Nicht prim

03.07.2007, 10:41

prim0

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Nicht prim

Folgende Aufgabe: Zeige, dass $\begin{eqnarray*} n^5+n^4+1 \end{eqnarray*}$ nicht prim für alle $\begin{eqnarray*} n > 1 \end{eqnarray*}$ ist.

Dazu die Lösung: $\begin{eqnarray*} n^{5}+n^{4}+1 = (n^{3}-n+1)(n^{2}+n+1) \end{eqnarray*}$ .

1. Kann mir jemand erklären wieso mit dieser Faktorisierung alles gezeigt ist? Bzw. reicht es zu zeigen, dass sich $\begin{eqnarray*} n^5+n^4+1 \end{eqnarray*}$ einfach in zwei Faktoren zerlegen lässt?

2. Wie genau findet man eine solche Faktorisierung, gibt es da bestimmte Methoden?

03.07.2007, 11:10

sqrt4

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für n>1 sind beide Faktoren größer 1 und somit ist die Zahl zusammengesetzt, also nicht prim.

Zum finden der Zerlegung. Also entweder du schreibst dir mal die ersten Zahlen auf.
$\begin{eqnarray*} f(n)=n^5+n^4+1 \end{eqnarray*}$

Damit meine ich f(1), f(2), f(3)... und zerlegst diese Zahlen und findest die Gesetzmäßigkeit.

03.07.2007, 11:10

kiste

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Eine Primzahl ist eine Zahl die sich nicht in Faktoren aufteilen lässt. Da hier eine Faktorisierung gemacht wurde kann keine der Zahlen eine Primzahl sein(vorrausgesetzt keine der Terme wird 1 aber das wurde ja mit n>1 sichergestellt)

Wie man sowas findet, mhh keine Ahnung Glück haben oder so Augenzwinkern

Augenzwinkern

Oder halt Nullstellen bestimmen Teufel

Teufel

Bzw. einfach wissen das sich Polynome in Linearfaktoren und quadratische Faktoren aufteilen, jedes Polynom mit Grad 3 oder höher also nicht prim sein kann.(Das beruht auf dem Fundamentalsatz der Algebra)

03.07.2007, 11:35

prim0

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Ok danke, aber wie man die Faktorisierung findet, ist mir immer noch etwas unklar. Augenzwinkern

Augenzwinkern

f(1)=3
f(2)=49
f(3)=325
...

Wie soll man daraus denn die Zerlegung erkennen? Gilt vielleicht die allgemeine Formel
$\begin{eqnarray*} n^{k}+n^{k-1}+1 = (n^{k-2}-n+1)(n^{k-3}+n+1) \end{eqnarray*}$

Oder gibt es vielleicht einen anderen Weg das zu beweisen?

03.07.2007, 11:40

sqrt4

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$\begin{eqnarray*} f(n)=n^5+n^4+1 \end{eqnarray*}$

Da $\begin{eqnarray*} f(1)\neq 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f(-1)\neq 0 \end{eqnarray*}$ enthält f(n) keinen Linearen Faktor (also evtl (n-1) oder (n+1)).

Dann gibt es vllt eine Zerlegung dass

$\begin{eqnarray*} n^5+n^4+1=(n^2+a\cdot n+1)(n^3+b\cdot n^2+c \cdot n+1) \end{eqnarray*}$
oder so
$\begin{eqnarray*} n^5+n^4+1=(n^2+a\cdot n-1)(n^3+b\cdot n^2+c \cdot n-1) \end{eqnarray*}$

Dann muss man ausmultiplizieren und sortieren (also alle n, n^2, n^3, n^4 zusammenfassen)

Der 2. Fall funktionerit glaub ich nicht. Beim andern erhält man gerade die angegebene Lösung.

Edit: das wäre ein anderer Weg. Gut das mit dem Raten (mein erster Vorschlag, s.o.) is nicht unbedingt der Hit.

03.07.2007, 12:17

prim0

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Okay.

Gibt es eine allgemeine Form für

$\begin{eqnarray*} (n^2+a\cdot n+1)(n^3+b\cdot n^2+c \cdot n+1) \end{eqnarray*}$ ?

