AWP DGL 1.Ordnung, Kontrolle der Lösung

03.07.2007, 14:54

iKo

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AWP DGL 1.Ordnung, Kontrolle der Lösung

Hallo, hab eine Aufgabe gerechnet und möchte euch bitten, die Lösung zu kontrollieren, ggf mich auf fehler hinzuweisen.
So würd ichs in der Klausur auch schreiben.

Nun zur Aufgabenstellung:
Bestimmen Sie die Lösung des folgenden Anfangswertproblems:

y'(t) = $\begin{eqnarray*} \frac{3}{2} \end{eqnarray*}$ (1 - 4(y(t))²) $\begin{eqnarray*} \frac{1}{t} \end{eqnarray*}$ ln t

für t $\begin{eqnarray*} \geq \end{eqnarray*}$ 1, y(1)=0

Meine Lösung:
$\begin{eqnarray*} \frac{dy}{dt} = \frac{3}{2} \end{eqnarray*}$ (1 - 4y²) $\begin{eqnarray*} \frac{1}{t} \end{eqnarray*}$ ln t

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \frac{1}{-4y² + 1} \end{eqnarray*}$ dy = $\begin{eqnarray*} \frac{3}{2} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \frac{ln t}{t} \end{eqnarray*}$ dt

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \frac{-1}{4} \int~\frac{1}{y²+1}~dy \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \frac{3}{2} \int~\frac{ln t}{t}~dt \end{eqnarray*}$

Nebenrechnung: Subst.: u = ln t , $\begin{eqnarray*} \frac{du}{dt} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \frac{1}{t} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ dt = t du
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \int~u~du \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ u² + c1
Resubst.: $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ (ln t)² +c1
Nebenrechnung ende

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \frac{-1}{4} \end{eqnarray*}$ arctan y +c2 = $\begin{eqnarray*} \frac{3}{2} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ (ln t)² + c1

|c := c1-c2

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ arctan y = -3 (ln t)² -4c
|d:= -4c

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ y = tan (-3 (lnt)² + d)

Allgemeine Lösung der DGL.: y(t) = tan (-3 (ln t)² + d)

y(1) = tan (-3 (ln 1)² + d ) = 0

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ tan b = 0 $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ b = arctan 0 $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ b = 0

Die Lösung des AWPs: y(t) = tan (-3(ln t)²)

03.07.2007, 15:17

nachrechner

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Nur beim Überfliegen aufgefallen:

Was hast du denn bei deinem zweiten Folgerungspfeil (von oben) gemacht? Doch nicht etwa -1/4 "ausgeklammert"?

03.07.2007, 15:19

iKo

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ups... kommt davon wenn man zu schnell ist... und auf zeit rechnet...

geh das nochmal durch....

03.07.2007, 15:56

iKo

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öhm.... hätte ich dann:

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \int~\frac{1}{1-4y²} ~dy \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \frac{3}{2} \int~\frac{ln(t)}{t}~dt \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ ln |1 - 4y²| = $\begin{eqnarray*} \frac{3}{4} (ln t)² +c \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow e^{ln|1-4y²} = e^{ \frac{3}{4} ln(t) ln(t) +c} \end{eqnarray*}$

|1-y²| = $\begin{eqnarray*} t^{\frac{3}{4} ln(t)} e^c \end{eqnarray*}$

d:= $\begin{eqnarray*} \pm e^c \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ 1-4y² = $\begin{eqnarray*} \sqrt[4]{t^{3ln(t)}} \end{eqnarray*}$

?????????

03.07.2007, 16:07

Orakel

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die stammfkt zu 1/(1-4y²) ist falsch!!!

03.07.2007, 16:12

iKo

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oh... stimmt.. neues Problem Big Laugh

Big Laugh

Was is die stammfunktion von $\begin{eqnarray*} \frac{1}{1-4y²} \end{eqnarray*}$ ???

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03.07.2007, 16:25

Orakel

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mit einer geeigneten substitution, genügt es die stammfkt zu 1/(1-x²) zu kennen. und das ist ein grundintegral!

03.07.2007, 17:19

sqrt(2)

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Zitat:

Original von Orakel
mit einer geeigneten substitution, genügt es die stammfkt zu 1/(1-x²) zu kennen. und das ist ein grundintegral!

Nein. Aber Partialbruchzerlegung führt zum Ziel.

03.07.2007, 17:20

iKo

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könnte ich nich genau so machen:

$\begin{eqnarray*} \int~\frac{1}{1-4y²b} ~dx \end{eqnarray*}$

x:= -4y, $\begin{eqnarray*} \frac{dx}{dy} = \end{eqnarray*}$ -4, $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ dy = $\begin{eqnarray*} \frac{-1}{4} \end{eqnarray*}$ dx

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \int~\frac{1}{1+x²} ~ \frac{-1}{4}dx \end{eqnarray*}$

Partielle Integration ergibt dann

$\begin{eqnarray*} \frac{-1}{4} \end{eqnarray*}$ arctan x

Resubst.:

$\begin{eqnarray*} \frac{-1}{4} \end{eqnarray*}$ arctan (-4y) = $\begin{eqnarray*} \frac{1}{4} \end{eqnarray*}$ arctan(4y)

03.07.2007, 17:25

sqrt(2)

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Wenn du x = -4y substituierst, hast du am Ende 1 + xy und nicht 1 - x^2 im Nenner stehen.

