Ein etwas schwierigerer Erwartungswert

01.07.2007, 19:03	DocHoliday	Auf diesen Beitrag antworten »
Ein etwas schwierigerer Erwartungswert Also meine Aufgabe ist folgende: Sei $\begin{eqnarray} (X_n)_{n \varepsilon \mathbb{N}} \end{eqnarray}$ eine Folge reelwertiger, quadratintegrabler, stochastisch unabhängiger, identisch verteilter Zufallsgrößen. Zu berechnen ist: $\begin{eqnarray} \mathbb{E} (\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (X_i - \overline {X_n})^2) \end{eqnarray}$ Dabei ist $\begin{eqnarray} \overline {X_n} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{1}X_i \end{eqnarray}$ Ich vermute ich muss den Erwartungswert in Abhängigkeit von $\begin{eqnarray} X_1 \end{eqnarray}$ ausrechnen, da ich den Limes des Audrucks in der Klammer in der Folgeaufgabe für n->unendlich ausrechnen soll, und das Ergebnis soll $\begin{eqnarray} Var X_1 \end{eqnarray}$ sein. Also lange Rede kurzer Sinn, ich muss den Erwartungswert da oben ausrechnen. Soweit bin ich im Moment: $\begin{eqnarray} \mathbb{E} (\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (X_i - \overline {X_n})^2) = (\frac{1}{n-1}) \mathbb{E} ( \sum_{i=1}^n (X_i - \overline {X_n})^2) = (\frac{1}{n-1}) ( \sum_{i=1}^n \mathbb{E} (X_i - \overline {X_n})^2 \end{eqnarray}$ Soweit bin ich mir relativ sicher. Den Erwartungswert müsst ich in die Summe reinziehen dürfen, und den Faktor auch davorschreiben. Jetzt weiss ich aber nicht mehr recht weiter. Ich könnte natürlich die Klammer auflösen per binomischer Formel und hätte dann: $\begin{eqnarray} (\frac{1}{n-1}) \sum_{i=1}^n \mathbb{E} [(X_i)^2 - 2X_i\overline {X_n} +(\overline {X_n})^2] = (\frac{1}{n-1}) \sum_{i=1}^n (\mathbb{E}(X_i^2) - \mathbb{E}(2X_i\overline {X_n}) +\mathbb{E}(\overline {X_n^2})) \end{eqnarray}$ Das hilft mir aber nicht im geringsten, da ich die identische Verteilung so nicht ausnutzen kann. Das tolle an identischer Verteilung ist ja, dass $\begin{eqnarray} \mathbb{E}X_i \end{eqnarray}$ für alle i gleich ist. Aber durch die Quadrate und das Produkt in der Summe geht das alles kaputt, also komme ich so nicht weiter. (Die $\begin{eqnarray} X_i \end{eqnarray}$ sind ja nicht unabhängig zu sich selber, so dass ich das Quadrat nicht einfach auseinanderziehen kann. Ich wär dankbar wenn mir jemand nen Tip in die richtige Richtung geben könnte
01.07.2007, 20:51	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Varianz, Kovarianz etc.
01.07.2007, 23:22	DocHoliday	Auf diesen Beitrag antworten »
Allerbesten Dank, hat mir super weitergeholfen. Das Ergebnis ist Var(X1) oder?

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