gebrochen rationale funktionen/Lücke

29.01.2005, 12:38

Stefan22

gebrochen rationale funktionen/Lücke

Hey Leute ich hätte mal eine Frage. Ist die Lücke in der folgenden Funktion hebbar oder nicht?

$\begin{eqnarray*} (x^2+5x+4)/(x^2+4x) \end{eqnarray*}$

Theoretisch hab ich ja bei x=(-4) eine Lücke und kann die Gleichung auch so schreiben, oder

$\begin{eqnarray*} ((x+4)*(x+1))/(x^2+4x) \end{eqnarray*}$
Da ich jetzt nicht kürzen kann dürfte sie doch nicht hebbar sein. Ist das korrekt?

29.01.2005, 12:40

iammrvip

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du kannst im Nenner ein x ausklammern Augenzwinkern

29.01.2005, 12:43

Stefan22

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Ja ok stimmt.
dann hab ich $\begin{eqnarray*} x*(x+4) \end{eqnarray*}$
und dann kann ich kürzen dann hab ich ja nur noch

$\begin{eqnarray*} (x+1)/x \end{eqnarray*}$

ist die lücke damit hebbar? oder woran kann ich festmachen, dass eine lücke hebbar ist?

29.01.2005, 12:51

iammrvip

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Wenn die Nullstelle vom Zähler mit der "Nulstelle" des Nenners übereinstimmt, spricht man von einer hebbaren Lücke. Dadruch entsteht keine senkrechte Asymptote (Polstelle) wie bei den anderen Definitionslücken.

Exakt heißt das, dass der linkssetige und rechssetige Grenzwert an dieser Stelle mit dem Funktionswert übereinstimmen.

29.01.2005, 12:54

Stefan22

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Lücke
Ja ok, das wäre ja jetzt nach dem umformen nicht mehr der fall, der zahler hat die nullstelle X=(-1) und der Nenner die Nullstelle X=0. Oder?

29.01.2005, 13:07

iammrvip

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Richtig

. Es entsteht ja auch eine Polstelle mit VZW.

29.01.2005, 13:23

Stefan22

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Lücke
Also wäre die Lücke hebbar und den VZW erkenne ich daran, dass im nenner der Funktion quasi steht
$\begin{eqnarray*} (x)^n \end{eqnarray*}$
und n ist in diesem fall 1 also ungerade. Und bei ungeraden exponent im nenner gibt es einen VZW,ja?
Ist eine Lücke also nicht hebbar wenn man nicht kürzen kann, oder nach dem kürzen im zähler und im nenner immer noch die gleichen nullstellen vorhanden sind?

Vielen dank schon mal für die hilfe

29.01.2005, 13:35

iammrvip

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Ja sie ist hebbar.

Bei geraden Exponenten gibt es zwar keinen VZW, aber die Lücke ist trotzdem nicht hebbar, da dort ja auch eine Polstelle vorliegt.

DIe Lücke ist immer dann hebbar, wenn Zähler und Nenner die gleiche Nullstelle besitzen.

29.01.2005, 14:10

Stefan22

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Immer noch Lücke
Hey sorry noch mal eine Frage.
Hab jetzt folgende aufgabe:
$\begin{eqnarray*} (x^2-9)/(2x^2+12x+18) \end{eqnarray*}$

habe also den Definitionsbereich R\{-3}
Nennerpolynom ist 0 wenn x=(-3)
Zählerpolynom ist 0 wenn x = (-3) oder (3)
ich kann die Funktion ja auch so umformen

$\begin{eqnarray*} ((x+3)*(x-3))/(2(x+3)*(x+3)) \end{eqnarray*}$
und kann dann ja kürzen, dass nur noch
$\begin{eqnarray*} (x-3)/(2*(x+3)) \end{eqnarray*}$ da steht
nun hab ich bei x=3 einen Nullpunkt und für x=(-3) einen Pol
soweit müsste ich eigentlich den Kram richtig haben.
Nun kommt mein Problem:
Das ein VZW vorliegt weiß ich.Aber wie bekomme ich raus ob die Funktion gegen + unendlich oder - unendlich strebt an der Polstelle.
Ich hab bei der Polynomdivision folgendes ergbnis:
$\begin{eqnarray*} (x^2-9)/(2x^2+12x+18)=1/2-((6x-18)/(2x^2+12x+18)) \end{eqnarray*}$

Also bei y = 1/2 liegt die Asymptote und wie mach ich jetzt das mit dem restlichen Teil

29.01.2005, 14:26

iammrvip

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RE: Immer noch Lücke

Zitat:

Original von Stefan22
habe also den Definitionsbereich R\{-3}
Nennerpolynom ist 0 wenn x=(-3)
Zählerpolynom ist 0 wenn x = (-3) oder (3)

Nur als Hinweis: Du darfst die -3 aber nicht als Nullstelle angeben, da sie nicht zu DB der Funktion gehört. Augenzwinkern

Zitat:

ich kann die Funktion ja auch so umformen
[...]
$\begin{eqnarray*} (x-3)/(2*(x+3)) \end{eqnarray*}$ da steht
nun hab ich bei x=3 einen Nullpunkt und für x=(-3) einen Pol
soweit müsste ich eigentlich den Kram richtig haben.

Stimmt

Zitat:

Also bei y = 1/2 liegt die Asymptote und wie mach ich jetzt das mit dem restlichen Teil

Stimmt auch.

Wenn du den VZW bestimmen willst, musst du den links- und den rechtsseitige getrennt voneinander bestimmt. Da kannst du auf eine Testfolge ausweichen.

Du nimmst also eine Testfolge die von links kommend gegen -3 konvergiert, z.b.

$\begin{eqnarray*} x_n = -3 - \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$

und bildest jetzt den Grenzwert für $\begin{eqnarray*} n\to\infty \end{eqnarray*}$ :

Du kannst gleich den vereinfachten Term nehmen:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to -3^-}\frac{x-3}{2(x+3)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \lim_{n\to \infty}\frac{-3 - \frac{1}{n}-3}{2\left(-3 - \frac{1}{n}+3\right)} \end{eqnarray*}$

ps: Brüche gehen mit dem Befehl \frac{Zähler}{Nenner}

du kannst auch die Testfolge $\begin{eqnarray*} x_n = -3 - h \end{eqnarray*}$ , wobei h irgendeine Nullfolge ist. Dann musst du aber $\begin{eqnarray*} h\to 0 \end{eqnarray*}$ bilden.

edit: Rechtschreibung verbessert.

29.01.2005, 14:58

Stefan22

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RE: Immer noch Lücke
Kannst du mir anhand des Beispiels von vorhin das mit dem
x=-3+h nochmal erklären. Ich setz den anstatt x quasi -3+h in die gleichung ein?

29.01.2005, 15:14

iammrvip

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Ja. Du kannst es auch so schreiben:

$\begin{eqnarray*} x_n = -3 - h \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to -3^-}\frac{x_n - 3}{2(x_n + 3)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \lim_{h\to 0}\frac{-3 - h - 3}{2(-3 - h + 3)} \end{eqnarray*}$

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