Konfidenzintervall

02.07.2007, 21:43	Gustav	Auf diesen Beitrag antworten »
Konfidenzintervall Seien $\begin{eqnarray} X_i \sim N(\mu, \sigma^2) \end{eqnarray}$ i.i.d. für $\begin{eqnarray} i = 1,...,n \end{eqnarray}$ . Wie soll man $\begin{eqnarray} \alpha_1, \alpha_2 \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \alpha_1+ \alpha_2 = \alpha \in (0,1) \end{eqnarray}$ wählen, so dass die Länge des Konfidenzintervalls $\begin{eqnarray} (\overline {X_n} - z_{1-\alpha_1}\frac{\sigma}{\sqrt{n}},\overline {X_n} + z_{1-\alpha_2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}) \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} \mu \end{eqnarray}$ zum Niveau $\begin{eqnarray} \gamma \end{eqnarray}$ minimal ist? Meine Vermutung ist $\begin{eqnarray} \alpha_1 = \alpha_2 = \frac{\alpha}{2} \end{eqnarray}$ (aus Symmetriegründen). Hat jemand eine Idee für einen Beweis?
03.07.2007, 10:37	Zahlenschubser	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konfidenzintervall Was ist $\begin{eqnarray} \gamma \end{eqnarray}$ in deiner Definition? Auf jeden Fall wäre $\begin{eqnarray} \frac{\alpha}{2} \end{eqnarray}$ die klassische Definition eines Konfidenzintervalls.
03.07.2007, 15:18	Gustav	Auf diesen Beitrag antworten »
Bei war es üblich $\begin{eqnarray} \gamma = 1 - \alpha \end{eqnarray}$ zu setzen.
03.07.2007, 20:57	Zahlenschubser	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielleicht vorab eine intuitive Lösung. Da definitionsgemäß Normalverteilung von $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ vorliegt, ist auch $\begin{eqnarray} \bar X \end{eqnarray}$ normalverteilt und der empirische Mittelwert ist erwartungstreu. Das heißt, du bildest den empirischen Mittelwert, berechnest seinen Standardfehler und kannst damit seine Verteilung zeichnen. Der Mittelwert ist nun der (Uni-)Modus seiner eigenen Verteilung. Dann ist es deine Aufgabe "rechts und links" neben dem Mittelwert in möglichst kleinen Schritten soviel Verteilungsmasse wie möglich zu "verbrauchen". Nehmen wir der Einfachheit halber an, wir hätten eine diskrete Verteilung. Dann wäre es logisch zuerst rechts (ohne damit eine politische Aussage verknüpfen zu wollen!) "ein Stückchen" wegzunehmen, dann links, wieder rechts, wieder links und so weiter. Damit entsteht ein symmetrisches Konfidenzintervall und die Lösung ist $\begin{eqnarray} \alpha/2 \end{eqnarray}$ . Symmetrie ist aber hier nur die Lösung, weil auch die Stichprobenmittelwertverteilung symmetrisch ist! I. A. braucht ein Konfidenzintervall nicht zwangsläufig symmetrisch zu sein - teilweise geht das ja auch gar nicht, zum Beispiel bei diskreten Verteilungen oder nur auf den positiven reelen Zahlen definierten Verteilungen oder wenn Datentransformationen vorliegen und so weiter. Ich hoffe, die Anschauung ist klar? Wenn nicht, mal dir mal ein Bild der Verteilung, dann siehst du ganz schnell, was ich meine. Jetzt aber zur mathematischen Lösung. Bisher nur ein Ansatz, ich habe es noch nicht zu Ende gerechnet. Im Prinzip basiert es auf demselben "Grenzkalkül" wie die obige Lösung. Bilde doch erstmal die Länge des Konfidenzintervalls ab. Dann erhältst du: $\begin{eqnarray} \bar X+z_{1-\alpha_2}\cdot\sigma_{\bar X}-(\bar X-z_{1-\alpha_1}\cdot\sigma_{\bar X})=\sigma_{\bar X}\cdot(z_{1-\alpha_1}+z_{1-\alpha_2})=\sigma_{\bar X}\cdot(z_{1-\alpha_1}+z_{1-\alpha+\alpha_1}) \end{eqnarray}$ für gegebenes $\begin{eqnarray} \alpha=\alpha_1+\alpha_2 \end{eqnarray}$ . Dieser Ausdruck hängt nur von $\begin{eqnarray} \alpha_1 \end{eqnarray}$ ab und sollte sich durch Differentation (?) zu $\begin{eqnarray} \alpha_1=\alpha/2 \end{eqnarray}$ auflösen lassen.
03.07.2007, 21:19	Gustav	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke, mit der Lagrange-Multiplikatoren Regel war es machbar.

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »