Vektoren / Ebenen

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03.07.2007, 18:29	cyph	Auf diesen Beitrag antworten »
Vektoren / Ebenen Moin, also ich muss Montag im Mathe Grundkurs eine Aufgabe vorstellen und es wäre echt nett, wenn ihr mir dabei helfen könntet (auch für Links wo steht, wie das funktioniert, wäre ich sehr dankbar ) also die Aufgabenstellung: In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte A(3\|-3\|0), B(2\|0\|8) und C(2\|-2\|4) gegeben und die Gerade gt: X = (-3\|3\|0)+r(1\|-1\|t) Die Ebene E enthält die Punkte A, B, C. Bestimmen Sie eine Koordinatengleichung von E und die Schnittpunkte von E mit den Koordinatenachsen. Diese Punkte bilden ein Dreieck. Zeichnen sie dieses Dreieck in ein Koordinatensystem ein. Unter welchem Winkel schneidet g0 die x1-Achse? Für welchen Wert von t verläuft die Gerade gt parallel zu E? Für welchen Wert von t schneidet die Gerade gt die Ebene E senkrecht? Wäre echt nett, wenn mir irgendjemand Lösungswege zeigen könnten lg cyph
03.07.2007, 18:44	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vektoren / Ebenen Es wäre schön, wenn du selbst eigene Ansätze liefern könntest oder sagen könntest, wo es denn klemmt. Vorrechnen von A bis Z wird dir das keiner. Siehe auch Prinzip "Mathe online verstehen!"
08.07.2007, 18:28	cyph	Auf diesen Beitrag antworten »
Moin, Ich bins noch mal also wie gesagt, ich hab nahezu keinen Plan von dem, was er von mir will. Ich weiß nicht mal wie man richtig anfangen soll, also ich habe bisher auf seiten gefunden, dass man die ebene in teilgleichungen aufteilen soll.. aber ich weiß nicht wie das bei diesem beispiel hier gehen soll, da ich nicht weiß, wie ich das mit den punkten ABC machen soll ( die sind laut aufgabenstellung ja die Ebene) oder versteh ich das falsch und muss ich die gereade dazu benutzen?
08.07.2007, 18:37	Bjoern1982	Auf diesen Beitrag antworten »
Es gibt verschiedene Möglichkeiten um eine Ebene in Koordinatenform aufzustellen. Wenn du das Vektorprodukt kennst würde ich erstmal einen Normalenvektor dieser Ebene durch zwei entsprechende Richtungsvektoren der Ebene bilden. Ansonsten kann man auch erstmal eine Parameterform erstellen und dann daraus ein Gleichungssystem machen, bei welchem man in einer Gleichung alle Parameter eliminieren muss. Gruß Björn
08.07.2007, 18:42	cyph	Auf diesen Beitrag antworten »
davon hab ich auch schon gelesen, aber ich weiß nicht, wie ich das bei meiner aufgabe anwenden soll.. also bei den beispielen sieht das immer so aus: E: X = (1/1/1) + r (2/2/2) + s (3/3/3) (die zahlen in den klammern sollen untereinander stehen) bei mir in der aufgabe gibt es aber nur eine gerade, muss ich die benutzen? und es gibt noch 3 punkte, die laut aufgabenstellung die ebene sind.. aber wie komm ich von den drei punkten auf eine gleichung, die so aussieht wie die, die ich eben geschrieben habe?
08.07.2007, 18:47	cyph	Auf diesen Beitrag antworten »
ach ich hab da nen interessanten link gefunden ich versuchs mal so, poste dann gleich wieder^^
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08.07.2007, 18:57	cyph	Auf diesen Beitrag antworten »
also ist meine ebenengleichung: E:X=(3/-3/0)+s(-1/3/8)+t(-1/1/4) ?!
08.07.2007, 19:12	cyph	Auf diesen Beitrag antworten »
wie ich eben rausgefunden hab, braucht man gar keine ebenengleichung zur bestimmung der koordinaten gleichung? -> http://home.arcor.de/penneweb/Abi2004/Eb3Pkt.html <- 2. punkt
08.07.2007, 19:36	Bjoern1982	Auf diesen Beitrag antworten »
Joa. dann versuchs doch mal so
08.07.2007, 19:44	cyph	Auf diesen Beitrag antworten »
hm also ich habs nun doch anders gemacht^^ und zwar so (koennte evtl mal jemand sagen was ich falsch mache, oder obs richtig ist?) also: um die koordinatengleichung zu ermitteln, benötige ich die ebenengleichung, die sieht so aus: E:x=(3/-3/0)+s(-1/3/8)+t(-1/1/4) dann benutze ich das vektor- oder kreuzprodukt: dann erhalte ich: n=(4/-4/2) danach setze ich hier den Punkt A ein (B und C zur probe auch noch) dann erhalte ich d=24 und was ist jetzt die koordinatengleichung^^? E:x1+x2+x3=d also in dieser aufgabe: E:4x1+(-4)x2+2x3=24 ??
08.07.2007, 19:50	Bjoern1982	Auf diesen Beitrag antworten »
Sieht gut aus Kannst die Gleichung aber noch durch 2 dividieren, dann entstehen kleinere Zahlen.
08.07.2007, 19:59	cyph	Auf diesen Beitrag antworten »
cool, danke also E:4x1+(-4)x2+2x3=24 bzw. E: 2x1+(-2)x2+x3=12 ist dann die koordinatengleichung? dann versuch ich mich jetzt mal an den schnittpunkten der Ebene mit den Koordinatenachsen
08.07.2007, 20:20	cyph	Auf diesen Beitrag antworten »
und schon wieder ein prob -.- also, um die schnittpunkte der ebene mit den koordinatenachsen errechnen zu können, muss ich wie folgt vor gehen, oder? (für x-achse) E:x=(3/-3/0)+s(-1/3/8/)+t(-1/1/4)=(x1/0/0) daraus folgt: 3+(-1)s+(-1)t=x1 -3+3s+t=0 0+8s+4t=0 und wie gehts weiter? ich weiß nicht, wie man jetzt x1 rauskriegen soll.. also eigetnlich muesste man doch mit der 2. und 3. gleichung r bzw s rausrkriegen koennen, oder? und wenn man diese dann in der ersten gleichung einsetzen wuerde, hätte man x1.. aber ich weiß net wie man r bzw s rauskriegen soll ?! oder lieg ich komplett falsch???
08.07.2007, 20:36	Bjoern1982	Auf diesen Beitrag antworten »
Mach das lieber mit der Koordinatengleichung, wenn du sie schonmal hast Der Schnittpunkt der Ebene mit der x1-Achse muss ja diese Form haben: (x1/0/0) ----> eben weil dieser Punkt ja auf der x1-Achse liegt Wenn du nun einfach diesen Punkt in die Koordnatengleichung einsetzt erhälst du die fehlende Koordinate durch Auflösen nach x1. Analog kannst du das auch für die anderen beiden Schnittpunkte (auch Spurpunkte genannt) machen. Gruß Björn
08.07.2007, 20:48	cyph	Auf diesen Beitrag antworten »
Koordinatengleichung: 2x1+(-2)x2+x3 dann X1/0/0 einsetzen also 2x1+(-2)*0+0=12 also 2x1=12 \| /2 x1 = 6 ?!
08.07.2007, 20:51	Bjoern1982	Auf diesen Beitrag antworten »
Genau, ein Spurpunkt wäre somit (6/0/0).
08.07.2007, 20:57	cyph	Auf diesen Beitrag antworten »
und die andren beiden: (0/-6/0) & (0/0/12) ?!
08.07.2007, 21:02	Bjoern1982	Auf diesen Beitrag antworten »

