lim a-> \infty bei trigonometrischen Fkts

03.07.2007, 22:08

-Mischka-

lim a-> \infty bei trigonometrischen Fkts

Also hier die Aufgabe:

Berechnen sie folgende Uneigentliche Integrale:
$\begin{eqnarray*} \int_0^{\infty}e^{-st}\cos(\omega t)dt \end{eqnarray*}$
Als erstes hab ich eine Grenze durch a ausgetauscht, und erst mal die Stammfkt berechnet:
$\begin{eqnarray*} \int_0^{a}e^{-st}\cos(\omega t)dt=[-\frac{1}{s}e^{-st}\cos(\omega t)]_0^{a}-\int_0^{a}\frac{\omega}{s}e^{-st}\sin(\omega t)dt \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} <=>\int_0^{a}e^{-st}\cos(\omega t)dt=[-\frac{1}{s}e^{-st}\cos(\omega t)]_0^{a}-[[-\frac{\omega}{s^2}e^{-st}\sin(\omega t)]_0^{a}-\int_0^{a}-\frac{{\omega}^2}{s^2}e^{-st}\cos(\omega t)dt] \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} <=>\int_0^{a}e^{-st}\cos(\omega t)dt=[-\frac{1}{s}e^{-st}\cos(\omega t)]_0^{a}-[[-\frac{\omega}{s^2}e^{-st}\sin(\omega t)]_0^{a}+\frac{{\omega}^2}{s^2}\int_0^{a}e^{-st}\cos(\omega t)dt] \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} <=>\int_0^{a}e^{-st}\cos(\omega t)dt=[-\frac{1}{s}e^{-st}\cos(\omega t)]_0^{a}+[\frac{\omega}{s^2}e^{-st}\sin(\omega t)]_0^{a}-\frac{{\omega}^2}{s^2}\int_0^{a}e^{-st}\cos(\omega t)dt \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} <=>\int_0^{a}e^{-st}\cos(\omega t)dt=[\frac{\omega}{s^2}e^{-st}\sin(\omega t)-\frac{1}{s}e^{-st}\cos(\omega t)]_0^{a}-\frac{{\omega}^2}{s^2}\int_0^{a}e^{-st}\cos(\omega t)dt \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} <=>\frac{{s^2+\omega}^2}{s^2}\int_0^{a}e^{-st}\cos(\omega t)dt=[\frac{1}{s^2}e^{-st}\omega \sin(\omega t)-\frac{1}{s}e^{-st}\cos(\omega t)]_0^{a} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} <=>(s^2+{\omega}^2)\int_0^{a}e^{-st}\cos(\omega t)dt=[e^{-st}[\omega \sin(\omega t)-s\cos(\omega t)]]_0^{a} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} <=>(s^2+{\omega}^2)\int_0^{a}e^{-st}\cos(\omega t)dt=[\frac{\omega \sin(\omega t)-s\cos(\omega t)}{e^{st}}]_0^{a} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} <=>\int_0^{a}e^{-st}\cos(\omega t)dt=[\frac{\omega \sin(\omega t)-s\cos(\omega t)}{e^{st}\cdot(s^2+{\omega}^2)}]_0^{a} \end{eqnarray*}$

Das führt mich zu Frage 1:
Hab ich das richtig integriert?!?

Frage 2. Um nun das uneigentliche Integral zu berechnen muss ich ja nun folgendes berechnen:
$\begin{eqnarray*} \lim_{a \to \infty} [\frac{\omega \sin(\omega t)-s\cos(\omega t)}{e^{st}\cdot(s^2+{\omega}^2)}]_0^{a} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =\lim_{a \to \infty} \frac{\omega \sin(\omega a)-s\cos(\omega a)}{e^{sa}\cdot(s^2+{\omega}^2)}-\frac{\omega \sin(0)-s\cos(0)}{e^{0}\cdot(s^2+{\omega}^2)} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =\lim_{a \to \infty} \frac{\omega \sin(\omega a)-s\cos(\omega a)}{e^{sa}\cdot(s^2+{\omega}^2)}-\frac{0-s\cdot1}{1\cdot(s^2+{\omega}^2)} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =\lim_{a \to \infty} \frac{\omega \sin(\omega a)-s\cos(\omega a)}{e^{sa}\cdot(s^2+{\omega}^2)}+\frac{s}{s^2+{\omega}^2} \end{eqnarray*}$

Da ist nun ein Problem: $\begin{eqnarray*} \lim_{a \to \infty} sin(a) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lim_{a \to \infty} cos(a) \end{eqnarray*}$ oszilieren beide, und sind unberechenbar, oder? Dass sie einzeln jeweils unberechenbar sind, weiß ich mit ziehmlicher Sicherheit, aber wie sieht es in Kombination aus. Existiert für mein Grenzwertproblem eine Lösung?

