Integralrechnung Ergebnis korrekt?

02.07.2007, 23:03

Spraygun

Auf diesen Beitrag antworten »

Integralrechnung Ergebnis korrekt?

Bin nun in meiner Ich-bringe-mir-Dinge-bei Phase bei der Integralrechnung angekommen.

Normale Funktionen kann ich integrieren aber wollte nun doch mal überprüfen ob diese gebrochen rationale Funktion korrekt Integriert ist.

$\begin{eqnarray*} \int~\frac{3x+3}{x+2}~dx \end{eqnarray*}$

=

$\begin{eqnarray*} \int~\frac{\frac{1}{2}*3x^{2}+3x}{\frac{1}{2}x^{2}+2x}~dx \end{eqnarray*}$

=

$\begin{eqnarray*} F(x)\frac{1,5x^{2}+3x}{\frac{1}{2}x^{2}+2x} \end{eqnarray*}$

02.07.2007, 23:04

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Integralrechnung Ergebnis korrekt?
Stichwort "Quotientenregel"

02.07.2007, 23:24

Spraygun

Auf diesen Beitrag antworten »

hui, dass sagt mir leider grad gar nichts, damit leite ich doch ab und Integriere nicht oder?

Habe mir das mit dem Integrieren grade auf einer Seite durchgelesen, doch da wurde das nur mit ganzrationalen Funktionen erklärt, und die Regel hab ich einfach übersetzt, vermutlich eine Todsünde Gott

Gott

Also muss ich die Funktion erst in die standartform der Quotientenregel bringen ?

02.07.2007, 23:33

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

Oh man, da hatte ich wohl meine Brille nicht auf. Sorry. Natürlich gehört die Quotientenregel zu den Ableitungen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Dennoch kannst Du hier nicht einfach Nenner und Zähler getrennt integrieren. Eine Möglichkeit:

$\begin{eqnarray*} \int~\frac{3x+3}{x+2}~dx &&= \int~(3-\frac{3}{x+2})~dx \\&& = \int 3~dx -3 \int \frac{1}{x+2}~dx \end{eqnarray*}$

Damit solltest Du weiter kommen, wenn du die Stannfunktion von 1/x kennst.

02.07.2007, 23:48

Spraygun

Auf diesen Beitrag antworten »

Hm da steig ich nun gar nicht mehr durch.
Wo ist den das x aus dem Zähler geblieben ?
Vielleicht sollte ich mich morgen nocheinmal damit beschäftigen smile

smile

Is auch nur ein Ehrgeiz-Projekt, da ich spontan am Donnerstag ein Referat über gebrochen Rationale Funktionen halten will. Die haben wir noch nicht wirklich behandelt. Aber ich wollt das Referat machen + Integral kram der erst nächstes Jahr dran kommt um mir meine gerechtverdiente und zu unrecht genommene 2 wiederzubekommen.
Vielleciht reicht es da auch schon wenn ich nur die ganzrationalen Integrieren kann.

Auf jedenfall Danke

02.07.2007, 23:57

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

Der Zwischenschritt nennt sich Polynomdivision.

$\begin{eqnarray*} (3x+3): (x+2) = 3 - \frac{3}{x+2} \end{eqnarray*}$

Probe:

$\begin{eqnarray*} (x+2) \cdot (3 - \frac{3}{x+2}) = 3x+6 - 3 = 3x + 3 \end{eqnarray*}$

Das x ist also nicht einfach Weg. Das es so aus sieht liegt nur an den konkreten Zahlen hier. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Anzeige

03.07.2007, 00:04

Spraygun

Auf diesen Beitrag antworten »

Achso !

Ja schade die Polynomdivision haben wir wegen dem neuen Supertaschenrechner übersprungen.

Wie das in diesem konkreten Fall mit dem Rechner zu lösen ist steht in den Sternen smile

smile

Technik!

03.07.2007, 06:15

Airblader

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von tigerbine
Damit solltest Du weiter kommen, wenn du die Stannfunktion von 1/x kennst.

Sollte man dazu nicht etwas spezieller die Regel

$\begin{eqnarray*} \int~\frac{f'(x)}{f(x)}~\dd x = \ln(|f(x)|) + C \end{eqnarray*}$

kennen, statt "nur" Die Stammfkt. von 1/x (die halt ein spezieller Fall davon ist)? smile

smile

air
(Danke @kiste, Betragsstriche hinzugefügt)

03.07.2007, 10:14

tmo

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Spraygun
Achso !

