Def f durch f(1,0,0):=(1,2,3,4) ?

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Michaelvogelpol Auf diesen Beitrag antworten »
Def f durch f(1,0,0):=(1,2,3,4) ?
Ich habe diese Aufgabe vor mir:
Man gebe eine Lineare Abbildung f : R^3 -> R^4 an , so dass gilt > Bild f = LH ({(1,2,0,-4); (2,0,-1,-3)})

Eine Lösung die nicht ganz der vorgegebenen Aufgabe entspricht (statt (2,0,-1,-3) ist hier(1,0,1,0)) sieht so aus:

Bild f = LH ({(1,2,0,-4); (1,0,1,0)})
Def. f durch
f(1,0,0): = (1,2,3,4)
f(0,1,0) :=(1,0,1,0)
f(0,0,1):=(0,0,0,0)

hier hört's für mich schon auf, weiss nicht warum gerade (1,2,3,4) oder (0,0,0,0) nach Def zustande kommen.
es geht dann weiter mit:

oder f(0,0,1) := 2(1,2,3,4) + 3(1,0,1,0)
Hier weiss ich nicht wieso gerade 2 und 3 und vor allem jezt nicht mehr (0,0,0,0) sondern :=2(1,2,3,4) und 3(1,0,1,0)
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Bild f = LH ({(1,2,0,-4); (1,0,1,0)})
Def. f durch
f(1,0,0): = (1,2,3,4)
f(0,1,0) :=(1,0,1,0)
f(0,0,1):=(0,0,0,0)


idee: eine lineare abbildung von einem Vektorraum V aus ist dadurch definiert, was mit den basisvektoren von V passiert.
d.h. die lin. abb. ist über das bild der basisvektoren festgelegt.
jetzt überleg mal, warum dieser ansatz oben zum erfolg führt.
mach dir vor allem klar, wie du dann einen vektor aus V abbildest.... (stichwort: linearkombination)

mfg jochen
Michaelvogelpol Auf diesen Beitrag antworten »

für mich ist das deshalb so undurchsichtig, weil z.B.: dies hier ist eine Lineare Abbildung wie ich sie mir vorstelle
Sei f: R^3 -> R^3 die lineare Abbildung mit
f(x,y,z) = (2x + y + 3z, x + 4y - z, -7y + 5z)

links stehen platzhalter für vekotoren und rechts die abbildungsvorschrift.
Und nun soll man für diesen Fall eine Lineare Abbildung angeben
f : R^3 -> R^4 so dass gilt Bild f = LH ({(1,2,0,-4); (2,0,-1,-3)})

mal angenommen die erste Abildung wäre auch R^3 -> R^4, dann denk ich könnte es so sein
f(x,y,z) = (2x + y + 3z, x + 4y - z, -7y + 5z, X-Y-Z)

Was man mit diesem Ding machen soll:
f : R^3 -> R^4 so dass gilt Bild f = LH ({(1,2,0,-4); (2,0,-1,-3)})
keine Ahnung
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

willst du überhaupt, dass ich dir hier weiter helfe?
wenn nämlich nein, dann spare ich lieber meine zeit für andere auf....
dann kann dir das jemand verständlicher formulieren....

klick mich

wenn du es noch mal mit mir versuchen magst, helfe ich gern Augenzwinkern
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

nehmen wir nochmal die ursprüngliche Aufgabe. das war eine lineare Abbildung f zu finden, so dass Bild f = LH ({(1,2,0,-4); (2,0,-1,-3)})
Wie LOED schon sagte, ist eine lineare Abbildung vollständig definiert, wenn man weiß, wie die Bilder der Basisvektoren aussehen.
Also nehmen wir mal:
f(1,0,0) := (1,2,0,-4)
f(0,1,0) := (2,0,-1,-3)
f(0,0,1) := (0,0,0,0)
Das ist sicherlich etwas willkürlich, man hätte auch was anderes nehmen können. Wie sieht nun f(x,y,z) aus? Im Grunde relativ simpel. (x,y,z) kann man auch so schreiben: (x,y,z) = x*(1,0,0) + y*(0,1,0) + z*(0,0,1)
Damit ist: f(x,y,z) = x*f(1,0,0) + y*f(0,1,0) + z*f(0,0,1)
Jetzt kannst du noch die Bilder von f einsetzen und fertig.
Michaelvogelpol Auf diesen Beitrag antworten »

Aber woher weiss man, dass dies die Bilder der Basisvektoren sind ?
Mein Ansatz von Gestern kurz bevor ich deien Antwort gelesen hab, sah so aus.
Angelehnt an die Abbildung, R^3 -> R^3 geh ich jetzt so vor:
x = (1,0,0)
y = (0,1,0)
z = (0,0,1)
und kann dann sowas schreiben
f(x,y,z) =...
Und so wie ich es bis jetzt versteh muss man rumrätseln, bis man die Vorschrift findet die eine LH zustande bringt, so, dass Bild f = LH({1,2,0,-4),(2,0,-1,-3)}?