08.07.2007, 21:07	cyph	Auf diesen Beitrag antworten »
cool vielen dank jetzt will ich gucken, mit welchem t-Wert der Gerade, die Gerade parallel zur Ebene ist.. die Gerade: g: x=(-3/3/0)+r(1/-1/t) Ebene: E:x=(3/-3/0)+s(-1/3/8)+t(-1/1/4) ich habe gefunden: "g ist parallel zu E, wenn der Richtungsvektor von g orthogonal zu dem normalenvektor von E ist. " also der normalenvektor bei mir war doch: n=(4/-4/2) also muss es heißen: (1/-1/t)*(4/-4/2)=0 wenn ja, wie muss ich das dann multiplizieren? wie ich das eben bei der rechnung der koordinatengleichung gemacht habe, mit demkreuz / vektorprodukt oder skalarprodukt??? oder ist das das gleiche^^ ?
08.07.2007, 21:12	Bjoern1982	Auf diesen Beitrag antworten »
Skalarprodukt und Vektorprodukt sind keineswegs das gleiche. Hier ist das Skalarprodukt anzuwenden.
08.07.2007, 21:20	cyph	Auf diesen Beitrag antworten »
okay, danke skalarprodukt: ab=a1b1+a2b2+a3b3 oder hab ich das falsch in erinnerung?!
08.07.2007, 21:41	Bjoern1982	Auf diesen Beitrag antworten »
Ist richtig
08.07.2007, 21:57	cyph	Auf diesen Beitrag antworten »
dann hab ich t=-4 jetzt will ich prüfen, mit welchem t-wert die gerade die ebene senkrecht schneidet.. ich habe gefunden: "ebene und gerade sind orthogonal wenn der richtungsvektor der geraden linear zum normalenvektor der ebene ist." was ist mit linear gemeint?
08.07.2007, 22:11	Bjoern1982	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich kenne eher die Bezeichung "kollinear". Das bedeutet dass Normalenvektor und Richtungsvektor linear abhängig sein müssen, also der eine Vektor ein Vielfaches des anderen ist.
08.07.2007, 22:16	cyph	Auf diesen Beitrag antworten »
hmm.. aber war das nicht immer genau umgekehrt? zumindest bei geraden? also wenn die parallel zu einander sein wollten, mussten doch bei geraden die richtungsvektoren vielfache voneinander sein... und bei ebene + gerade ist das genau umgekehrt oder wie?
08.07.2007, 22:23	Bjoern1982	Auf diesen Beitrag antworten »
Bedenke dass ein Normalenvektor immer senkrecht zu der gegebenen Ebene steht.
08.07.2007, 22:25	cyph	Auf diesen Beitrag antworten »
hmm stimmt.. also ist es ja logisch, dass der richtungsvektor der geraden ein vielfaches vom normalenvektor sein muss^^
08.07.2007, 22:39	Bjoern1982	Auf diesen Beitrag antworten »
So siehts aus

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