Ja schade die Polynomdivision haben wir wegen dem neuen Supertaschenrechner übersprungen.

Wie das in diesem konkreten Fall mit dem Rechner zu lösen ist steht in den Sternen smile

smile

Technik!

du brauchst dazu auch keine polynomdivision

$\begin{eqnarray*} \frac{3x+3}{x+2} = \frac{3x+6-3}{x+2} = \frac{3(x+2)-3}{x+2} = 3 - \frac{3}{x+2} \end{eqnarray*}$

manchmal ist in mathe ein bisschen kreativität gefragt smile

smile

03.07.2007, 11:21

kiste

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Airblader
Sollte man dazu nicht etwas spezieller die Regel

$\begin{eqnarray*} \int~\frac{f'(x)}{f(x)}~\dd x = \ln(f(x)) + C \end{eqnarray*}$

kennen, statt "nur" Die Stammfkt. von 1/x (die halt ein spezieller Fall davon ist)? smile

smile

Deine Regel wird, mal davon abgesehen das da Betragsstriche fehlen, natürlich nicht mit dem Integral von 1/x und der Substitutionsregel hergeleitet Augenzwinkern

Augenzwinkern

03.07.2007, 13:37

Airblader

Auf diesen Beitrag antworten »

Hups, Betragsstriche vergessen *schäm*

Von Subst. rede ich auch nicht. Auch nicht, dass es von 1/x hergeleitet wird. Ich meinte ja nur, dass 1/x ein spezieller Fall für diese Regel ist smile

smile

Ich meinte das nur, weil du für $\begin{eqnarray*} \int~\frac{1}{x+2}~\dd x \end{eqnarray*}$ meintest, dass man die Stammfkt. von 1/x kennen sollte. Imho reicht das nicht, denn hier steht ja noch das "+2" dran. Darum meinte ich, ob die "allgemeinere" Version dafür nicht eher bekannt sein sollte smile

smile

air

03.07.2007, 13:46

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich dachte mit das so. Man wird wohl als erstes die Regel zu 1/x kennen lernen und dann die allgemeine. Wenn man diese kennt ist natürlich noch eine Transferleistung nötig. Und in einer

Zitat:

Ich-bringe-mir-Dinge-bei Phase

sollte man zum Nachdenken angeregt werden. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Und da rede ich erstmal von Substitution.

03.07.2007, 14:21

Airblader

Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, das mag wahr sein Augenzwinkern

Augenzwinkern

air

03.07.2007, 16:02

Spraygun

Auf diesen Beitrag antworten »

Okay ich denke ich fange an zu verstehen.

So wie ich das sehe, muss man probieren das was im Nenner steht im Zähler in klammern stehen zu haben.

Da Brüche nun absolut nicht meine stärke sind frage ich mal ganz blöd nach warum
$\begin{eqnarray*} \frac{3(x+2)-3}{x+2} \end{eqnarray*}$

=

$\begin{eqnarray*} 3- \frac{3}{x+2} \end{eqnarray*}$

ist.

Die allgemeine Funktion hat mir übrigens sehr weiter geholfen, Danke smile

smile

Habe mittlerweile auch herausgefunden wie man sowas in den TR eintippt aber ich denke das System zu verstehen ist besser als zu wissen wie man es in den TR tippt.

03.07.2007, 16:13

Lazarus

Auf diesen Beitrag antworten »

Es gilt für jeden Bruch $\begin{eqnarray*} \frac{a+b}{c}=\frac{a}{c}+\frac{b}{c} \end{eqnarray*}$

Distributivgesetz, 6te Klasse glaub ich war das.

$\begin{eqnarray*} \left(a+b\right)\cdot d = ad+bd \end{eqnarray*}$ kennst du ja vermutlich.
Setz da einfach mit $\begin{eqnarray*} d:=c^{-1} \end{eqnarray*}$ an und schon erhälts du die hier vorliegende Form.

