Zufallsfeld, Varianz der Ausdehnung

03.07.2007, 12:36

piloan

Zufallsfeld, Varianz der Ausdehnung

Es sei Z ein schwach stationäres Zufallsfeld im $\begin{eqnarray*} \mathbb R^d \end{eqnarray*}$ mit Erwartungswert 0 und Kovarianzfunktion
C. Für ein $\begin{eqnarray*} A \in \mathbb B^d \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} |A| < \infty \end{eqnarray*}$ definieren wiir die Zufallsvariabe

$\begin{eqnarray*} \overline{Z}(A):=\frac{1}{|A|}\cdot \int_{A}Z(x)~dx \end{eqnarray*}$

ZZ:
$\begin{eqnarray*} Cov(\overline{Z}(A),\overline{Z}(B))=\frac{1}{|A||B|}\cdot \int_{A}\int_{B}C(x-y)~dxdy \end{eqnarray*}$

und bestimmen Sie $\begin{eqnarray*} \sigma^2(A,B)=Var(\overline{Z}(A)-\overline{Z}(B)) \end{eqnarray*}$

Vielleicht kann sich ja hier einmal einer anschauen was ich gemacht habe.

$\begin{eqnarray*} Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y) \end{eqnarray*}$ damit folgt

$\begin{eqnarray*} Cov(\overline{Z}(A),\overline{Z}(B))=E\big(\frac{1}{|A|} \int_{A}Z(x)~dx\cdot \frac{1}{|B|} \int_{B}Z(y)~dy\big)-E(\frac{1}{|A|} \int_{A}Z(x)~dx)\cdot E(\frac{1}{|B|} \int_{B}Z(y)~dy) \end{eqnarray*}$

Da der Erwartungswert von Z gleich 0 ist folgt:

$\begin{eqnarray*} Cov(\overline{Z}(A),\overline{Z}(B))=E\big(\frac{1}{|A|} \int_{A}Z(x)~dx\cdot \frac{1}{|B|} \int_{B}Z(y)~dy\big)=\frac{1}{|A||B|} E(\int_{A}Z(x)~dx\cdot \int_{B}Z(y)~dy\big) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{|A||B|}\cdot E(\int_{A}\int_{B}Z(x)\cdot Z(y)~dxdy\big) \end{eqnarray*}$ (<- glaube nicht, dass das stimmt smile

)

Stimmt das erstmal soweit ?

ich moechte ja zu
$\begin{eqnarray*} Cov(\overline{Z}(A),\overline{Z}(B))=\frac{1}{|A||B|}\cdot \int_{A}\int_{B}C(x-y)~dxdy=\frac{1}{|A||B|}\cdot \int_{A}\int_{B}E(Z(x)(Z(y))~dxdy \end{eqnarray*}$ gelangen...wie bekomm ich den Erwartungswert in das Integral ?
Grüße

03.07.2007, 16:39

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Der Erwartungswert ist ebenso wie das Integral ein lineares Funktional...

03.07.2007, 16:47

piloan

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Also ist es bis dahin richtig und dann nur noch den Erwartungswert ins Integrak ziehen ?..auch die Integrale kann ich so zusammenziehen ?

Danke

03.07.2007, 17:57

piloan

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ok dann mach ich eben weiter(hoffe es stimmt bis da)

$\begin{eqnarray*} \sigma^2(A,B)=Var(\overline{Z}(A)-\overline{Z}(B))=Var(\overline{Z}(A))+Var(\overline{Z}(B))-2Cov(\overline{Z}(A),\overline{Z}(B)) \end{eqnarray*}$

das ist wieder gleich

$\begin{eqnarray*} E(\overline{Z}(A)^2)+E(\overline{Z}(B)^2)-2Cov(\overline{Z}(A),\overline{Z}(B)) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{|A|^2}\cdot E((\int_{A}Z(x)~dx)^2)+\frac{1}{|B|^2}\cdot E((\int_{B}Z(x)~dx)^2) \end{eqnarray*}$

ich lass den Rest mal weg, den hab ich ja schon.
Wie kann ich denn hier den Erwartungswert der Quadrate ausrechnen?

03.07.2007, 18:12

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Ist doch dasselbe wie die Kovarianz, nur eben der Spezialfall $\begin{eqnarray*} A=B \end{eqnarray*}$ .

03.07.2007, 19:29

piloan

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ja richtig..
dann steht dort $\begin{eqnarray*} \int_A\int_A~C(x-x)~dxdx=\int_A\int_A~C(0)~dxdx \end{eqnarray*}$ und das ist gleich 0 ?

03.07.2007, 19:38

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Zitat:

Original von piloan
$\begin{eqnarray*} \int_A\int_A~C(x-x)~dxdx=\int_A\int_A~C(0)~dxdx \end{eqnarray*}$

Auwei... Richtig ist natürlich $\begin{eqnarray*} \int\limits_A \int\limits_A ~ C(x-y) ~ \dd x \dd y \end{eqnarray*}$

03.07.2007, 19:54

piloan

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Jo

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{|A|^2}\int\limits_A \int\limits_A ~ C(x-y) ~ \dd x \dd y+\frac{1}{|B|^2}\int\limits_B \int\limits_B ~ C(x-y) ~ \dd x \dd y-2\frac{1}{|A||B|}\cdot \int_{A}\int_{B}C(x-y)~dxdy \end{eqnarray*}$

trotzdem weiss ich eben nicht wie ich hier weiter komme....

03.07.2007, 19:59

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Wohin willst du denn noch kommen? Ich sehe hier erstmal keine weiteren Vereinfachungen, solange du nicht konkretere Informationen zu $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ hast.

04.07.2007, 08:06

piloan

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stimmt ...sollte fertig sein ...danke

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