Riemann-Ingrierbar - Unstetigkeitsstellen

02.07.2007, 20:23

beuteltier

Riemann-Ingrierbar - Unstetigkeitsstellen

hallo
ich versuche gerade zu verstehen, wann eine funktion Riemann-integrierbar ist. auf der englischen wikipedia steht (unter Riemann Integral):
"A real-valued function f on [a,b] is Riemann-integrable if and only if it is bounded and continuous almost everywhere."
also f Riemann-integrierbar <=> f beschränkt und fast überall stetig
bei dem begriff "fast überall" weiss ich nicht genau was das heisst. sind das nur endlich viele oder auch abzählbar unendlich viele? in wikipedia verweist es auf das lebesgue-maß und sagt, das maß wäre 0, wenn es abzählbar unendlich viele stellen sind.

in der vorlesung hiess es f Riemann-integrierbar <=> f beschränkt und f in allen punkten bis auf eine nullmenge stetig.
nullmenge hatten wir nur als jordan-nullmenge, also eine menge, die sich mit endlich vielen beliebig kleinen achsenparallelen quadern überdecken lässt.
das wären - wenn ich das richtig verstehe - aber nur endlich viele punkte, oder?

klärt mich bitte auf verwirrt

02.07.2007, 20:36

therisen

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RE: Riemann-Ingrierbar - Unstetigkeitsstellen

Zitat:

Original von beuteltier
"A real-valued function f on [a,b] is Riemann-integrable if and only if it is bounded and continuous almost everywhere."

...bis auf eine abzählbar unendliche Ausnahmemenge (vgl. Königsberger, Analysis 1).

02.07.2007, 23:02

Tomtomtomtom

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Das stimmt so nicht, die Funktion die 1 ist in allen irrationalen Zahlen und 0 in den rationalen Zahlen ist nicht Riemann-Integrierbar! (aber Lebesgue-integrierbar). Nichtsdestotrotz ist die Menge der rationalen Zahlen eine Menge vom Lebesgue-Maß 0 und auch abzählbar unendlich.

Für Riemann-Integrierbarkeit muß die Ausnahmemenge eine Lebesguesche Nullmenge sein, was zwar fast genauso wie Menge vom Lebesgue-Maß 0 klingt, aber doch etwas anderes ist. Grob gesagt muß man sie mit einer Folge von Intervallen überdecken können, deren Gesamtlänge gegen 0 geht. Das geht bei allen rationalen Zahlen nciht.

Edit: Ok, das mit den Intervallen steht schon oben.

02.07.2007, 23:29

Gustav

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Zitat:

Original von Tomtomtomtom
Das stimmt so nicht, die Funktion die 1 ist in allen irrationalen Zahlen und 0 in den rationalen Zahlen ist nicht Riemann-Integrierbar! (aber Lebesgue-integrierbar). Nichtsdestotrotz ist die Menge der rationalen Zahlen eine Menge vom Lebesgue-Maß 0 und auch abzählbar unendlich.

Für Riemann-Integrierbarkeit muß die Ausnahmemenge eine Lebesguesche Nullmenge sein, was zwar fast genauso wie Menge vom Lebesgue-Maß 0 klingt, aber doch etwas anderes ist. Grob gesagt muß man sie mit einer Folge von Intervallen überdecken können, deren Gesamtlänge gegen 0 geht. Das geht bei allen rationalen Zahlen nciht.

Edit: Ok, das mit den Intervallen steht schon oben.

Das ist fast alles Unsinn!
Die von dir genannte Funktion ist in jedem Punkt unstetig!
Eine Lebesguesche Nullmenge ist eine Menge mit Lebesgue-Maß 0, die rationalen Zahlen sind eine Lebesguesche Nullmenge!
Eine beschränkte Funktion f ist in der Tat genau dann R-integrierbar, wenn sie fast überall stetig ist. (Lebesguesche Integrabilitätskriterium)

Eine messbare Funktion ist L-integrierbar über $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ genau dann, wenn $\begin{eqnarray*} \int_{\Omega} |f| d\lambda < \infty \end{eqnarray*}$

02.07.2007, 23:30

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Zitat:

Original von Tomtomtomtom
Für Riemann-Integrierbarkeit muß die Ausnahmemenge eine Lebesguesche Nullmenge sein, was zwar fast genauso wie Menge vom Lebesgue-Maß 0 klingt, aber doch etwas anderes ist.

Merkwürdige Definition... So wie ich es kenne, ist ein Lebesguesche Nullmenge dasselbe wie eine Menge vom Lebesgue-Maß Null; und da das Lebesgue-Maß die Vervollständigung des Borel-Maßes $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ ist, kann man es auch so ausdrücken:

$\begin{eqnarray*} M\; \mbox{Lebesguesche Nullmenge}\quad \Longleftrightarrow\quad \exists N\in\mathbb{B}: M\subseteq N \;\wedge\; \lambda(N)=0 \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von Tomtomtomtom
Grob gesagt muß man sie mit einer Folge von Intervallen überdecken können, deren Gesamtlänge gegen 0 geht. Das geht bei allen rationalen Zahlen nciht.

Kannst du das etwas näher ausführen? Die rationalen Zahlen kann man jedenfalls mit einer Vereinigung offener Intervalle beliebig kleinen positiven Maßes überdecken:

Sei $\begin{eqnarray*} r_1,r_2,\ldots \end{eqnarray*}$ die Folge der rationalen Zahlen. Dann ist

$\begin{eqnarray*} A_{\varepsilon} := \bigcup\limits_{k=1}^{\infty} \left(r_k-\varepsilon\cdot 2^{-k-1},r_k+\varepsilon\cdot 2^{-k-1} \right) \end{eqnarray*}$

eine solche offene Überdeckung mit der Eigenschaft $\begin{eqnarray*} \lambda\left( A_{\varepsilon} \right) \leq \varepsilon \end{eqnarray*}$ . smile

Es sei denn, du meinst Überdeckungen mit endlich vielen Intervallen - das ist dann natürlich was anderes. Augenzwinkern

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