03.07.2007, 17:01

Spraygun

Auf diesen Beitrag antworten »

Nun gut nachdem ich nun auch mein SEK I wissen aufgefrischt bekommen hab komme zu
dem was Tigerbine gestern schon gepostet hat

$\begin{eqnarray*} \int~3~dx-3 \int~\frac{1}{x+2}~dx \end{eqnarray*}$
Ich schätze mal, die erste 3 ist die, die mal vor der Klammer stand und die -3 ist die aus dem nenner. Gehört das ganze als eine rechnung zusammen?
Die Stammfunktion von 1/x ist

$\begin{eqnarray*} \int~ln \mid x\mid \end{eqnarray*}$

Da aber x+2 im nenner steht denke ich ist es

$\begin{eqnarray*} \int~ln \mid x+2\mid \end{eqnarray*}$

wie bekomme ich nun noch das C heraus und wie rechnet man die Funktion die Tigerbine aufgeschrieben hat.

Wäre es dann
$\begin{eqnarray*} 3x-3 \int~ln \mid x+2\mid \end{eqnarray*}$

Edit: Name korrigiert smile

smile

03.07.2007, 17:03

tmo

Auf diesen Beitrag antworten »

wenn du keine genaure aufgabenstellung bekommen hast, musst du c nicht irgendwie besonders bestimmen.

es ist einfach irgendeine Konstante aus R.

03.07.2007, 17:04

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

böse

..bine, ich heiße tigerbine böse

böse

Dss C bekommt Du nur mit dem unbestimmten $\begin{eqnarray*} \int \end{eqnarray*}$ gar nicht heraus. Augenzwinkern

Augenzwinkern

03.07.2007, 17:05

Spraygun

Auf diesen Beitrag antworten »

Oh gott entschuldige bitte geschockt

geschockt

Ich hoffe du kannst mir das nochmal verzeihen smile

smile

03.07.2007, 17:08

Lazarus

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Spraygun
[...]

$\begin{eqnarray*} \int~3~dx-3 \int~\frac{1}{x+2}~dx \end{eqnarray*}$
Ich schätze mal, die erste 3 ist die, die mal vor der Klammer stand und die -3 ist die aus dem nenner. Gehört das ganze als eine rechnung zusammen?[...]

ja das stimmt soweit, aber was gehört als eine Rechung zusammen ?

03.07.2007, 17:09

Spraygun

Auf diesen Beitrag antworten »

Ungeschickt ausgedrückt, meine Frage ist wie drücke ich das nun vernünftig aus bzw. Rechne nun damit ?

03.07.2007, 17:11

Lazarus

Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast es doch fast schon richtig gemacht:

$\begin{eqnarray*} \int~\frac{1}{x+2}~\dd x=\ln\left|x+2\right| \end{eqnarray*}$
und $\begin{eqnarray*} \int~3~\dd x \end{eqnarray*}$ sollte ja ned so schwer sein.

Das dann zusammen und fertig.

03.07.2007, 17:14

Spraygun

Auf diesen Beitrag antworten »

Dann würde
$\begin{eqnarray*} ln \mid x+2 \mid +3x \end{eqnarray*}$
herauskommen, aber wo bleibt denn die -3 bei der ganzen sache ?

EDIT: Ah es kommt davor
$\begin{eqnarray*} 3* ln \mid x+2 \mid +3x \end{eqnarray*}$

03.07.2007, 17:23

Lazarus

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} \int~\frac{1}{x+2}~\dd x=\ln\left|x+2\right| \end{eqnarray*}$

und darasu folgt:
$\begin{eqnarray*} 3\int~\frac{1}{x+2}~\dd x=3\ln\left|x+2\right| \end{eqnarray*}$

Muss ich dir wirklich alles vorkauen ?

03.07.2007, 21:09

Airblader

Auf diesen Beitrag antworten »

Und vllt tigerbines Vorschlag:
Ignoriere die von mir gepostete allg. Formel und versuche

$\begin{eqnarray*} \int~\frac{1}{x+2}~\dd x \end{eqnarray*}$ nur mit Hilfe der Regel $\begin{eqnarray*} \int~\frac{1}{x}~\dd x = \ln(|x|) + C \end{eqnarray*}$ zu bestimmen (mittels Subst.)

Ist garnicht so schwer... smile

smile

air

03.07.2007, 21:40

Spraygun

Auf diesen Beitrag antworten »

Da würde ich halt $\begin{eqnarray*} y= x+2 \end{eqnarray*}$ machen und dann käme
$\begin{eqnarray*} \int~\frac {1} {y} dx = ln( \mid y \mid ) +C \end{eqnarray*}$

Muss ich eigentlich bei jeder ungebrochen rationalen Funktion so vorgehen oder gibt es da noch andere vorgehensweisen?

