Fourierreihe für f(x)=x^2

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CocaCola Auf diesen Beitrag antworten »
Fourierreihe für f(x)=x^2
Lerne noch zu dieser späten Stunde. Wollte einmal ne Fourieraufgabe rechnen, weiß aber nicht mehr genau wie das geht.

Deshalb erstmal hier die Aufgabe:

Es sei eine periodische Funktion mit



Stellen Sie die Fourierreihe zu f auf und zeigen Sie, dass diese gegen f konvergiert. Leiten Sie heraus die Identität her

Wegen ist diese Funktion gerade oder? Desweiteren ist f stetig auf [-pi,pi]

Also exestiert die Fourier Reihe



da ja sinus wegfällt, oder?

mit

stimmt das soweit?
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Fourierreihe für f(x)=x^2
Zitat:
Original von CocaCola
Wegen ist diese Funktion gerade oder?


Ja, sie ist gerade. Aber nicht deswegen!
CocaCola Auf diesen Beitrag antworten »

ja weil der grad 2 ist, ist sie gerade...oder?
sonstige rechnung richtig?
therisen Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Fourierreihe für f(x)=x^2
Zitat:
Original von CocaCola
Also exestiert die Fourier Reihe


Was heißt existiert? Ich sehe nirgends eine Konvergenzbetrachtung (gleichmäßig).

Sie ist gerade, weil (warum setzt du ein?).


Gruß, therisen
CocaCola Auf diesen Beitrag antworten »



okay quotietenkriterium



darf man das dann so machen?





damit stetig

was heisst denn gerade, wenn man es damit nicht zeigt?
ist es nicht syetrisch, da symetrisch?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zunächstmal ist eine Funktion genau dann gerade, wenn f(-x)=f(x) für alle x gilt. Das ist bei f(x)=x² zweifelsohne der Fall. Allerdings nicht, weil der Grad 2 ist (das wäre bei g(x)=x²+x auch der Fall), sondern weil eben für alle x f(-x)=f(x) gilt.

Jetzt zur Fourierreihe:
Zitat:
Original von CocaCola



Zitat:
Original von CocaCola


Also irgendwie beißt sich das. Es wäre eh geschickter, die Fourierreihe so zu schreiben:

und sich dann Gedanken über die Konvergenz zu machen. Dazu solltest du mal verraten, was du für a_k raus hast.

Zitat:
Original von CocaCola




Und was das soll, ist mir völlig rätselhaft. verwirrt
 
 
CocaCola Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von klarsoweit
...

Zitat:
Original von CocaCola




Und was das soll, ist mir völlig rätselhaft. verwirrt


es zeigt, dass die funktion bei 0 stetig ist.





soweit richtig?
sqrt(2) Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von CocaCola
es zeigt, dass die funktion bei 0 stetig ist.

Nein. Nicht mal ansatzweise.

Zitat:
Original von CocaCola




soweit richtig?

Du entwickelst die Fourierreihe über dem falschen Intervall.

Zitat:
Original von klarsoweit
dann Gedanken über die Konvergenz zu machen. Dazu solltest du mal verraten, was du für a_k raus hast.

Naja, nachzuweisen, dass f quadratintegrabel ist, ist ein Einzeiler und wesentlich einfacher als sich die Fourierreihe anzuschauen.
CocaCola Auf diesen Beitrag antworten »

ah okay danke. in meinem buch steht der algemeinfall für 0 bis 2 \pi

deshalb dachte ich, ich müsste es hier auch!

kommentar drangefügt!

kann ich nicht, weil es gerade ist

machen?
sqrt(2) Auf diesen Beitrag antworten »

Kannst du.
CocaCola Auf diesen Beitrag antworten »

mein derive sagt mit -4. ich sage was anderes







CocaCola Auf diesen Beitrag antworten »

fehler gefunden



so nochmal rechnen
Calvin Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast auch noch falsch integriert. Es ist
CocaCola Auf diesen Beitrag antworten »

und ich habe falsch abgeleitet. so viele fehler! Hammer

jedenfalls kommt herraus!

damit ist auch mein derive stark zu frieden und erfreut sich, dass ich mal richtig gerechnet habe!

ich fasse nochmal zusammen





für k=0 einsetzten. daraus ergibt sich





ist das jetzt meine FourierReihe und bin ich damit fertig?

Wenn ja: Jetzt muss ich noch zeigen, dass die Funktion gegen f konvergiert. Keine Ahnung wie das gegen soll
sqrt(2) Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von CocaCola
jedenfalls kommt herraus!

Ich bin für , und dein ist auch falsch.

Zitat:
Original von CocaCola
ist das jetzt meine FourierReihe und bin ich damit fertig?

