konvergenz einer reihe

27.01.2005, 19:40	AndYpsilon84	Auf diesen Beitrag antworten »
konvergenz einer reihe $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^\infty ~\frac{n!}{n^{n}} \end{eqnarray}$ kann mir jemand erklären wie ich hier auf konvergenz stoße? hab schon umgeformt auf n^n/(n+1)^n beim quotientenkriterium... aber weiter weiß ich nicht!!!
27.01.2005, 19:51	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: konvergenz einer reihe Quotientenkriterium ist richtig, und was du da erhalten hast, kann man zu $\begin{eqnarray} \frac{1}{\left(1+\displaystyle\frac{1}{n}\right)^n} \end{eqnarray}$ umformen. Kommt dir das eventuell bekannt vor?
27.01.2005, 19:53	AndYpsilon84	Auf diesen Beitrag antworten »
ja, das erinnert mich schwer an die exponential funktion... unterm bruchstrich. kannst du mir erklären wie ich auf diese funktion komme?
27.01.2005, 20:26	JochenX	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \frac{n^n}{(n+1)^n}=(\frac{n}{n+1})^n \end{eqnarray}$ kommst jetzt weiter? edit: klammern eingefügt
27.01.2005, 20:57	AndYpsilon84	Auf diesen Beitrag antworten »
... ehrlich gesagt, nein... da für mich diese klammer nur die ähnlichkeit mit der e-funktion hat... ich weiß nicht... verdammt!
27.01.2005, 20:58	JochenX	Auf diesen Beitrag antworten »
schreib mal das n im zähler als n+1-1.....
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27.01.2005, 21:03	AndYpsilon84	Auf diesen Beitrag antworten »
gut... dann steht oben n+1-1 unten n+1 hätte jetzt gedacht den bruch aufzuspalten... dann würde allerdings in der klammer [1-(1/n+1)]
27.01.2005, 21:07	JochenX	Auf diesen Beitrag antworten »
jo und was ist der limsup n gegen unendlich davon?
27.01.2005, 21:08	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
In Hinblick auf die Aufgabenstellung reicht natürlich auch $\begin{eqnarray} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n \geq 2 \end{eqnarray}$ für alle n, und das folgt wahlweise aus der Bernoullischen Ungleichung $\begin{eqnarray} (1+x)^n\geq 1+nx \end{eqnarray}$ oder auch einfach dem Binomischen Satz (erster und zweiter Summand). D.h., die Konvergenz gegen e ist hier nicht unbedingt Thema.
27.01.2005, 21:10	JochenX	Auf diesen Beitrag antworten »
aber den genauen limsup finden wir trotzdem noch.....
27.01.2005, 21:11	AndYpsilon84	Auf diesen Beitrag antworten »
jedenfalls nicht e... hab mal aus spass 50 für n eingesetzt... kommt 0,37... was soviel heißt wie 1/e... aber wie kann ich das von dem wert ohne taschenrechner abschätzen?
27.01.2005, 21:16	JochenX	Auf diesen Beitrag antworten »
na dann machen wir's eben doch anders..... letzten schritt rückwärts.... $\begin{eqnarray} (1-\frac{1}{n+1})^n=(\frac{n}{n+1})^n=\frac{1}{(\frac{n+1}{n})^n} \end{eqnarray}$ so kennst dus.... mfg jochen
27.01.2005, 21:18	AndYpsilon84	Auf diesen Beitrag antworten »
,... vielen dank für die geduld... hätte da irgendwie nicht drangedacht!
27.01.2005, 21:20	JochenX	Auf diesen Beitrag antworten »
1/e genau, das ist der limsup...... und was besagt das also letztendlich für deine reihe? das ist dir, nehme ich an, klar, oder?
27.01.2005, 21:44	AndYpsilon84	Auf diesen Beitrag antworten »
... konvergenz....
27.01.2005, 21:46	JochenX	Auf diesen Beitrag antworten »
richtig, weil der limsup betragsmäßig kleiner 1 ist. deshalb hätte auch arthurs ansatz gereicht..... mfg jochen

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