Wäre es eigentlich verkehrt wenn die Aufgabe lauten würde "...so dass gilt ein Bild f = LH ({(1,2,0,-4); (2,0,-1,-3)}) ?
 
 
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Ich gehe mal nicht näher auf deinen Beitrag ein. Da weiß ich gar nicht, wo ich anfangen soll. Es scheint, du hast noch erhebliche Verständnisprobleme mit den Begriffen Vektor, Basis, Abbildung. Also mal der Reihe nach. Ein Vektor aus R³ besteht aus den Komponenten x, y und z und wird so geschrieben: (x,y,z). Die Komponenten sind Elemente aus R, nicht aus R³ wie deine Schreibweise x=(1,0,0) ausdrückt. Eine Basis von R³ bilden die Vektoren (1,0,0), (0,1,0) und (0,0,1). Man kann auch eine andere Basis von R³ betrachten, aber diese 3 Vektoren liegen quasi auf der Hand und werden daher auch kanonische Basis genannt.
Nun kann man einen Vektor (x,y,z) auch so schreiben;
(x,y,z) = x*(1,0,0) + y*(0,1,0) + z*(0,0,1)
und eine Abbildung f wie folgt definieren:
f(x,y,z) = x*f(1,0,0) + y*f(0,1,0) + z*f(0,0,1)
Wie man sich leicht überlegt, ist die Abbildung linear. Fehlen nur noch die Werte f(1,0,0), f(0,1,0) und f(0,0,1). Die werden so festgelegt:
f(1,0,0) := (1,2,0,-4)
f(0,1,0) := (2,0,-1,-3)
f(0,0,1) := (0,0,0,0)
Damit ist Bild f = LH ({(1,2,0,-4); (2,0,-1,-3)})

Zitat:
Original von Michaelvogelpol
Wäre es eigentlich verkehrt wenn die Aufgabe lauten würde "...so dass gilt ein Bild f = LH ({(1,2,0,-4); (2,0,-1,-3)}) ?

Was dieser Satz soll, ist mir ein komplettes Rätsel. verwirrt
Der Ausdruck "Bild f" steht für die Menge der Vektoren aus R^4, die Bilder der Abbildung f sind, ist also in der Regel nicht ein einziger Vektor. Ein Vektor v aus R^4 gehört zu Bild f, wenn es einen Vektor (x,y,z) aus R³ gibt mit f(x,y,z) = v.

Ich hoffe, das Thema ist jetzt etwas verständlicher geworden.
Michaelvogelpol Auf diesen Beitrag antworten »

Meine Schreibweise drückt das nicht aus(soll sie jedenfalls nicht)
"... nicht aus R³ wie deine Schreibweise x=(1,0,0) ausdrückt"
bin ausgegangen von dieser Aufgabe:
Sei f: R^3 -> R^3 die lineare Abbildung mit
f(x,y,z) = (2x + y + 3z, x + 4y - z, -7y + 5z)

kann leider nicht sehen dass das falsch ist
x = (1,0,0)
y = (0,1,0)
z = (0,0,1)
übertragen auf die Aufgabe
f((1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)) = (2(1,0,0) + (0,1,0) + 3(0,0,1), (1,0,0) + 4 (0,1,0) - (0,0,1), -7(0,1,0) + 5(0,0,1))


so dass gilt ein Bild f = LH ({(1,2,0,-4); (2,0,-1,-3)})
Das soll bedeuten, dass ich mich bis gestern gefragt hab, ob die Aussage "..ein Bild..." treffender wäre.
Aber ich verbeuge mich, bitte bei jeder Verbeugung untertänigst um Vergebung , dass ich mir, als einsteiger in diese Materie, erdreistet hab,
es so aufzufassen .

Deine ANtwort wird sicher richtig sein hat aber mit meiner Frage wenig zu tun
"... was erlaube...."
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

uff, ich versuch nochmal einen Anlauf.
Nehmen wir mal deine Abbildung:
Sei f: R^3 -> R^3 die lineare Abbildung mit
f(x,y,z) = (2x + y + 3z, x + 4y - z, -7y + 5z)
Dies besagt jetzt folgendes:
Nehme einen Vektor aus R³. Dieser wird dargestellt mit seinen Komponenten x, y und z in der Form (x,y,z), x,y,z sind Elemente aus R, nicht aus R³!!! Ordne diesem Vektor (x,y,z) das Bild f(x,y,z) aus R³ zu. Für das Bild f(x,y,z) gilt: f(x,y,z) = (2x + y + 3z, x + 4y - z, -7y + 5z)
Zum Beispiel ist:
f(1,0,0) = (2,1,0) weil beim Vektor (1,0,0) ist x=1, y=0 und z=0
f(0,1,0) = (1,4,-7)
f(0,0,1) = (3,-1,5)
f(1,1,1) = (6,4,-2)
x, y und z sind nunmal keine Vektoren, sondern Komponenten eines Vektors. Deine Schreibweise
f((1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)) = (2(1,0,0) + (0,1,0) + 3(0,0,1), (1,0,0) + 4 (0,1,0) - (0,0,1), -7(0,1,0) + 5(0,0,1))
ist also etwas daneben.