Das ist deine Fourierreihe, aber die Aufgabe geht noch weiter.

Zitat:
Original von CocaCola
Jetzt muss ich noch zeigen, dass die Funktion gegen f konvergiert. Keine Ahnung wie das gegen soll

Jede quadratintegralbe Funktion (konvergent bezüglich der L2-Norm) hat eine Fourierreihe, die überall, wo f stetig ist, gleichmäßig gegen f konvergiert.
CocaCola Auf diesen Beitrag antworten »

für

zu überprüfen, ob die fourierreihe gegen f konvergiert.

dieses zeige ich indem ich ersteinmal die reihe abschätze

durch Majorantenkrieterium konvergiert die Reihe

Jetzt wende ich Satz von Feiger an



hmmmmmm
wenn ich das was einsetzte erhalte ich immer x^2 am ende. ich würde sagen, dass ist, da f stetig. also konvergiert gegen f.
sqrt(2) Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von CocaCola
für

OK.

Zitat:
Original von CocaCola
Jetzt wende ich Satz von Feiger an

http://www.google.de/search?q=%22satz+von+feiger%22
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von CocaCola
Jetzt wende ich Satz von Feiger an


LOL Hammer Lustig, was für Abschreibefehler passieren... Der Mann heißt Fejér Augenzwinkern
CocaCola Auf diesen Beitrag antworten »

vielen dank. habs eben korregiert. habe den satz selber niergendwo gefunden, deshalb konnte ich auch niergends nach dem namen suchen, da in meinem forster dazu nix steht. vielen dank

hab aber eben ein noch schöneren satz gefunden

Sei f:IR->IC periodisch und 2 mal stetig diffbar dann konvergiert die Fourier-Reihe absoult und gleichmäßig gegen f.

jetzt muss ich noch zeigen, dass

ist
sqrt(2) Auf diesen Beitrag antworten »

Ich sehe nicht, was der Satz von Fejér hier soll, und wie du ihn angewendet haben willst. Warum überprüfst du nicht einfach, ob die L2-Norm von f konvergiert?
sqrt(2) Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von CocaCola
ist

Naja, was dich z.B. an der jetztigen Fourierreihe im Vergleich dazu stören könnte, ist das . Da bietet sich doch geradezu an.
CocaCola Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von sqrt(2)
Ich sehe nicht, was der Satz von Fejér hier soll, und wie du ihn angewendet haben willst. Warum überprüfst du nicht einfach, ob die L2-Norm von f konvergiert?


das ist ja nix anderes als



das konvergiert immer noch...ich weiß nicht weiter...arghh
sqrt(2) Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von CocaCola
das ist ja nix anderes als


verwirrt Wie kommst du auf diese Idee? In diesem Fall ist

,

und dass das konvergiert, glaubt man dir...
CocaCola Auf diesen Beitrag antworten »

Nach welchem Satz oder Definition gehst du denn? Ich finde hier nix dazu in meinem Buch/Vorlesung/Internet!
sqrt(2) Auf diesen Beitrag antworten »

Kannst du sogar bei Wikipedia nachlesen...
CocaCola Auf diesen Beitrag antworten »

kannst du mir nen link schicken?
sqrt(2) Auf diesen Beitrag antworten »

Also ich hätte schon erwartet, dass du auf http://de.wikipedia.org/wiki/Fourierreihe selbst kommst...
CocaCola Auf diesen Beitrag antworten »

Hammer

also dann kommt da raus



verstehe aber nicht genau, warum das jetzt zeigt, dass etwas darüber aussagt, ob f* zu f konvergiert?
sqrt(2) Auf diesen Beitrag antworten »

Schau z.B. hier.
CocaCola Auf diesen Beitrag antworten »

ah okay, vielen dank. bleibt noch die frage der identität zu klären!
sqrt(2) Auf diesen Beitrag antworten »

Wo ich dir die Lösung im Prinzip schon gegeben habe.
CocaCola Auf diesen Beitrag antworten »

wenn x=pi bei meiner fourierreihe einsetzte steht dann da

dann soll



sein, oder?

wenn ich nicht weiß, was bei

herrauskommt, weiß ich das dann auch anders?
sqrt(2) Auf diesen Beitrag antworten »

Du kennst . (Konzentrier dich. Auf sowas kommst du auch problemlos selbst.)
CocaCola Auf diesen Beitrag antworten »

wald vor lauter bäumen nicht gesehn. häng die ganze zeit davor ab und rasste aus!

besten dank! trink cola nicht pepsi!
sqrt(2) Auf diesen Beitrag antworten »

Die enthalten beide nicht genug Koffein.
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