Konfidenzintervall für den Median

02.07.2007, 11:57

Zahlenschubser

Konfidenzintervall für den Median

Hallo zusammen!

Ich versuche ein Konfidenzintervall für den Median zu berechnen. Das einzige, was ich bisher gefunden habe ist, dass unter recht restriktiven Annahmen folgendes für ein 95%-Konfidenzintervall gilt: $\begin{eqnarray*} \tilde x\pm1,57\frac{IQR}{\sqrt{n}} \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} IQR \end{eqnarray*}$ die Interquartile Range ist. Leider habe ich nicht gefunden, was diese restriktiven Annahmen sind und vor allem nicht woher die Verteilung, welche überhaupt, stammt.

Mein Ziel ist es eigentlich nämlich ein einseitigen Test auf $\begin{eqnarray*} \tilde x>0 \end{eqnarray*}$ durchzuführen.

Wenn jemand dazu etwas hat, wäre ich sehr dankbar! smile

02.07.2007, 12:26

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Hmm, interessantes Problem. Ich würde im nichtparametrischen Fall versuchen, einen anderen Konfidenzintervallschätzer als $\begin{eqnarray*} \hat{X}\pm\ldots \end{eqnarray*}$ zu konstruieren, nämlich einen basierend direkt auf empirischen Quantilen:

Zur mathematischen Stichprobe $\begin{eqnarray*} (X_,\ldots,X_n) \end{eqnarray*}$ betrachte man die zugehörige aufsteigend geordnete Stichprobe $\begin{eqnarray*} (X_1^*,\ldots,X_n^*) \end{eqnarray*}$ . Dann gilt mit Verteilungsfunktion $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ der Grundgesamtheit:

$\begin{eqnarray*} P(X_m^* \leq t) = \sum_{k=m}^n \binom{n}{k}\cdot P(X_1\leq t,\ldots,X_k\leq t,X_{k+1}>t,\ldots,X_n>t) = \sum_{k=m}^n \binom{n}{k}\cdot (F(t))^k(1-F(t))^{n-k} \end{eqnarray*}$

Um es mal nicht zu verkomplizieren, nehme ich eine stetige VF $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ an, also mit Median der Verteilung $\begin{eqnarray*} \mu=F^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) \end{eqnarray*}$ . Es folgt

$\begin{eqnarray*} P(X_m^* \leq \mu) = \frac{1}{2^n}\sum_{k=m}^n \binom{n}{k}\qquad (*) \end{eqnarray*}$

Für festes $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ kann man jetzt das $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ gemäß $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2^n}\sum_{k=m}^n \binom{n}{k} \geq 1-\frac{\alpha}{2} \end{eqnarray*}$ bestimmen, und $\begin{eqnarray*} X_m^* \end{eqnarray*}$ dann als Schätzer für die untere Grenze des Konfidenzintervalls nehmen. Analog dann für die obere Grenze des Konfidenzintervalls.

EDIT: Wenn ich mir (*) nochmal so anschaue, geht es da bei den passenden Indizes um die Quantile der Verteilung $\begin{eqnarray*} B\left(n,\frac{1}{2}\right) \end{eqnarray*}$ . Für große $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ kann man daher wie üblich auch wieder zu Normalverteilungsapproximationen greifen usw.

02.07.2007, 17:54

Zahlenschubser

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Mal wieder sehr beeindruckend, Arthur!

Allerdings besteht dann bei mir das folgende Problem: Die Daten sind alle nicht-negativ (und schon alleine von daher schief verteilt), weswegen der Mittelwert ggf. nicht das beste Kriterium ist. Ich möchte aber trotzdem wissen, ob der "mittlere Wert" (grundsätzlich egal ob Mittelwert oder Median) signifikant von null verschieden ist. Da dein Test auf den empirischen Quantilen beruht, kann ich damit doch aber auch nur wieder ein empirischen Wert ermitteln und keinen, der über die Datenbasis hinausgeht. Wenn nun aber die Streuung (wie auch immer die korrekt für den Median zu definieren wäre) sehr groß ist, kann doch ein Median von zum Beispiel 0,1 doch insignifikant sein.

Ich denke mal, dass der parametrische Ansatz so fragwürdig ist, dass er sonst nirgendwo beschrieben wird. (Stammt aus der EViews-Hilfe ohne Angabe von Quellen und wird auch nur für Boxplots verwendet, sonst kommen irgendwelche anderen Tests für den Median zum Einsatz. Diese möchte ich jedoch nicht verwenden, weil ich einfach einen schnellen Wert gewinnen möchte, der sagt signifikant/nicht signifikant, am liebsten so einfach wie beim Mittelwert. smile

)

02.07.2007, 18:24

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Zitat:

Original von Zahlenschubser
Da dein Test auf den empirischen Quantilen beruht, kann ich damit doch aber auch nur wieder ein empirischen Wert ermitteln und keinen, der über die Datenbasis hinausgeht.

Das haben nichtparametrische Schätzungen, wie meine es ist, so an sich. Weitere Informationen über die Grundgesamtheit hast du ja nicht geliefert, und aus den Fingern saugen wollte ich mir diesbezüglich nichts. Augenzwinkern

02.07.2007, 20:02

Zahlenschubser

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Gut, der Punkt geht (wieder einmal) an dich. Nur hatte ich gehofft, dass es sowas wie den zentralen Grenzwertsatz auch für den Median gibt. Weil irgendwoher muss ja diese komische Formel mit der Interquartile Range kommen...

Aber einmal mehr der Beweis, dass zwischen Hoffen und Haben Welten liegen in der Statistik. smile

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