Übrigens: meine Antworten haben nur mit deiner Frage zu tun, sonst würde ich sie nicht schreiben. Gebe aber zu, dass mir mittlerweile nicht mehr so genau klar ist, was deine Frage genau ist.
Michaelvogelpol Auf diesen Beitrag antworten »

dann wäre dies auch verkehrt ?

f: R^2 -> R^2 , f(x,y) = (x - y, y)
f(a+b) = f(a) + f(b)
a= (x1,y1) =(0,0)
b = (x2,y2)= (0,1)

f((0,0) + (0,1)) = f((0,0)) + f((0,1))

versuche nicht dich zu wiederlegen, übertrage nur die letzte Antwort hierrauf, will damit mein Betrachtungen /Gedanken so deutlich wie möglich machen damit es möglichst leichter ist zu erkennen was 'denkt der den falsch'
Für a und b sind jetzt Vektoren aus R^2 eingesetzt ?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

nein, nicht verkehrt; ja, a und b sind Vektoren aus R². Wenn man eine Abbildung f so definiert:
f: R^2 -> R^2 , f(x,y) = (x - y, y)
dann bedeutet das, dass jedem Vektor (x,y) aus R² der Vektor (x - y, y) aus R² zugeordnet wird. x und y sind Elemente aus R.
Übrigens gilt f(a+b) = f(a) + f(b) für alle a und b aus R², nicht nur für die von dir angegebenen.
Michaelvogelpol Auf diesen Beitrag antworten »

tschuldigung , aber ich kann mich nicht so dumm stellen,

Bei Rückschlüssen solcher Art:
"Übrigens gilt f(a+b) = f(a) + f(b) für alle a und b aus R², nicht nur für die von dir angegebenen."
hab ich zweifel and der Berechtigung der 5 Sterne.
weil diese zeile:
f((0,0) + (0,1)) = f((0,0)) + f((0,1))
mein Erklärung unterstützen sollte .
Aber seis drum

dies:
(0,1) ist ein Element aus R ?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Michaelvogelpol
hab ich zweifel and der Berechtigung der 5 Sterne.
weil diese zeile:
f((0,0) + (0,1)) = f((0,0)) + f((0,1))
mein Erklärung unterstützen sollte .
Aber seis drum

dies: (0,1) ist ein Element aus R ?

Vielleicht sollten Antworten, die nicht weiter helfen, zu dem Gedanken führen, dass deine Frage nicht richtig verstanden wurde. In der Tat weiß ich noch immer nicht, was du mir erklären willst und welchen Gedanken du mit der Aussage f((0,0) + (0,1)) = f((0,0)) + f((0,1)) unterstützen willst.

Ansonsten: (0,1) ist kein Element aus R, sondern (0,1) ist ein Element aus R².
pelzor Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Nehme einen Vektor aus R³. Dieser wird dargestellt mit seinen Komponenten x, y und z in der Form (x,y,z), x,y,z sind Elemente aus R, nicht aus R³!!! Ordne diesem Vektor (x,y,z) das Bild f(x,y,z) aus R³ zu. Für das Bild f(x,y,z) gilt: f(x,y,z) = (2x + y + 3z, x + 4y - z, -7y + 5z)
Zum Beispiel ist:
f(1,0,0) = (2,1,0) weil beim Vektor (1,0,0) ist x=1, y=0 und z=0
f(0,1,0) = (1,4,-7)
f(0,0,1) = (3,-1,5)
f(1,1,1) = (6,4,-2)


Hi,
warum hast du denn diesen f(1,1,1) noch dabei? Der is doch linear abhänig von den anderen, oder nich?

Soll LH die lineare Hülle sein?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hatte (bzw. habe immer noch) den Eindruck, dass Michaelvogelpol Probleme hat, was mit der Schreibweise
f(x,y,z) = (2x + y + 3z, x + 4y - z, -7y + 5z)
ausgedrückt werden soll.
Deswegen hatte ich beispielhaft für verschiedene Vektoren, eben auch (1,1,1) das f(x,y,z) ausgerechnet.

Ja: LH steht für lineare Hülle.
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