Diskrete Mengen

03.07.2007, 12:40

Limes

Diskrete Mengen

Hallo,

Sei D eine unendliche , diskrete Menge, auf der eine Metrik : $\begin{eqnarray*} \left| \cdot \right| \end{eqnarray*}$ definiert ist.
Dann liegen die Punkte von D isoliert, d.h. für jedes Element aus D gibt $\begin{eqnarray*} \epsilon > 0 \end{eqnarray*}$ , so dass die offene $\begin{eqnarray*} \epsilon-Umgebung \end{eqnarray*}$ um m keine weiteren Elemente aus M enthält.
Damit ist auch klar das je zwei verschieden Elemente aus D einen strikt positiven Abstand haben.

Kann ich aber ein $\begin{eqnarray*} d > 0 \end{eqnarray*}$ finden, so dass $\begin{eqnarray*} \left| n-m \right| > d \end{eqnarray*}$ für alle n, m $\begin{eqnarray*} \in D \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} n\neq m \end{eqnarray*}$

Vielen Dank schon einmal !

03.07.2007, 12:59

sqrt(2)

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RE: Diskrete Mengen

Zitat:

Original von Limes

Damit ist auch klar das je zwei verschieden Elemente aus D einen strikt positiven Abstand haben.

Kann ich aber ein $\begin{eqnarray*} d > 0 \end{eqnarray*}$ finden, so dass $\begin{eqnarray*} \left| n-m \right| > d \end{eqnarray*}$ für alle n, m $\begin{eqnarray*} \in D \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} n\neq m \end{eqnarray*}$

So wie die Frage gestellt ist, kannst du dir ja schon denken, dass du nach einem Gegenbeispiel suchen solltest. Dass das eines sein muss, wo $\begin{eqnarray*} \inf\{|n-m|:n,m\in D, n\neq m\}=0 \end{eqnarray*}$ , sollte sofort klar sein. Und solche Mengen, die auch diskret sind, kennst du sicher.

03.07.2007, 14:26

Limes

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Diskrete Mengen
Ok, z.B. ist $\begin{eqnarray*} \{ \frac{1}{n} | n \in \mathbb{N} \} \end{eqnarray*}$ diskret, denn für festes $\begin{eqnarray*} n_0 \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} \left| \frac{1}{n_0}-\frac{1}{n} \right| \ge \frac{1}{n_0(n_0+1)} >0, n \neq n_0 \end{eqnarray*}$ . Da $\begin{eqnarray*} (\frac{1}{n}) \end{eqnarray*}$ Cauchyfolge, gibt es für jedes $\begin{eqnarray*} \epsilon >0 \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} \ n_1 , \end{eqnarray*}$ so dass
$\begin{eqnarray*} \left| \frac{1}{m}-\frac{1}{n} \right|< \epsilon \end{eqnarray*}$ , für
alle $\begin{eqnarray*} n,m~ \ge ~n_1 \end{eqnarray*}$ .

Wie sieht es aber mit speziellen diskreten Mengen aus ?

Existiert für die Menge der Nullstellen einer ganzen Funktion ein derartiges positives Infimum ?

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