Stetigkeit

28.01.2005, 15:08

goobelz

Stetigkeit

Zeigen Sie, dass die Funktion f R->R mit
$\begin{eqnarray*} f(x)=\{ \frac{|x^2-4x-21|}{x+3} \}~falls~ x<-3 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(x)=\{ \frac{1}{2}x^2+4x- \frac{5}{2} \}~falls ~x\geq -3 \end{eqnarray*}$

im Punkt x=-3 stetig ist!!

(Hinweis: Lösen Sie die Betragszeichen auf!)

Und das ist auch mein erstes Problem. Wie löse ich die Betragszeichen auf??
Fallunterscheidung:

1. Fall: $\begin{eqnarray*} x^2-4x-21\geq0 \end{eqnarray*}$

Und wie geht dass jetzt weiter?

28.01.2005, 15:35

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RE: Stetigkeit
Wenn du diese quadratische Ungleichung löst, kannst du diese Bedingung als einfacher verständliche x-Intervalle formulieren.

28.01.2005, 15:35

klarsoweit

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RE: Stetigkeit
wie sonst auch: Faktorisieren und dann nochmal Fallunterscheidung.

28.01.2005, 15:52

goobelz

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RE: Stetigkeit

Zitat:

Original von Arthur Dent
Wenn du diese quadratische Ungleichung löst.

Ich weiß nicht wie ich die Ungleichung lösen soll!?

28.01.2005, 16:02

klarsoweit

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RE: Stetigkeit
finde die Nullstellen und schreibe das Polynom als (x - Nullst.1) * (x - Nullst.2). Dann Fallunterscheidung.

28.01.2005, 16:15

goobelz

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RE: Stetigkeit
$\begin{eqnarray*} (x+3)(x-7)\geq 0 \end{eqnarray*}$

und wie funktioniert hier die Fallunterscheidung?

Ich blick hier überhaupt nicht durch Hammer

28.01.2005, 16:29

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RE: Stetigkeit
Ein Produkt ist nichtnegativ, wenn beide Faktoren nichtnegativ sind oder beide Faktoren nichtpositiv sind. Und jetzt überleg mal, für welche x aus deinem Bereich x < -3 dies zutrifft. verwirrt

28.01.2005, 16:37

goobelz

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RE: Stetigkeit
für Alle x<-3!

28.01.2005, 16:39

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RE: Stetigkeit
Genau! Freude

28.01.2005, 16:44

goobelz

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RE: Stetigkeit
Und wie gehts jetzt weiter?

Nur noch die Grenzwerte und f(-3) ausrechnen oder?

28.01.2005, 16:47

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RE: Stetigkeit
Zunächst mal kannst du im Formelteil x < -3 schön kürzen (macht den Rest einfacher).

Und dann überprüfst du

$\begin{eqnarray*} \lim\limits_{x\nearrow -3} f(x) \stackrel{?}{=} f(-3) \end{eqnarray*}$ .

Und wenn das "?" verschwindet, bist du fertig.

28.01.2005, 16:52

goobelz

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RE: Stetigkeit
Wo kann man kürzen?

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to -3} \frac{(x+3)*(x-7)}{x+3} =-10= \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to -3} \frac{1}{2}x^2+4x-\frac{5}{2} =-10= \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(-3)=-10 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow ~f(x)~stetig \end{eqnarray*}$

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