züge sein, nehm' ich einfach mal so an ...
PrototypeX29A Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Eisenbahn im Kreis :) []
Zitat:
Original von jsommer
Zwei Reisende, die zur selben Zeit abfahren, fuhren auf einer ringförmigen Eisenbahn in entgegengesetzten Richtungen. In jeder Richtung fahren die Züge alle fünfzehn Minuten ab, wobei die östlichen Züge für eine Rundreise drei Stunden brauchen, die westlichen zwei Stunden.

Frage: Wie viele Züge begegneten jedem von beiden auf dem Weg?


Ich kapier die Frage nicht. Nach welcher Zeitspannes ist denn ueberhaupt gefragt?
feren Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Eisenbahn im Kreis :) []
Ein Versuch das Eisenbahn im Kreis Problem zu lösen.
Den Zug in Richtung Ost bezeichnen wir mit: Zo hat eine Zeitschiene von 180 min.
Den Zug in Richtung West bezeichnen wir mit: Zw hat eine Zeitschiene von 120 min.
Banat Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Eisenbahn im Kreis :) []
Ein Versuch das Problem Eisenbahn im Kreis zu lösen.
Zu Frage 1


Den Zug in Richtung Ost bezeichnen wir mit: Zo mit einer Zeitschiene von 180 min.
Den Zug in Richtung West bezeichnen wir mit: Zw mit einer Zeitschiene von 120 min.
Die restlichen Züge Zo1;Zo2...usw. bzw. Zw1;....usw.

Beginnen wir mit Zo.

Beim Start des Zo trifft soeben Zw1 in den Bahnhof ein, den zählen wir laut Aufgabenstellung nicht dazu.
Ebenfalls beim Start des Zo befindet sich Zw2 15min vor dem Bahnhof, also eine Zeitschiene von 15 min.

Wären beide Züge gleich schnell, so wäre der Treffpunkt bei 15/2 = 7,5 min.
Da aber Zo nur 1/3 und Zw2 1 / 2 der Zeitschiene schaffen heißt :

7,5 min = 1 / 3 + 1 / 2 = 2 / 6 + 3 / 6 = 5 / 6 Der Treffpunkt aber liegt bei 6 / 6

7,5 min -------5 / 6
X min ------6 / 6

Dreisatz: 5 / 6 · X = 6 / 6 · 7,5 min. X = (6 / 6 : 5 / 6) · 7,5 = 6 /5 · 7,5 = 9 min

Also 1. Treffpunkt liegt bei 9 min, das heißt alle 9 min ein Treffpunkt

Da Zeitschiene des Zo = 180 min gibt es (180 : 9) – 1 = 19 Treffpunkte
Da Zeitschiene des Zw = 120 min gibt es (120 : 9) = 13 Treffpunkte

Zu Frage 2


Da Treffpunkt alle 9 min. treffen sich Zo und Zw nach 72 min. und beginnen erst jetzt mit dem zählen.

Zo bleiben noch 180 min – 72 min = 108 min zu zählen.
Also 108 min - 9 min (bis Bahnhof) = 99 min : 9min = 11 + 1 Reisender in Zw = 12 Treffpunkte

Zw bleiben noch 120 min – 72 min = 48 min : 9min = 5 + 1 Reisender in Zo = 6 Treffpunkte
Gualtiero Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Eisenbahn im Kreis
Da habe ich was anderes raus, nur mit den 9 min stimme ich überein. verwirrt
Hier mein Ergebnis: dem in östlicher Richtung fahrenden Passgier begegnen auf seiner drei Stunden dauernden Rundfahrt 20 Züge, ebenso dem anderen.

Zug3 nenne ich einen in östlicher Richtung fahrenden Zug, seine Geschwindigkeit.
Das Entsprechende gilt für Zug2 und
Zeiteinheit ist [h].

Das Zeitintervall für östlich und westlich fahrende Züge ist zwar gleich, die Streckenlänge zwischen den Zügen ist aber unterschiedlich, da ja ihre Geschwindigkeit unterschiedlich ist.



Wenn ich z. B. die Begegnungen für Zug3 berechnen will, muss ich wissen, wie lange beide Züge gemeinsam für das Strecken-Intervall von Zug2 benötigen, da sie ja aufeinander zu fahren.
Zug2 hat ein Strecken-Intervall von , welches die Summe der beiden Teilstrecken und ist.

In Verbindung mit den beiden ersten Gleichungen kann ich sagen



Die Gesamtfahrzeit von drei Stunden geteilt durch diese Zeit ergibt dann die Anzahl der Begegnungen, also 20.


Für erhalte ich , was dann die 20 Begegnungen für Zug2 ergibt.
Banat Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Eisenbahn im Kreis
In der Aufgabenstellung heißt es:

Dabei werden diejenigen Züge nicht gezählt, die zu gleicher Zeit im Bahnhof selbst eintrafen.
Also Zo(östliche Richtung Fahrtzeit 180 min) 20 - 1 Zug im Bahnhof bei der Abfahrt = 19 Treffpunkte
Gualtiero Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Eisenbahn im Kreis
Hoppala, ja das habe ich übersehen.
Dann sind es (20 - 1) Begegnungen in jeder Richtung, was jetzt stimmen sollte. Denn Anirathak hat dasselbe Ergebnis.
Banat Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Eisenbahn im Kreis
Ein Versuch das [SIZE=16]Problem Eisenbahn im Kreis [/SIZE]zu lösen.

Hallo Gualtiero

Zu Frage 1

Betrachte bitte die zwei Kreise nicht als Strecken, sondern ganz einfach als zwei verschieden
lange Zeitschienen.

Zw (Zug in westlicher Richtung) hat eine Zeitschiene von 120 min.

Das heißt 120 min : 9 min = 13 Treffpunkte ( Rest 3 min bis Einlauf in Bahnhof, keine weiteren Treffpunkte möglich da Zeitschiene abgelaufen. 9 min · 13 = 117 min. 117 min + 3min. = 120 min. ENDE der Zeitschiene)

Also Zug in westlicher Richtung hat 13 Treffpunkte.

Zo (Zug in östlicher Richtung) hat eine Zeitschiene von 180 min.

Das heißt 180 min : 9 min = 20 Treffpunkte – 1Treffpunkt (Zug der beim Start des Zo soeben im Bahnhof ankam) 9 min · 19 Treffpunkte = 171 min. Rest genau 9 min. 171 min + 9 min = 180 min. ENDE der Zeitschiene ,und in diesen restlichen 9 min. ist Zo im Bahnhof, also wird der Zug der sich im Bahnhof befindet nicht als Treffpunkt bewertet.)
Also Zug in östlicher Richtung hat 19 Treffpunkte.

Zu Frage 2 Wichtig!


Als erstes errechnen wir den Treffpunkt der Züge Zw und Zo mit den REISENDEN.

Die Hälfte der Zeitschiene für Zw(Zug westliche Richtung) liegt bei 60 min. also 1 / 2 seiner Zeitschiene.
Der Zo (Zug in östlicher Richtung) schafft in 60 min. nur 1 / 3 seiner Zeitschiene.

Das bedeutet : 60 min.--------1 / 2 + 1 / 3 = 5 / 6 wir suchen aber 6 / 6 den das ist der Treffpunkt.

60 min >>>>>> 5 / 6
X min >>>>>> 6 / 6

Laut Dreisatz ist: X min · 5 / 6 = 60 · 6 / 6 Xmin. = 60 : ( 5 / 6 ) = 72 min.

Zw bleiben noch 120 min – 72 min = 48 min : 9min = 5 + 1 Reisender in Zo = 6 Treffpunkte
Zo bleiben noch 180 min – 72 min = 108 min zu zählen.
Also 108 min - 9 min (bis Bahnhof) = 99 min : 9min = 11 + 1 Reisender in Zw = 12 Treffpunkte

Zusammenfassung:
Zu Frage 1 :
Zw. = 13 Treffpunkte
Zo. = 19 Treffpunkte
Zu Frage 2 :
Zw. = 6 Treffpunkte
Zo. = 12 Treffpunkte





Bring vor, was wahr ist;
schreib so, das es klar ist. Ludwig Bolzmann
Gruß von Banat
Gualtiero Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Eisenbahn im Kreis
Zitat:
Original von Banat
Also 1. Treffpunkt liegt bei 9 min, das heißt alle 9 min ein Treffpunkt

Das trifft nur zu, wenn der Passagier in einem ostwärts fahrenden Zug den westwärts fahrenden Zügen begegnet.

Der Passagier in einem westwärts fahrenden Zug trifft alle (1/10) h = 6 min auf einen entgegen kommenden Zug.
Weil Zw mit der 1.5 fachen Geschwindigkeit der östlich fahrenden Züge unterwegs ist, hat er nach 7.5 min schon mehr als die Hälfte der Strecke geschafft. Somit muss sich die Begegnung ereignen, bevor 7.5 min (seit der letzten Begegnung) verstrichen sind.

Zitat:
Bring vor, was wahr ist;
schreib so, dass es klar ist.

Ein guter Spruch, aber die absolute Wahrheit maße ich mir nicht an.
Ich kann vorerst nur das Ergebnis meiner Überlegungen für wahr halten. Augenzwinkern
feren Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Eisenbahn im Kreis
Nun gut, aber welchen der Zo sollte der Zw nach 6 min. treffen, wenn doch alle
Züge, wie in der Aufgabenstellung alle 15 min. losfahren?

Beim Start des Zw befindet sich der erste Zo, den er begegnen wird, noch 15 min. vor der Ankunft im Bahnhof.

Gruß Banat
BaXiM Auf diesen Beitrag antworten »
Lösungsansatz
Pro 15min fährt ein Zug ab. Der Einfachheit halber ignoriert man die Strecken und betrachtet das Problem als Winkel auf dem Einheitskreis. Also gilt für die Zugdichten:

Die Anzahl der passierten Züge berechnet sich nach:

mit

sodass folgt:

Beide sehen also exakt gleich viele Züge an sich vorbei fahren.

Für die Zusatzfrage muss man berücksichtigen, welche Fahrzeit ihnen bei ihrem Treffen noch bleibt. Dazu setzt man an, dass die Strecke, die der eine Zug zurückgelegt hat gleich der Gesamtstrecke, abzüglich der Strecke, die der andere Zug zurückgelegt hat sein muss:

Also sind die restlichen Fahrzeiten:

Damit ergibt sich für die getroffenen Züge:


Die Ergebnisse können um +- 1 abweichen, weil ich bei der Aufgabenstellung mit dem richtigen Zählen nicht aufgepasst habe. Augenzwinkern
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