03.07.2007, 17:25

Orakel

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@sqrt2: da kommt die gleiche stammfkt raus!

EDIT: setze x=2y. dann gilt

$\begin{eqnarray*} \int\frac{1}{1-4y^2}\ dy=\frac{1}{2}\int\frac{1}{1-x^2}\ dx=... \end{eqnarray*}$

dann steht es da!

03.07.2007, 17:26

sqrt(2)

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Das als Grundintegral zu bezeichnen, ist aber trotzdem übertrieben.

03.07.2007, 17:28

Orakel

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@sqrt2: das ist nun mal eines der elementarsten integrale, da man es, wie du schon selbst geschrieben hast, mit partialbruchzerlegung berechnen kann. steht in jeder (guten) grundintegraltafel! smile

smile

03.07.2007, 17:28

iKo

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oder

Partialbruchzerlegung: dann käme ich auf:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ ln|x-1| - $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ ln |x+1|

WELCHES STIMMT DENN NUN? verwirrt

verwirrt

03.07.2007, 17:30

Orakel

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stimmt beides (bis aufs vorzeichen)!

03.07.2007, 17:33

sqrt(2)

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Zitat:

Original von Orakel
@sqrt2: das ist nun mal eines der elementarsten integrale, da man es, wie du schon selbst geschrieben hast, mit partialbruchzerlegung berechnen kann. steht in jeder (guten) grundintegraltafel! smile

smile

Also für mich sind Grundintegrale die, die man auswendig können sollte, wie z.B. $\begin{eqnarray*} \int \frac{\dx}{x}=\ln|x| \end{eqnarray*}$ . Eines, wo man sofort mit einer einfachen Partialbruchzerlegung drankommt, gehört da nicht dazu.

Zitat:

Original von Orakel
stimmt beides (bis aufs vorzeichen)!

Nein, der Arkustangens stimmt nicht. Außerdem sollte man das Resubstituieren nicht vergessen...

03.07.2007, 17:35

Orakel

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das seine substitution falsch wat, habe ich schon geschrieben! so viel zum arctan...

ich beende hiermit meine teilnahme an der grundintegraldefinition, das muss jeder mit sich selbst ausmachen...

03.07.2007, 17:39

iKo

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whoow.. irgendwie bin ich jetzt total durcheinander... was die subst. betrifft:

könnt ihr mir nen tipp geben.

ich blick gerade nicht durch wie ich (falls ich x := -4y ) dann mit $\begin{eqnarray*} \frac{1}{1+xy} \end{eqnarray*}$
weiterkomme....

danach würd ich part.bruch.zerl. machen... aber erstmal zu (1+x²) im nenner kommen traurig

traurig

verwirrt

03.07.2007, 17:41

Orakel

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du sollst nicht auf 1/(1+x²) kommen sondern 1/(1-x²)

die substitution habe ich dir schon hingeschrieben: setze x=2y, denn dann ist x²=4y² und dx=2dy.

03.07.2007, 17:48

iKo

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hmm

da gäbe es dann zwei zur auswahl, einmal die stammfkt für |x|<1
und einmal für |x|>1 , welches müsste ich denn dann nehmen, falls ich es nich
mit part.br.zer.machen würde

denn mit der Partialbruchzerlegung käme ich dann auf:

$\begin{eqnarray*} \int~\frac{1}{1-4y²}~dx = \frac{1}{4} \end{eqnarray*}$ ( ln|2y+1| + ln|-2y+1|)

und bekäme als Allgemeine Lösung der DGL:

y(t) = $\begin{eqnarray*} \sqrt{\frac{1}{4} e^{3(ln(t))²} k -1} \end{eqnarray*}$

ìs das richtig?

03.07.2007, 19:47

Orakel

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auf dem "anderen weg" kommst du auch auf diese stammfkt. mit deiner zuvor geposteten kannst du weiter rechnen.

manche formelsammlungen unterscheiden zwischen |x|>1 und |x|<1. das ist aber eigtl. unnötig. man würde dann den arcoth und den artanh erhalten. aber wenn man sich die definitionen der beiden funktionen genau anschaut, kann man zeigen, dass das genau auf deine stammfkt. hinausläuft!

03.07.2007, 20:25

iKo

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kleiner fehler eingeschlichen: da ableitung von ln(-x+1) , 1/x * -1 ist und nich *1

also musste ich vorzeichen ändern vor dem integral ;-)

dann wäre aber meine endgültige Allgemeine Lösung der DGL:

y(t) = $\begin{eqnarray*} \sqrt{\frac{1}{4} e^{3(ln(t))²} k +1} \end{eqnarray*}$

Prost

Prost

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