03.07.2007, 22:12

Calvin

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: lim a-> \infty bei trigonometrischen Fkts

Zitat:

Original von -Mischka-
$\begin{eqnarray*} \int_0^{a}e^{-st}\cos(\omega t)dt=[-\frac{1}{s}e^{-st}\cos(\omega t)]_0^{a}-\int_0^{a}\frac{\omega}{s}e^{-st}\sin(\omega t)dt \end{eqnarray*}$

Schon in der ersten Zeile ist ein Vorzeichenfehler drin. Die Ableitung von $\begin{eqnarray*} \cos{\omega t} \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} -\omega\sin{\omega t} \end{eqnarray*}$

Weiter habe ich nicht kontrolliert.

03.07.2007, 22:22

-Mischka-

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: lim a-> \infty bei trigonometrischen Fkts

Zitat:

Original von Calvin

Zitat:

Original von -Mischka-
$\begin{eqnarray*} \int_0^{a}e^{-st}\cos(\omega t)dt=[-\frac{1}{s}e^{-st}\cos(\omega t)]_0^{a}-\int_0^{a}\frac{\omega}{s}e^{-st}\sin(\omega t)dt \end{eqnarray*}$

Schon in der ersten Zeile ist ein Vorzeichenfehler drin. Die Ableitung von $\begin{eqnarray*} \cos{\omega t} \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} -\omega\sin{\omega t} \end{eqnarray*}$

Ich weiß. Aber! $\begin{eqnarray*} e^{-st} \end{eqnarray*}$ integriert bringt auch ein Minus hervor, dass sich mit deinem Minus paart und ein Plus gebiert!

03.07.2007, 22:25

Calvin

Auf diesen Beitrag antworten »

OK, da hast du recht Hammer

. Danke fürs Aufpassen smile

Dann muss ich wohl oder übel doch nochmal drüberschauen.

03.07.2007, 22:27

kiste

Auf diesen Beitrag antworten »

Hab mir das Integral nicht angeschaut aber zum Grenzwert:
sin und cos oszillieren zwar kann man aber mit -1...1 abschätzen, da die e-Funktion im Nenner jedoch gegen unendlich geht wird der erste Bruch gegen 0 gehen

03.07.2007, 22:30

Calvin

Auf diesen Beitrag antworten »

Bei der Integration konnte ich keine Fehler entdecken. Zum Grenzwert hat sich kiste schon geäußert.

03.07.2007, 22:31

sqrt(2)

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: lim a-> \infty bei trigonometrischen Fkts

Zitat:

Original von -Mischka-
Hab ich das richtig integriert?!?

Mein CAS gibt dir Recht.

Zitat:

Original von -Mischka-
Da ist nun ein Problem: $\begin{eqnarray*} \lim_{a \to \infty} sin(a) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lim_{a \to \infty} cos(a) \end{eqnarray*}$ oszilieren beide, und sind unberechenbar, oder? Dass sie einzeln jeweils unberechenbar sind, weiß ich mit ziehmlicher Sicherheit, aber wie sieht es in Kombination aus. Existiert für mein Grenzwertproblem eine Lösung?

Ja. Die mögen zwar oszillieren, sind aber beschränkt, sodass du im Zähler etwas hast, was (im Landauschen Sinne) linear wächst. Im Nenner steht eine Exponentialfunktion. Wie du in jedem Analysis-I-Skriptum finden wirst, geht der ganze Bruch also gegen 0.

03.07.2007, 22:34

-Mischka-

Auf diesen Beitrag antworten »

OK! Danke, für die Hilfe, habs verstanden. Hab mich zu sehr auf die trig. Fkts konzentriert.

03.07.2007, 22:37

Airblader

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich mische mich ungern bei HS ein, aber sollte man - sofern keine Einschränkungen vorliegen - nicht auch den Spezialfall s = 0 nennen?

air

03.07.2007, 22:43

sqrt(2)

Auf diesen Beitrag antworten »

Theoretisch hast du natürlich Recht. Hier sieht es aber nach Laplace- oder Fouriertransformation aus, da nehmen wir sowieso an, dass wir vernünftige Signale haben. Big Laugh

04.07.2007, 00:59

-Mischka-

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Airblader
Ich mische mich ungern bei HS ein, aber sollte man - sofern keine Einschränkungen vorliegen - nicht auch den Spezialfall s = 0 nennen?

air

nein, denn s ist ungleich 0, steht in der Aufgabe.

04.07.2007, 06:13

Airblader

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von sqrt(2)
Theoretisch hast du natürlich Recht. Hier sieht es aber nach Laplace- oder Fouriertransformation aus, da nehmen wir sowieso an, dass wir vernünftige Signale haben. Big Laugh

Joa, davon habe ich ja (noch) keine Ahnung, ich wollts nur anmerken Big Laugh

air

Neue Frage »

Antworten »

lim a-> \infty bei trigonometrischen Fkts

Verwandte Themen