kgv, ggt, chinesischer restsatz

02.07.2007, 14:27

ExElNeT

kgv, ggt, chinesischer restsatz

Hi!

Ich versuche grade folgende aufgabe als klausurvorbereitung zu lösen. Aufgabe a) kann man leicht lösen mit dem kgv der drei. Das habe ich auch schnell erkannt :=) Nur bei aufgabe b) habe ich leider keine ahnung. ich denke es könnte etwas mit dem chinesischen restsatz zu tun haben, aber da bin ich nicht sicher. Gibt es denn kriterien an denen man erkennt wann man den ch. restsatz anwenden kann? es wäre schön wenn ich solche aufgaben erkennen könnte :=) bisher sehe ich es leider noch nicht traurig

mfg ExElNeT

hier ist die aufgabe:

http://img242.imageshack.us/img242/9138/chineseho6.png

02.07.2007, 15:32

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b) Einfach mal ansetzen:

$\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ ... Zeit (in Sekunden), wo Raman über die Linie fährt (dahinter: Axel, Steffi in der Reihenfolge) bis zum nächsten gemeinsamen Überqueren der Ziellinie aller drei Fahrer.

Dann kannst du drei Bedingungen aufstellen:

1.Raman fährt im Zeitraum $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ eine volle Rundenzahl:

$\begin{eqnarray*} t\equiv 0\mod 13 \end{eqnarray*}$

2.Axel fährt eine volle Rundenzahl plus 1 Sekunde (eher umgekehrt: erst die 1 Sekunde, die er hinter Raman ist, dann noch die volle Rundenzahl):

$\begin{eqnarray*} t\equiv 1\mod 11 \end{eqnarray*}$

3.Steffi: volle Rundenzahl plus 2 Sekunden:

$\begin{eqnarray*} t\equiv 2\mod 16 \end{eqnarray*}$

So, und dieses System von drei Kongruenzen kannst du gemäß chinesischem Restsatz auflösen.

02.07.2007, 16:12

ExElNeT

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ah vielen dank :=) jo das macht sinn mit 0,1,2 ... und mod von der rundenzeit :=)

hmm bei c) habe ich jetzt auch ein wenig überlegt... es gibt doch fuer alle zahlen ein kgv. im schlimmsten fall halt alle mulipliziert. somit fährt er doch mit jedem einmal über die ziellinie oder? oder vergesse ich dabei die 3 sekunden verzögerung?

oder man könnte sagen das (10s)-3 + t16 = 1 sein muss ... das wäre der zeitpunkt an dem sie gleichzeitig über das ziel fahren. s wäre michaels rundenanzahl und t steffis. aber wie rechne ich das aus?

oder sind meine ideen ganz vorbei?

02.07.2007, 16:36

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Zitat:

Original von ExElNeT
oder man könnte sagen das (10s)-3 + t16 = 1 sein muss ... das wäre der zeitpunkt an dem sie gleichzeitig über das ziel fahren. s wäre michaels rundenanzahl und t steffis. aber wie rechne ich das aus?

Nein, mit diesen Bedeutungen von $\begin{eqnarray*} s,t \end{eqnarray*}$ lautet der Ansatz so: Von Steffis Start an vergehen genau

$\begin{eqnarray*} 16t = 10s+3\qquad (*) \end{eqnarray*}$

Sekunden, denn in der Zeit absolviert Michael nicht nur seine $\begin{eqnarray*} s \end{eqnarray*}$ Runden, sondern auch die 3 Sekunden Verzögerung seines Starts gegenüber dem von Steffi.

Tja, und jetzt die Suggestivfrage: Ist (*) in ganzen Zahlen $\begin{eqnarray*} s,t \end{eqnarray*}$ lösbar?

Du scheinst arge Probleme zu haben, vom Sachverhalt erstmal auf die passenden Gleichungen zu kommen. Aber das ist das Entscheidende heutzutage, die Sachen, wo wir Menschen dem Kollegen Computer noch voraus sind (bzw. sein sollten). Ich hab jedenfalls keine Ahnung, wie du auf (10s)-3 + t16 = 1 gekommen bist...

02.07.2007, 16:48

ExElNeT

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Ich habe nur mit dem ggt rumprobiert ... wirklich sinnvoll war es nicht das ist mir jetzt auch aufgefallen :=) allerdings denke ich habe ich jetzt eine gute idee für eine begründung:

es muss doch gelten:

t = 3 mod 10
t = 0 mod 16

ich suche ja die rundenanzahl wann steffi und michael gleihczeitig über die zielinie kommen. und das sind eben vielfache von 10 wobei immer 1mal 3sekunden startverzögerung übrig bleiben und vielfache von 16.

ist das soweit korrekt?

wie du angesprochen hattes ist (*) nicht mit ganzen zahlen lösbar. :=)

mfg und danke

Edit: Oben muss natürlich sein: t = mod ggt(10,16); t = 0 mod ggt(10,16) und daher 3 = 0 mod 2 und das gilt nicht.

11.07.2007, 16:32

kkkk

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c) machste mit diophantischer Gleichung:

13x-10y=3
16x-10y=3
11x-10y=3

schauen bei welcher es klappt

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