Drogenkonzentration im Blut

02.07.2007, 11:56

mecedes

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Drogenkonzentration im Blut

Hallo,

bräuchte da mal Hilfe zu einer Aufgabe.

Die Konzentration bestimmter Drogen im Blut (gemessen in Milligramm pro Liter) lässt sich in Abhängigkeit von der Zeit (gemessen in Stunden) gut durch Funktionen des Typs:

f(t) = $\begin{eqnarray*} c\cdot (e^{-at}- e^{-bt}) t\geq0 \end{eqnarray*}$

modellhaft darstellen. Dabei sind a,b, und c positive Konstanten, die vom Wirkstoff seiner Menge und der Verabreichungsform abhängen.

Wird z.B. einem Erwachsenen mit durchschnittlicher körperlicher Verfassung zum Zeitpunkt t=0 ein Zäpfchen mit 75 Milligramm verabreicht, so haben die Konstanten die folgenden Werte:

a=0,22 b=0,75 c=3,97

Frage: Nach welcher Zeit t erreicht die Konzentration ihr Maximum und wie groß ist die maximale Konzentration?

Also, unser Lehrer meinte, dass wir erstmal die obige Funktion ableiten sollen und dann erst a,b und c einsetzen.......da noch mehrere Aufgabenstellungen kommen, in der a,b und c andere Werte haben.

meine 1.Ableitung lautet:

$\begin{eqnarray*} abc\cdot (-e^{-at}+ e^{-bt}) \end{eqnarray*}$

ist die richtig?

Und dann die Werte für a.b und c einsetzen.....Und nun mein Problem....
rechne ich das jetzt alles aus, kommt bei mir 0 raus, was ja eigentlich nicht sein kann.
Wollte das erst über Substitution machen, aber das geht ja auch nicht.... verwirrt

verwirrt

Bin über jeden Vorschlag dankbar.

Gruß mecedes

02.07.2007, 12:02

Calvin

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RE: Drogenkonzentration im Blut
Die Ableitung ist nicht richtig. Du darfst $\begin{eqnarray*} ab \end{eqnarray*}$ nicht aus der Klammer rausnehmen.

02.07.2007, 12:03

AD

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Zitat:

Original von mecedes
meine 1.Ableitung lautet:

$\begin{eqnarray*} abc\cdot (-e^{-at}+ e^{-bt}) \end{eqnarray*}$

ist die richtig?

Nein, ist sie nicht. Was dann auch die folgenden Probleme erklärt.

Wie's ausschaut, hast du die bei der Kettenregel entstehenden innere Ableitungen beider Summanden (!!!) als Faktoren vor die Gesamtklammer gezogen. Das ist eine grobe Missachtung elementarer algebraischer Umformungsregeln...

EDIT: Doppelt hält besser, wie immer. Augenzwinkern

Augenzwinkern

02.07.2007, 12:39

mecedes

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ups.....eigentlich klar.....

dann nochmal:

$\begin{eqnarray*} c\cdot (-ae^{-at}+ be^{-bt}) \end{eqnarray*}$

und nun einsetzen:

$\begin{eqnarray*} 3,97\cdot (-0,22e^{-0,22t}+ 0,75e^{-0,75t})=0 \end{eqnarray*}$

jetzt teilen durch 3,97

$\begin{eqnarray*} -0,22e^{-0,22t}+ 0,75e^{-0,75t}=0 \end{eqnarray*}$

nun $\begin{eqnarray*} -0,22e^{-0,22t} \end{eqnarray*}$ auf die andere Seite........hoffentlich richtig bis hier.....

$\begin{eqnarray*} 0,75e^{-0,75t}=0,22e^{-0,22t} \end{eqnarray*}$

Und ab hier weiß ich nicht mehr weiter......

02.07.2007, 12:43

Calvin

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Bringe durch Teilen die Zahlen auf die eine Seite und die e-Funktionen auf die andere Seite.

Die e-Funktionen kannst du dann mit Potenzgesetzen zusammenfassen.

02.07.2007, 13:11

mecedes

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etwa so?

$\begin{eqnarray*} 0,75e^{-0,75t}=0,22e^{-0,22t}/:0,75 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} e^{-0,75t}=0,29e^{-0,22t}/:e^{-0,22t} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{e^{-0,75t}}{e^{-0,22t}}=0,29 \end{eqnarray*}$

Jetzt Potenzgesetz anwenden:

$\begin{eqnarray*} e^{-0,53t}=0,29 \end{eqnarray*}$

glaube, ich liege falsch.....

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02.07.2007, 13:13

Calvin

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Nein, du liegst nicht falsch. Es ist alles richtig. Jetzt "nur" noch nach t auflösen. Hast du eine Idee, wie das gehen könnte?