Oder wieso kann man sagen, dass es diese zwei Fälle geben muss:

Zitat:

Original von sqrt4
$\begin{eqnarray*} n^5+n^4+1=(n^2+a\cdot n+1)(n^3+b\cdot n^2+c \cdot n+1) \end{eqnarray*}$
oder so
$\begin{eqnarray*} n^5+n^4+1=(n^2+a\cdot n-1)(n^3+b\cdot n^2+c \cdot n-1) \end{eqnarray*}$

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03.07.2007, 13:43

Dunkit

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Zitat:

Original von sqrt4
Da $\begin{eqnarray*} f(1)\neq 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f(-1)\neq 0 \end{eqnarray*}$ enthält f(n) keinen Linearen Faktor (also evtl (n-1) oder (n+1)).

Das finde ich kann man so nicht stehenlassen. Denn aus f(n) kann man sehr wohl einen Linearfaktor herausteilen, es hat nämlich eine Nullstelle.
Die zu berechnen geht aber wahrscheinlich nur mit Näherungsverfahren (?) und außerdem liegt sie im negativen.
Auch möchte ich noch anmerken (um Missverständnissen Vorzubeugen), dass die Folgerung $\begin{eqnarray*} f(-1) \neq 0 \land f(1) \neq 0 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \Rightarrow f \end{eqnarray*}$ hat keinen Linearfaktor, i.A. natürlich sowieso nicht gilt.

03.07.2007, 14:15

tigerbine

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Bei der Aufgabe würde ich gerne einmal nachfragen:

prim über was?

Denn erst dann können Aussagen getroffen werden. Mit dem Fundamentalsatz der Algebra wäre ich vorsichtig, denn er steht "am Ende" der Betrachtungen der Körpertherorie. Über $\begin{eqnarray*} \mathbb C[x] \end{eqnarray*}$ zerfallen Polynome also in Linearfaktoren. In der Schulmathematik beschäftigt man sich mit dem "etwas schwächeren" $\begin{eqnarray*} \mathbb R[x] \end{eqnarray*}$ . Auch sollten die Begriffe "prim" und "irreduzibel" getrennt werden.

03.07.2007, 20:29

prim0

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Andere Aufgabe: Finde alle Primzahlen der Form $\begin{eqnarray*} n^3+1 \end{eqnarray*}$ !

$\begin{eqnarray*} -1 \end{eqnarray*}$ ist offensichtlich eine Nullstelle, durch Polynomdivision erhält man die Zerlegung

$\begin{eqnarray*} n^3+1=(n+1)(n^2-n+1) \end{eqnarray*}$ .

Wie geht's jetzt weiter?

03.07.2007, 21:20

Airblader

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Sicher, dass deine PD stimmt?
Allein die Tatsache, dass beim wieder Ausmultiplizieren nur ein einziges quadr. Glied entsteht lässt mich daran zweifeln smile

smile

Habs aber nicht explizit nachgerechnet.

air

03.07.2007, 21:25

prim0

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Ich denke, du hast dich verrechnet, es entsteht nicht nur ein quad. Glied.

03.07.2007, 21:36

Airblader

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*donk* Upsala, nehm alles zurück! Augenzwinkern

Augenzwinkern

Mal wieder zu schnell drübergeschaut *in die Ecke stell*

03.07.2007, 21:50

Venus²

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Muss man jetzt nicht einfach den gleichen Gedanken haben wie bei der ersten Aufgabe?
Dass es nämlich gar keine Primzahlen der Form $\begin{eqnarray*} n^3+1 \end{eqnarray*}$ gibt? Weil man dies nämlich in 2 Faktoren zerlegen kann.
Oder hab ich einen Fehler in meiner Überlegung gemacht? verwirrt

verwirrt

03.07.2007, 21:51

tigerbine

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Seit wann ist 2 keine Primzahl mehr? Augenzwinkern

Augenzwinkern

03.07.2007, 21:59

Venus²

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ahso^^.
Gut, dann gilt das für $\begin{eqnarray*} n>1 \end{eqnarray*}$ . Und es gibt genau eine Primzahl und die ist eben 2 mit n=1.

So? xD

03.07.2007, 22:05

tigerbine

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Zitat:

So?

Wie ich auch weiter oben schon angemerkt habe, so wie ihr die Aufgaben aufschreibt sind sie unsauber formuliert und ihr werft wild mit Begriffen um Euch. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Was ist denn n eigentlich?

03.07.2007, 22:14

Venus²

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Ich meine $\begin{eqnarray*} 2=1^3+1 \end{eqnarray*}$ . Also ist $\begin{eqnarray*} n=1 \end{eqnarray*}$ .
Für $\begin{eqnarray*} n>1 \end{eqnarray*}$ gibt es keine Primzahlen der Form $\begin{eqnarray*} n^3+1 \end{eqnarray*}$ .

