stetigkeit der wurzelfunktion

27.01.2005, 17:38

sunshine111

stetigkeit der wurzelfunktion

Hallo zusammen.

das letzte übungsblatt vor meiner klausur bereitet mir (jetzt noch ;-)) große schwierigkeiten...

unter anderem ist die frage nach der stetigkeit von $\begin{eqnarray*} \sqrt{x} \end{eqnarray*}$ für x=o und für x>0

zuerst zu dem fall x=0

Zu zeigen: x_n --> 0, x_n $\begin{eqnarray*} \geq \end{eqnarray*}$ 0
==> $\begin{eqnarray*} \sqrt{x_n} \end{eqnarray*}$

epsilon (schlange) >0, x_n< epsilon (schlange)
epsilon (schlange) sei epsilon quadrat
folgendermaßen bin ich bisher vorgegangen:

$\begin{eqnarray*} \mid \sqrt{x_n} - \sqrt{x} \mid \end{eqnarray*}$ <epsilon
$\begin{eqnarray*} \mid x_n - x \mid \end{eqnarray*}$ < epsilon (schlange)

jetzt versuch ich mich die ganze zeit an der dreiecksungleichung aber ich komm einfach nicht weiter. wie muss ich weitermachen?

ich hoffe man kann alles lesen, denn mit dem formeleditor komm ich nicht so ganz zurecht.

\\EDIT by sommer87: Latex verbessert...

27.01.2005, 17:39

sunshine111

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oh sorry, kann mir da jemand helfen und alles ins reine schreiben?

27.01.2005, 17:41

sommer87

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einen moment, ich editier es...

du musst die formeln in die latex umgebung packen, nicht in den code Augenzwinkern

einfach auf klicken, und die latex umgebung wird eingefügt

oder du gibst es von hand ein:

code:
1:	[latex]...[/latex]

27.01.2005, 17:47

sunshine111

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danke, langsam komm ich hinter das prinzip! ;-)

27.01.2005, 19:58

sunshine111

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kann mir denn niemand hier helfen?

28.01.2005, 11:22

klarsoweit

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betrachten wir mal x > 0.
Zu zeigen ist: zu jedem epsilon > 0 gibt es ein delta > 0 mit:
$\begin{eqnarray*} |x_n - x| < \delta ==> |\sqrt{x_n} - \sqrt{x}| < \epsilon \end{eqnarray*}$
wähle $\begin{eqnarray*} \delta = \epsilon \cdot \sqrt{x} \end{eqnarray*}$
Dann gilt:
$\begin{eqnarray*} |x_n - x| < \delta ==> |\sqrt{x_n} - \sqrt{x}| \cdot |\sqrt{x_n} + \sqrt{x}| < \epsilon \cdot \sqrt{x} < \epsilon \cdot (\sqrt{x} + \sqrt{x_n}) \end{eqnarray*}$
Also folgt:
$\begin{eqnarray*} |\sqrt{x_n} - \sqrt{x}| < \epsilon \end{eqnarray*}$

28.01.2005, 13:08

sunshine111

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x>0 war ja für mich das kleinere problem. wie sieht es denn aber aus für x=0???

28.01.2005, 13:34

klarsoweit

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na super, und ich mach mir die Mühe, und klappere hier alles rein.
Bei x=0 ist die Wurzel(x) nur rechtsseitig stetig.
Für den Beweis nimmt man einfach delta = epsilon²

29.01.2006, 14:28

o.B.d.A.

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Zitat:

Original von klarsoweit

wähle $\begin{eqnarray*} \delta = \epsilon \cdot \sqrt{x} \end{eqnarray*}$
Dann gilt:
$\begin{eqnarray*} |x_n - x| < \delta ==> |\sqrt{x_n} - \sqrt{x}| \cdot |\sqrt{x_n} + \sqrt{x}| < \epsilon \cdot \sqrt{x} < \epsilon \cdot (\sqrt{x} + \sqrt{x_n}) \end{eqnarray*}$
Also folgt:
$\begin{eqnarray*} |\sqrt{x_n} - \sqrt{x}| < \epsilon \end{eqnarray*}$

Kann mir das vlt jemand mal etwas erläutern? smile

Ich möchte die Stetigkeit von $\begin{eqnarray*} f:[0,1] \rightarrow \mathbb R, x -> \sqrt{x} \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} x^{*} \in (0,1] \end{eqnarray*}$ zeigen.
Dazu muss ich ja $\begin{eqnarray*} \mid \sqrt{x} - \sqrt{x^*} \mid \end{eqnarray*}$ so umformen/abschätzen, dass ich durch $\begin{eqnarray*} \mid x - x^* \mid < \delta \end{eqnarray*}$ dies in Abhängigkeit von $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ nach oben abschätzen kann.

Aus der Information, dass man $\begin{eqnarray*} \delta < \epsilon * \sqrt{x} \end{eqnarray*}$ wählen kann, habe ich dies weiter zu $\begin{eqnarray*} \frac{\mid x - x^* \mid}{\sqrt{x}} < \frac{\delta}{\sqrt{x}} < \epsilon \end{eqnarray*}$ umgeformt.

Nun wollte ich von $\begin{eqnarray*} \mid \sqrt{x} - \sqrt{x^*} \mid \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} \frac{\mid x - x^* \mid}{\sqrt{x}} \end{eqnarray*}$ kommen, was mir aber nich so ganz gelungen ist smile

Wenn mir also dies jemand zeigen könnte wäre echt toll.

VG,
o.B.d.A.

29.01.2006, 15:08

klarsoweit

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Wähle $\begin{eqnarray*} \delta = \epsilon \cdot \sqrt{x^*} \end{eqnarray*}$
Jetzt kannst du aus der Ungleichung $\begin{eqnarray*} |x - x^*| < \delta \end{eqnarray*}$ die gewünschte Behauptung zeigen. Gehe einfach analog vor, wie ich es geschrieben habe.

29.01.2006, 15:39

o.B.d.A.

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Glaub ich steh grad bißchen aufm Schlauch...

Wie kommst du zu diesem Schluss:

$\begin{eqnarray*} |x_n - x| < \delta ==> |\sqrt{x_n} - \sqrt{x}| \cdot |\sqrt{x_n} + \sqrt{x}| < \epsilon \cdot \sqrt{x} \end{eqnarray*}$

Wenn ich das richtig verstanden habe, zeigst du ja eigentlich damit, dass die Wahl des Deltas richtig war.
Aber wie bist du denn überhaupt auf dieses Delta gekommen? Durch meine Vorgehensweise (wie oben beschrieben) wollte ich eigentlich ein Delta berechnen, was die Bedingungen erfüllt. Allerdings ist mir diese eine Umformung nicht gelungen. Siehst du vlt einen Lösungsweg?

VG

29.01.2006, 18:02

o.B.d.A.

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Hab nochmal in Ruhe drüber nachgedacht und es hat sich jetzt alles geklärt smile

29.01.2006, 18:54

Mathespezialschüler

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