02.07.2007, 13:27

mecedes

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na supi....

über das logarithmieren?

$\begin{eqnarray*} e^{-0,53t}=0,29/ln \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -0,53t=ln0,29/:-0,53 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} t= \frac{ln0,29}{-0,53} \end{eqnarray*}$

t=2,33

anschließend 2,33 in die Ursprungsfunktion einsetzen und den y-Wert ausrechnen, der in diesem Beispiel die Konzentration angibt.

Also ist nach 2 Stunden und 33 Min. die maximale Konzentration erreicht.

02.07.2007, 13:30

Calvin

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Zitat:

Original von mecedes
Also ist nach 2 Stunden und 33 Min. die maximale Konzentration erreicht.

Lediglich diese Schlussfolgerung ist falsch. Bedenke, dass eine Stunde nur 60 Minuten hat. Also sind 0,33 Stunden nicht automatisch auch 33 Minuten.

02.07.2007, 13:37

mecedes

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Vielen Dank Calvin für die Hilfe.

Habe die Minuten nochmal ausgerechnet.....

Es sind demnach 2 Stunden und 19,8 Minuten....

03.07.2007, 15:07

mecedes

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Hallo, brauche nochmal eure Hilfe zu obiger Aufgabe.

Frage: Berechnen Sie allgemein das Integral und ermitteln Sie den Grenzwert $\begin{eqnarray*} \lim_{t \to \infty } I(t) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} I(t)= \int_{o}^{t}~c\cdot(e^{-ax} - e^{-bx})~dx \end{eqnarray*}$

Nächster Schritt wäre doch dieser, oder? Und weiter komme ich nicht.

$\begin{eqnarray*} c\cdot(-\frac{1}{a} e^{-ax} -\frac{1}{b} e^{-bx}) \end{eqnarray*}$

Vielen Dank für jede Hilfe.

Gruß mecedes

03.07.2007, 15:27

Calvin

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Ein Vorzeichenfehler ist drin. Richtig ist $\begin{eqnarray*} c\cdot(-\frac{1}{a} e^{-ax}+\frac{1}{b} e^{-bx}) \end{eqnarray*}$

Du hast jetzt eine Stammfunktion gefunden. Jetzt musst du noch die Integralgrenzen einsetzen, um das Integral in Abhängigkeit von t auszurechnen. Danach kannst du den Grenzwert bilden.

03.07.2007, 15:38

mecedes

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etwa so?

$\begin{eqnarray*} c\cdot(-\frac{1}{a} e^{-at} +\frac{1}{b} e^{-bt})- c\cdot(-\frac{1}{a} e^{-ao} +\frac{1}{b} e^{-bo}) \end{eqnarray*}$

Und was den Grenzwert angeht, setze ich da für t einfach eine 0 als Integralgrenze?

03.07.2007, 15:58

Calvin

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Das Einsetzen ist richtig. In der rechten Klammer kannst du noch ein bißchen vereinfachen.

Zitat:

Original von mecedes
Und was den Grenzwert angeht, setze ich da für t einfach eine 0 als Integralgrenze?

Warum das? verwirrt

verwirrt

Du hast jetzt $\begin{eqnarray*} I(t) = \int_0^t~c\left(e^{-ax}-e^{-bx}\right)\,\dx=c\cdot\left(-\frac{1}{a} e^{-at} +\frac{1}{b} e^{-bt}\right)- c\cdot\left(-\frac{1}{a} e^{-a0} +\frac{1}{b} e^{-b0}\right)=\ldots \end{eqnarray*}$

Ausrechnen sollst du $\begin{eqnarray*} \lim_{t\to\infty} I(t) \end{eqnarray*}$

Hilft dir das schon weiter?

03.07.2007, 17:41

mecedes

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Ich versuch es mal....

$\begin{eqnarray*} I(t)= \int_{o}^{t}~c\cdot(-\frac{1}{a} e^{-at} -\frac{1}{b} e^{-bt})- c\cdot(-\frac{1}{a} -\frac{1}{b}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{t \to \infty}c\cdot(-\frac{1}{a} e^{-at} -\frac{1}{b} e^{-bt})- c\cdot(-\frac{1}{a} -\frac{1}{b})=-c\cdot(-\frac{1}{a} -\frac{1}{b}) \end{eqnarray*}$

Sollte das wiedererwarten falsch sein, weiß ich leider auch nicht weiter.

Gruß mecedes

03.07.2007, 18:01

Calvin

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Das Integralzeichen ist zu viel und das Vorzeichen in der Klammer ist wieder falsch.

Ansonsten stimmen deine Überlegungen.

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