Ists so richtig? Prost

Prost

^^

03.07.2007, 22:16

tigerbine

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Das meine ich nicht. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Aus welcher Zahlenmenge stammt n denn?

03.07.2007, 22:19

Venus²

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achso. n stammt aus N oder auch Z. Das ist nun egal. Wenn n>1 gilt.
Irgendwie dachte ich, dass das schon vorausgesetzt gewesen wäre.

03.07.2007, 22:24

tigerbine

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Nein. Und diese Zuordnung gehört bitte in die Aufgabenstellung. Zwar wird der Buchstabe n gerne für natürliche Zahlen verwendet, aber das ist nicht zwingend.

Als weitere Vorgehensweise empfehle ich die Definition dessen was zu zeigen ist zu wiederholen. Hier, wie ist eine Primzahl definiert.

Denn nicht immer ist das so bekannt und bei der ersten Aufgabe mit dem Polynom erkennt man auch, dass die Fragestellung unsauber ist. Leider hat prim0 auf meine Rückfrage nicht geantwortet.

03.07.2007, 22:35

Venus²

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also stammt n aus den Reellen Zahlen?
Aber aus welchem Grund sollte das denn hier so sein? Weil es immer so ist, wenn nix Genaueres in der Aufgabenstellung steht?
Und das würde aber nichts an der Lösung ändern?
Denn Nichtganze Zahlen hoch 3 sind niemals ganze Zahlen und somit kann dann $\begin{eqnarray*} n^3+1 \end{eqnarray*}$ nur noch ungleich ner natürlichen Zahl sein und damit ungleich ner Primzahl?

03.07.2007, 22:35

prim0

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Sorry tigerbine, ich hatte deinen Beitrag übersehen. Das Problem ist, dass beides alte Aufgaben von der Matheolympiade sind, und zwar so wie sie dort formuliert wurden. Aber du hast schon Recht, dass die Aufgabenstellungen unsauber sind. Z.B. könnte hier auch die negative Primzahl $\begin{eqnarray*} -7 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} n=-2 \end{eqnarray*}$ zur Lösungsmenge gehören. Ich denke aber, es geht um alle positiven Primzahlen.

Könntest du vielleicht einmal einen "Musterbeweis" posten, tigerbine? smile

smile

03.07.2007, 23:20

tigerbine

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Eine Musterlösung gebe ich nicht. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Hier ein paar Denkanstöße

Aufgabe

Finde alle Primzahlen p der Form $\begin{eqnarray*} n^3+1,~n,p \in \mathbb N \end{eqnarray*}$

Antwort

Defintion 1:
Seien k und n natürliche Zahlen. Dann heißt k Teiler von n, wenn es natürliche Zahl m existiert mit $\begin{eqnarray*} n =k\cdot m \end{eqnarray*}$ Gilt $\begin{eqnarray*} k \neq 1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} k \neq n \end{eqnarray*}$ , so heißt k echter Teiler von n.

Definition 2:
Eine natürliche Zahl n heißt Primzahl, wenn sie von 1 verschieden ist und keine echten Teiler besitzt.

Es ist n=1 die kleinste natürliche Zahl und p=2 die kleinste Primzahl. Dabei genügt 2 der oben geforderten Darstellung, denn 1³+1 = 2. Gibt es noch weitere?

Es ist (ausrechnen) (n²-n+1)(n+1) = n³+1. Nun muss noch nachgewiesen werden, dass für n>1 diese Faktoren echte Teiler sind. Zunächst zeigt man, dass sie von 1 verschieden sind.

n > 1 => n+1 > 1

(n² - n) = n(n-1) > 0 für n > 1, somit gilt auch (n²-n+1) >1.

Da beide Faktoren ungleich 1 sind, müssen sie auch ungleich (n³+1) sein, und sind somit echte Teiler von (n³+1). Damit ist 2 die einzige Primzahl von dieser Gestalt.

Gemein ist, dass ich die Faktorisierung einfach hingeschrieben habe. Ist so herum aber durchaus erlaubt. Wie kommt man i.A. darauf? Eure Ideen waren schon richtig, aber mathematisch nicht sauber formuliert. Vorallem bei der ersten Aufgabe.

04.07.2007, 00:05

Venus²

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Danke tigerbine für deine Lösung smile

smile

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