03.07.2007, 22:08

Airblader

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} \int~\frac{1}{y}~\dd x = \frac{x}{y} + C \end{eqnarray*}$

Denn deine Subst. ist nicht komplett richtig. Aber du hast wohl nur "dx" anstatt "dy" geschrieben Augenzwinkern

Augenzwinkern

Sonst stimmts. Aber Rücksubst. nicht vergessen.

air

03.07.2007, 22:43

Spraygun

Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank erstmal an alle die mir geholfen haben!

Ich hoffe ich strapaiere nun niemandes Geduld über aber ich habe mir nun einmal folgende funktion erdacht.

$\begin{eqnarray*} \frac {6x+10} {3x+2} \end{eqnarray*}$
=
$\begin{eqnarray*} \frac {2(3x+2)+6} {3x+2} \end{eqnarray*}$
=
$\begin{eqnarray*} 2+ \frac {6} {3x+2} \end{eqnarray*}$
=
$\begin{eqnarray*} \int~2~dx~6 \int~\frac {1}{3x+2}~dx=6*ln(\mid 3x+2 \mid)+2x \end{eqnarray*}$

04.07.2007, 06:22

Airblader

Auf diesen Beitrag antworten »

Damit hattest du hier kein Glück.
Bedenke, dass wenn du meine gepostete Regel verwendest, im Zähler die Ableitung d. Termes des Nenner stehen muss.
Wie lautet denn die Ableitung im Nenner (im zweiten Teil)?
Kannst du dann nicht vllt. einen schlaueren Schritt machen, wenn du die 6 im Zähler vor das Integral ziehen willst? smile

smile

Dass wir uns einig sind, wo wir uns befinden, betrachte diese Tips an dieser Stelle (hab auch einen formalen Fehler korrigiert)

$\begin{eqnarray*} \int~2~\dd x + \int~\frac{6}{3x+2}~\dd x \end{eqnarray*}$

Das erste Integral hast du ja korrekt gelöst smile

smile

Aber beim zweiten - siehe oben

air

04.07.2007, 22:30

Spraygun

Auf diesen Beitrag antworten »

Die Ableitung des Nenners wäre 3
Und ich weiß, dass das Ergebnis der Aufgabe
$\begin{eqnarray*} 2*ln(\mid 3x+2 \mid) +2x \end{eqnarray*}$
ist.
Da 6 = 2*3 ist kann ich mir schon denken wie das Ergebnis zustande kommt, doch ich kann ja nicht einfach den zähler durch die Ableitung ersetzen oder nur den Zähler durch die Ableitung des Nenners teilen. Vermutlich ist das auch wieder ganz simpel aber ich komm einfach nich drauf smile

smile

Kaum gepostet kam mir die Idee
Kann es sein, dass ich es quasi folgendermaßen habe.

$\begin{eqnarray*} \int~\frac {2*3} {3x+2} \end{eqnarray*}$

Weil 2 * f'(x) = 6

04.07.2007, 22:32

Airblader

Auf diesen Beitrag antworten »

Na, in deiner "falschen Variante" hast du doch die 6 aus dem Zähler vors Integral gezogen. Nun willst du aber, dass dort keine 1, sondern eine 3 stehen bleibt, denn dann hättest du die Ableitung d. nenners im Zähler - und das wäre toll.

Nun versuch doch mal nicht eine 6 vors Integral zu ziehen, sondern eine geeignete Zahl, damit du eine 3 im Zähler stehen hast. Was musst du also aus der 6 "rausziehen"? Augenzwinkern

Augenzwinkern

(Am Ergebnis sieht mans ja eig. auch smile

smile

)

air
Edit2: Ich geh nun zu Bett. Aber ich bin mir sicher, dass du nun weißt, was zu tun ist Augenzwinkern

Augenzwinkern

04.07.2007, 22:38

Spraygun

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja danke ich hab es schon.

Habe meinen Beitrag ja nocheinmal editiert und eine idee hingeschrieben, die so richtig ist denke ich, hab nich damit gerechnet, dass du so schnell beim antworten bist.

Vielen Dank smile

smile

05.07.2007, 06:11

Airblader

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, jetzt stimmt die Methode Augenzwinkern

Augenzwinkern

Dann die 2 vors Integral und du kannst integrieren smile

smile

air

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »