Jacobi-Matrix: Produktregel für Skalarprodukt

02.07.2007, 21:05	Sila85	Auf diesen Beitrag antworten »
Jacobi-Matrix: Produktregel für Skalarprodukt wie kann ich denn die Produktregel für das skalarprodukt einer Jacobi-Matrix beweisen. Also ich kenne zwar die Definition usw jedoch habe ich Schwierigkeiten mit dem Ansatz: $\begin{eqnarray} J_{v^{T}w}(x)=v(x)^{T}J_{w}(x)+w(x)^{T}J_{v}(x) \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} x \in \mathbb R ^{n} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} v(x),w(x) \in \mathbb R^{m} \end{eqnarray}$ wäre sehr nett wenn ihr wenigstens den Ansatz verraten würdet! gruß sila
03.07.2007, 12:02	Divergenz	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Jacobi-Matrix: Produktregel für Skalarprodukt Hallo, überleg dir einfach, wie sich die Komponenten bilden! So ist doch $\begin{eqnarray} (J_u)_{ij}:=\partial_j u_i. \end{eqnarray}$ Weiter weißt du $\begin{eqnarray} v^Tw=\sum_{k=1}^mv_kw_k. \end{eqnarray}$ Okay, nun setz doch einfach mal ein und analysiere die erhaltenen Ergebnisse für die Komponenten, dann bekommst du auch das Gesamtergebnis!
03.07.2007, 17:26	Sila85	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Jacobi-Matrix: Produktregel für Skalarprodukt wenn ich die matrix ausschreibe, sieht das dann so aus: $\begin{eqnarray} J_{v^Tw}(x)=\begin{pmatrix} \frac{d(v_1w_1)}{dx_1} & ... & \frac{d(v_1w_1)}{dx_n} \\ ... & ... & ...\\ \frac{d(v_mw_m)}{dx_1} & ... & \frac{d(v_mw_m)}{dx_n} \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ anschließend einfache produktregel für jede komponente und dann entsprechend ausklammern...???
04.07.2007, 19:25	Divergenz	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Jacobi-Matrix: Produktregel für Skalarprodukt Deine Jacobimatrix stimmt so nicht, schließlich ist das Ergebnis eines Skalarproduktes eine Skalar und kein Vektor! Du hast $\begin{eqnarray} J_{v^Tw}=(v^Tw)'=(\partial_1v^Tw,...,\partial_nv^Tw) \end{eqnarray}$ . Jetzt noch die partiellen Ableitungen mit Hilfe der Produktregel bilden und die Summen als Matrixprodukte lesen.

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