Beweis für die periodität von Sinus/Cosinus

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oldwise Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis für die periodität von Sinus/Cosinus
Wie kann ich beweisen, dass Sinus bzw. Cosinus periodisch sind?

Ich hatte mir gedacht, wenn ich zeige, dass der Sinus von Nullstelle zu Nullstelle immer wieder monoton fällt/steigt und das ist, kann ich daraus die periodität schließen. Ist das richtig?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis für die periodität von Sinus/Cosinus
nee, so geht das nicht. Was du schreibst, würde auch auf f(x) = sin(x) * e^x zutreffen. Eine Funktion ist periodisch, wenn allgemein gilt:
f(x + l) = f(x)
Tobias Auf diesen Beitrag antworten »

Siehe da, Wikipedia weiß Rat:

http://de.wikipedia.org/wiki/Periodische_Funktion
oldwise Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis für die periodität von Sinus/Cosinus
Zitat:
Eine Funktion ist periodisch, wenn allgemein gilt:


Ok, jetzt weiß ich wie periodisch definiert ist. Wie kann ich das bei Sinus nachweisen?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis für die periodität von Sinus/Cosinus
für die Sinusfunktoin wäre zu zeigen:
1. sin(x + 2pi) = sin(x)
2. Zeige, dass 2pi wirklich die kürzeste Periode ist.
Das erste sollte mit den Additionstheoremen gehen.
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

das kann man wohl kaum einfach über den einheitskreis zeigen, oder?
das wäre fast zu einfach, aber prinzipiell sind doch die trigometrischen funktionen auch darüber mit definiert, oder?
 
 
oldwise Auf diesen Beitrag antworten »

doch es geht so. Ist mir auch gerade erst aufgefallen. Dadurch, dass die Funktionen durch bzw. über den Einheitskreis definiert sind, kann man so auch belegen, dass sie periodisch sind. Und das die Additionstheoreme gelten kann man auch mit dem Einheitskreis nachweisen. Der Rest ist trivial.
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